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Mensaje |
manu12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 05 May 2010
Mensajes: 25
Carrera: Industrial
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Sea la curva C interseccion de las superficies S1 y S2 en primer cuadrante, con S1:{(x,y,z)eR^3 tal que x+2z=1) y X(u,v)=(u,u^2,v), (u,v)eR^2, una parametrizacion de S2.
Grafique la curva y encuentre los puntos de C donde el vector tangente es pralelo al plano x+y+4z=0.
Gracias por sus aportes!
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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Primero, veamos qué superficies son S1 y S2.
S1 es un plano, que pasa, entre otros puntos, por el (0,0,1/2) y por el (1,0,0). En el plano Y=0 esta ecuación te va a dar una recta. Bueno, ahora, eso mismo vale para todo valor de y, la ecuación no te impone ninguna condición para y.
S2 es un cilindro parabólico (creo que se llama así). Si vos proyectás en el plano xy vas a obtener una parábola. Bueno, ahora, eso mismo, vale para todo valor de z, que toma cualquier valor independiente de x o de y.
La curva intersección tiene que pertenecer a la superficie S2, o sea, que tiene que seguir siendo de la forma (u,u*u,v), y aparte, debe ser tal que x+2z=1, los puntos de la superficie S2 que cumplen esto necesariamente cumplen entonces u+2v=1. Despejamos v para que te quede todo en función de un solo parámetro, esto es v=(1-u)/2.
Entonces, la parametrización de tu curva quedó C(u)= (u,u*u,(1-u)/2). Te vas a tener que fijar para qué valores de u te queda mayor a cero en los tres puntos (pues te pide la curva en el primer cuadrante). Esto es, para todo u entre 0 y 1 (si es menor a 0, es negativa la coordenada x, si es mayor a 1, es negativa la coordenada z).
El vector tangente a esta curva surge de derivar su parametrización: c'(u)= (1,2u,-1/2). Para que sea paralelo al plano podés pedir que el producto escalar con la normal del plano te de 0 (esto es, que sean ortogonales la normal del plano y el vector tangente). La normal al plano es N=(1,1,4). El producto escalar igualado a cero te queda N.c'=1+2u-2=0. Esto se cumple para u=1/2. entonces, el punto de la curva C en donde su vector tangente es paralelo al plano x+y+4z=0 es p=(1/2,1/4,1/4).
Saludos, espero que te haya servido. Corrijanme cualquier error.
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![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
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Nicolas ii
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 05 Jul 2009
Mensajes: 102
Ubicación: Pque chacabuco
Carrera: Civil y Industrial
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Alguien puede presentar esa interseccion en cartesianas?
Siempre que quiero hacer el pasaje (en este caso de S2 a cartesianas) llego a ecuaciones que no logro entender completamente
En este caso se que S1 es un plano, y cuando hago el pasaje de S2 me queda que
x = u
y = u^2
z = v
Si reemplazo a x en y, me queda que y=x^2 y que z se mueve libremente? asi queda? seria como una parabola acostada que se repite en todo z?
Y con eso reemplazo en el plano a x? como quedaria la interseccion?
P.D. Al margen de esto, yo para resolver este ejercicio, lo que haria seria hallar las normales de ambas superficies (en el plano la N=(1,0,2) y en S2 seria el producto vectorial de la derivada con respecto a u y con respecto a v) y ahi tendria el vector tangente de la curva (y dps haces que sea // al (1,1,4)
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Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
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| Nicolas ii escribió:
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[...]
Si reemplazo a x en y, me queda que y=x^2 y que z se mueve libremente? asi queda? seria como una parabola acostada que se repite en todo z?
[...]
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SI. y=x^2 es la misma superficie.
Y con eso reemplazo en el plano a x? como quedaria la interseccion?
La curva en cartesianas te queda
y=x^2
z=(1-x)/2
(siempre una curva en R3 en cartesianas tenés que representarla por dos ecuaciones, una sola ecuación te determina una superficie).
| Nicolas ii escribió:
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P.D. Al margen de esto, yo para resolver este ejercicio, lo que haria seria hallar las normales de ambas superficies (en el plano la N=(1,0,2) y en S2 seria el producto vectorial de la derivada con respecto a u y con respecto a v) y ahi tendria el vector tangente de la curva (y dps haces que sea // al (1,1,4)
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OJO: esta bien (creo) cómo hallás el vector tangente, pero este debe ser paralelo al plano, no a la normal del plano. Si fuera paralelo a la normal del plano te quedaría, justamente, normal al plano, y vos no querés esto..
Tené cuidado al tomar una referencia para las cosas. El plano lo estás definiendo por un vector que es perpendicular a él. Y el vector tangente que vos querés tiene que ser paralelo a la superficie.
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Nicolas ii
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 05 Jul 2009
Mensajes: 102
Ubicación: Pque chacabuco
Carrera: Civil y Industrial
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Gracias por aclararme estas dos cositas, y te entendi perfecto la ultima parte, todo claro
saludos
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