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Mensaje |
Flopy Gonzalez
Nivel 3
Registrado: 29 Mar 2010
Mensajes: 44
Carrera: Civil
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No entiendo este ejecicio de parcial de análisis del dia 10 de mayo del 2008
Sea C la curva parametrizada por C(t)=(t, sen(t)), t (0,pi). si f es C2 (R2) es un campo escalar talquesu curva de nivel 3 contiene a C y df/dy(pi/2, 1)=2. Hallar la ecuación del plano tangente al grafico de f en el punto (pi/2,1,3)
Sepan disculparque es mi primer pregunta y no secomo poner pi.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Sabés que el plano tangente a la gráfica de un campo cualquiera f(x,y) en un punto (x0,y0,f(x0,y0)) es
![[tex]z=z_0+f_x (x_0,y_0) (x-x_0)+f_y(x_0,y_0) (y-y_0)[/tex]](images/latex/b98ffc2040c0834cfbbc4ce3bfbe420225c5fefa_0.png "[tex]z=z_0+f_x (x_0,y_0) (x-x_0)+f_y(x_0,y_0) (y-y_0)[/tex]")
Conocés f(pi/2,1), es 3. Sabés que el gradiente de un campo en un punto P0 es normal a la curva de nivel que pasa por (P0,f(P0)), conocés la derivada de f respecto de y en el punto, te quedaría conocer la derivada respecto de x.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Flopy Gonzalez
Nivel 3
Registrado: 29 Mar 2010
Mensajes: 44
Carrera: Civil
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Excelente! Muchisimas gracias! Cualquier cosa vuelvo 
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Flopy.-
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Sea C la curva parametrizada por ![[tex]\vec{g}(t) = (t, sen(t))[/tex]](images/latex/0dd2a18eaf80d8ed8c9bb05e1cb5bdeafbbcccbd_0.png "[tex]\vec{g}(t) = (t, sen(t))[/tex]") con ![[tex]t \in [0, \pi][/tex]](images/latex/a2d769fe8b3984d140289b33d2e0dd902efd6088_0.png "[tex]t \in [0, \pi][/tex]") . Si ![[tex]f \in C^{2} \left( \Re^{2} \right)[/tex]](images/latex/f243d3dad5f9879608e5fb423b067685e486dbfc_0.png "[tex]f \in C^{2} \left( \Re^{2} \right)[/tex]") es un campo escalar tal que su curva de nivel 3 contiene a C y ![[tex]\frac{\partial f}{\partial y} \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) = 2[/tex]](images/latex/f39ccb1862667b5abab9b379d965d0bb9dd91202_0.png "[tex]\frac{\partial f}{\partial y} \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) = 2[/tex]") . Hallar la ecuación del plano tangente al grafico de f en el punto ![[tex]\left(\frac{\pi}{2},1,3 \right)[/tex]](images/latex/cca12f8cc0e5922583633196bdb85daab1baea82_0.png "[tex]\left(\frac{\pi}{2},1,3 \right)[/tex]") .
Primero que nada, lo que tenes que hallar para poder hacer el ejercicio es un ![[tex]t_{0}: \vec{g}(t_{0}) = \left(\frac{\pi}{2}, 1\right)[/tex]](images/latex/d212316939653ccc024dd3ada8c44ef4a3efe513_0.png "[tex]t_{0}: \vec{g}(t_{0}) = \left(\frac{\pi}{2}, 1\right)[/tex]") . Esto es porque la curva pertenece al conjunto de nivel. Entonces, el único valor posible (que pertenece al intervalo) es ![[tex]t_{0} = \frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/73749c5c2588e71c8328dc95070770183c7738ab_0.png "[tex]t_{0} = \frac{\pi}{2}[/tex]")
Sabes que el gradiente es ortogonal a los conjuntos de nivel. Entonces, por ejemplo, podés hallar la tangente a la curva de nivel 3
![[tex]\vec{g}^{'}(t) = (1, cos(t)) \Longrightarrow \vec{g}^{'}\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1, 0)[/tex]](images/latex/8707b6f89afd974fcfa6ba73e71e4c568fa6909e_0.png "[tex]\vec{g}^{'}(t) = (1, cos(t)) \Longrightarrow \vec{g}^{'}\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1, 0)[/tex]") .
De donde cualquier vector ![[tex]\alpha \cdot (0, 1)[/tex]](images/latex/356752b786ad4205a5a1bf1a55c01934b7b1b5b7_0.png "[tex]\alpha \cdot (0, 1)[/tex]") cumple ser ortogonal a este último. Como también tenés la condición de que , resulta que el único valor posible es ![[tex]\alpha = 2[/tex]](images/latex/1ab2b68cafbf3314fc33382cefaa84f291c59c93_0.png "[tex]\alpha = 2[/tex]") (la derivada respecto de x es nula).
La ecuación del plano tangente es ![[tex]z = f \left(\frac{\pi}{2},1 \right) + \nabla f \left(\frac{\pi}{2},1 \right) \cdot \left( x - \frac{\pi}{2}, y - 1 \right)[/tex]](images/latex/bbe118e59ea90b8683c3008fe613c5662ed5ab34_0.png "[tex]z = f \left(\frac{\pi}{2},1 \right) + \nabla f \left(\frac{\pi}{2},1 \right) \cdot \left( x - \frac{\pi}{2}, y - 1 \right)[/tex]")
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Flopy Gonzalez
Nivel 3
Registrado: 29 Mar 2010
Mensajes: 44
Carrera: Civil
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| Muchisimas gracias chicos!
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Flopy.-
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