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Mensaje |
Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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Bueno estoy tratando de hacer este ejercicio, dejo el enunciado
Sea ![[tex]z=f(x,y)[/tex]](images/latex/c99fd222f00a03208e9152f8887fbeba4a94b716_0.png "[tex]z=f(x,y)[/tex]") la funcion definida implícitamente en un entorno del punto [/tex]](images/latex/0566c15fa5fbc33bf4f13dacf837deee710150b4_0.png "[tex](\frac{2}{3},\frac{-1}{3},0)[/tex]") por la ecuacion: ![[tex]3x^2+3y^2+3xy+3e^z+3z-4=0[/tex]](images/latex/72c0df46aaaef84bebd9406550f8d2e30e104190_0.png "[tex]3x^2+3y^2+3xy+3e^z+3z-4=0[/tex]")
Determinar si el plano tangente al grafico de ![[tex]g(x,y)=f(x,y)-2y[/tex]](images/latex/2e31d3e224160b90b3d125f5bd7dd410379cdd35_0.png "[tex]g(x,y)=f(x,y)-2y[/tex]") en el punto )[/tex]](images/latex/1e026ae3f1df05f570f65b80742741eb2a44d1ba_0.png "[tex](\frac{2}{3}, \frac{-1}{3},g(\frac{2}{3},\frac{-1}{3}))[/tex]") es paralelo al plano ![[tex]x+4y+2z=0[/tex]](images/latex/9a085153006c27ba00287ac920aef00a0d728b71_0.png "[tex]x+4y+2z=0[/tex]")
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Mi intento de resolucion:
Para que la funcion sea paralela al plano, las normales deben ser paralelas tambien, asique, tengo que calcular la normal de la funcion g, no se me ocurre como calcular ![[tex]g(\frac{2}{3},\frac{-1}{3})[/tex]](images/latex/c4570ff7066a8f44cd77686563021154a1a28b29_0.png "[tex]g(\frac{2}{3},\frac{-1}{3})[/tex]") , pero no se, intente con la ecuacion del plano tangente y no pude, intuyo que seguramente valga 0, asique sigo con la resolucion suponiendo que vale 0
![[tex]g'_x(x,y,z)=f'_x(x,y,z)=-\frac{F'_x (x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}=-\frac{6x+3y}{3e^z+3}[/tex]](images/latex/03e9b732f07f4adabe418e580db777a79e13c402_0.png "[tex]g'_x(x,y,z)=f'_x(x,y,z)=-\frac{F'_x (x,y,z)}{F'_z(x,y,z)}=-\frac{6x+3y}{3e^z+3}[/tex]") evaluado en )= -1[/tex]](images/latex/31c8cbfa083dc7f8cf79e61661e66b4406997d07_0.png "[tex](\frac{2}{3}, \frac{-1}{3},g(\frac{2}{3},\frac{-1}{3}))= -1[/tex]")
![[tex]g'_y(x,y,z)=f'_y(x,y,z)-2=-\frac{F'_y (x,y,z)}{F'_z (x,y,z)}=-\frac{6y+3x}{3e^z+3}-2[/tex]](images/latex/dbdc6a0e4b6e89abd49ed2655315aa1b52effcf6_0.png "[tex]g'_y(x,y,z)=f'_y(x,y,z)-2=-\frac{F'_y (x,y,z)}{F'_z (x,y,z)}=-\frac{6y+3x}{3e^z+3}-2[/tex]") evaluado en )= -2[/tex]](images/latex/b6d26cdbb5e6bdf61abf167f85c2784221661d5c_0.png "[tex](\frac{2}{3}, \frac{-1}{3},g(\frac{2}{3},\frac{-1}{3}))= -2[/tex]")
![[tex]g'_z(x,y,z)=-1[/tex]](images/latex/19cb702730b16ec7fc3cc4357607e492dda379b3_0.png "[tex]g'_z(x,y,z)=-1[/tex]") (aca no se si estoy fruteando)
el vector normal del plano ![[tex]x+4y+2z=0= (1,4,2) [/tex]](images/latex/c961bea5596cd2f0f1d660ffdd81c791789f6533_0.png "[tex]x+4y+2z=0= (1,4,2) [/tex]")
para que sean paralelos
=\lambda(-1,-2,-1)[/tex]](images/latex/3063d325cb48ed4ca294158d2dde63f853bd9f06_0.png "[tex](1,4,2)=\lambda(-1,-2,-1)[/tex]")
aparentemente un vector no es multiplo de otro asique, no son paralelos? esta bien esto? 
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![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
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exocet
Nivel 6
Registrado: 11 Ago 2009
Mensajes: 271
Ubicación: capital
Carrera: Industrial
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son las 4.45 de la mañana asi que no te aseguro nada, pero por lo que veo g(2/3,-1/3)=2/3 lo sacas de la ecuacion de g, perdon pero nose usar latex y no pienso aprender ahora, caps que en el verano con ganas jaja.
eso sale de uqe g(2/3,-1/3)=f(2/3,-1/3)-2(-1/3) y vos sabes que f de eso es 0 es dato a aprte lo ves en el plano tg
ojo g depende de x,y en ningun lado definiste a g implicitamente como la sup de nivel 0 de una funcion lo que sea de xyz.
lo digo por que estas calculando g´x(xyz)...
y lo mismo para f chiquita... F si depende de 3 variables.
y las cuentas me dieron distinto. g´x=-1/2 gý=-8/3
luego si un vector normal a g es el (-1/2,-8/3,-1) y no es paralelo a la normal que te piden..
OJO TOMALO CON PINZAS por que es tarde y ya estoy re quemado
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exocet
Nivel 6
Registrado: 11 Ago 2009
Mensajes: 271
Ubicación: capital
Carrera: Industrial
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perdon g´y=-2 eso si esta bien jaja le pifie
y ahora si me queda que son paralelos jaj
saludos
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ralfonso
Nivel 4
Edad: 36
Registrado: 26 Abr 2010
Mensajes: 83
Ubicación: theta = 1.67532289pi, phi = 0.692057055pi, rho = 34
Carrera: Informática
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Si te dicen que ![[tex]z = f(x,y)[/tex]](images/latex/d53253732fc81c53f7de33f33cb6ee2350a87644_0.png "[tex]z = f(x,y)[/tex]") entonces todos los puntos de la gráfica de la función tienen la pinta ![[tex]\left(x, y, f(x,y) \right)[/tex]](images/latex/f221390a0ddd64b178d91d5182b494c3f8495ef0_0.png "[tex]\left(x, y, f(x,y) \right)[/tex]") . Entonces sabiendo esto y usando el dato que la función f ya está definida implícitamente en ese punto que te dicen, tenés que
![[tex]g \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) = f \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}[/tex]](images/latex/5f94409231851bb1e4517541ee6ef4f5003fad10_0.png "[tex]g \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) = f \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3} \right) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}[/tex]")
Ahora, 2 planos son paralelos si sus normales son múltiplos (son LD). Busquemos la normal del PT de g 
![[tex]\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{F^{'}_{x}}{F^{'}_{z}} = -\frac{6x+3y}{3e^{z}+3}[/tex]](images/latex/6d3357fcef9b6216a1a56e5ed332b1a6509f45f7_0.png "[tex]\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{F^{'}_{x}}{F^{'}_{z}} = -\frac{6x+3y}{3e^{z}+3}[/tex]") evaluas en el punto y te da ![[tex]-\frac{4 - 1}{3e^{0} + 3} = -1[/tex]](images/latex/5bdfb0374473eaea807b0638b0bda48227e82665_0.png "[tex]-\frac{4 - 1}{3e^{0} + 3} = -1[/tex]")
![[tex]\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} - 2 = -\frac{F^{'}_{y}}{F^{'}_{z}} = -\frac{6y+3x}{3e^z+3}-2 [/tex]](images/latex/4c41473328d9e61a3045c91e522bb72af516e6ad_0.png "[tex]\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y} - 2 = -\frac{F^{'}_{y}}{F^{'}_{z}} = -\frac{6y+3x}{3e^z+3}-2 [/tex]") evaluas en el punto y te da ![[tex]-\frac{-2 + 2}{3e^{0} + 3} - 2= -2[/tex]](images/latex/38427d32ec2b27d2ff4d48508e046826748aed86_0.png "[tex]-\frac{-2 + 2}{3e^{0} + 3} - 2= -2[/tex]")
Con Taylor de primer orden, armas la ecuación del plano:
![[tex]z = g(x, y) + \frac{\partial g}{\partial x} (x-x_{0}) + \frac{\partial g}{\partial y} (y - y_{0}) = \frac{2}{3} - 1 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right) - 2 \cdot \left( y + \frac{1}{3} \right) [/tex]](images/latex/5beb329d40deb692cdac802f840c386cfbb68d64_0.png "[tex]z = g(x, y) + \frac{\partial g}{\partial x} (x-x_{0}) + \frac{\partial g}{\partial y} (y - y_{0}) = \frac{2}{3} - 1 \cdot \left( x - \frac{2}{3} \right) - 2 \cdot \left( y + \frac{1}{3} \right) [/tex]")
Multiplicas todo por 3 y queda ![[tex]3z = 2 - 3x + 2 - 6y - 2 \Rightarrow 3x + 6y + 3z = 2[/tex]](images/latex/6e31c3be5ac9378c66e6b1e5a4a8df1c675acfba_0.png "[tex]3z = 2 - 3x + 2 - 6y - 2 \Rightarrow 3x + 6y + 3z = 2[/tex]") . Que claramente no es LD con la normal del plano que te dan.
fabricio_622 fijate que le buscaste la derivada respecto de z a la función g que es de 2 variables nomás :-P
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Fabricio
Nivel 8
Edad: 36
Registrado: 20 Nov 2008
Mensajes: 851
Ubicación: Villa del Parque, barrio turro
Carrera: Civil
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como me la pusieron en el recuperatorio hoy  , ojala llegue al 4 
gracias a todos igual!
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fiw
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 25 Mar 2010
Mensajes: 195
Carrera: Electrónica
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| fabricio_622 escribió:
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como me la pusieron en el recuperatorio hoy , ojala llegue al 4
gracias a todos igual!
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 Que mal leer eso fabri..
Dale que falta todavia..
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La razón acabará por tener razón
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![[tex]Ro\delta \rho\iota\gamma o \mbox{ } \Sigma \mbox{. } A\lambda\phi o\nu\sigma o[/tex]](images/latex/b54b4bfe5cdab4bd4a1058b67c5ac88a51dde8e0_0.png "[tex]Ro\delta \rho\iota\gamma o \mbox{ } \Sigma \mbox{. } A\lambda\phi o\nu\sigma o[/tex]")
- I'm greek! XD