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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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Hallar a de manera que los extremos absolutos de f(x; y) = (x - 2a)2 + y + x campo escalar en R2 restringida a la curva de ecuacion x2 + y2 = 1=4 esten sobre los ejes coordenados. Para esos valores de a determinar y clasi car a los extremos absolutos. Interpretar geometricamente usando las curvas de nivel de f.
Tengo un par de dudas:
Que significa que los extremos esten sobre el eje de coordenadas
Cuando los extremos son absolutos y cuando son relativos
Gracias
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Sobre los ejes de coordenadas quiere decir que o bien x=0 o y=0. Un campo f tiene un extremo relativo en P si para todo x en un entorno reducido de P, f(P) < (>) f(x). Un extremo es absoluto si para todo x en el dominio del campo se cumple lo anterior.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Trigger
Nivel 8
Registrado: 06 Ago 2008
Mensajes: 524
Carrera: Industrial
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| Alguien me lo podria explicar? porque no me sale muy bien eso de parametrizar la curva, y reemplazar nose en donde,etc..
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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No entiendo si es x^2+y^2=1 o x^2+y^2=4, supongamos que es 1, una parametrización regular de esa curva es J(t)=(cos(t),sen(t)), t en [0,2pi].
![[tex]f(J(t))=f(cos(t),sen(t))=(cos(t)-2a)^2 + sen(t) + cos(t)= \\cos^2(t)-4acos(t)-4a^2+sen(t)+cos(t) \\\frac{df}{dt} = -2(cos(t)-2a)sen(t)+cos(t)-sen(t)= \\-2cos(t)sen(t)+4asen(t)+cos(t)-sen(t)[/tex]](images/latex/711c223d1c1c8310e7d65c2663b2f72084d0f0ff_0.png "[tex]f(J(t))=f(cos(t),sen(t))=(cos(t)-2a)^2 + sen(t) + cos(t)= \\cos^2(t)-4acos(t)-4a^2+sen(t)+cos(t) \\\frac{df}{dt} = -2(cos(t)-2a)sen(t)+cos(t)-sen(t)= \\-2cos(t)sen(t)+4asen(t)+cos(t)-sen(t)[/tex]")
Ahora, para t=0, t=pi/2, t=pi, t=3pi/2, es o bien x=0 o y=0
Para esos valores de t (no necesariamente para todos) debe ser, por lo menos f'(t), igual a 0 (después si f''(t) es <0> 0 o =0, lo ves después).
Para t=0, f'(t)=1, no puede haber un extremo ahí. Para t=pi/2 es 4a-1=0, a=1/4 (fijate si f''(t) es <0> 0, etc. para clasificar el extremo si es que existe). Para t=pi va a resultar igual que para t=0, para t=3pi/2 es -4a-1=0, mismo resultado que antes, entonces tiene que ser a=1/4.
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