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Mensaje |
Ikki_12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 28 Oct 2009
Mensajes: 22
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Chicos tengo el siguiente problema,
la función es esta (ej 3 de la guia III):
mi duda: cuando tengo una función partida de varias variables, como hago para sacar las derivadas parciales? (siento que viene por el lado de los limites, pero busque y no tengo ningún ejemplo)
ya que el ejercicio lo que me pide es que verifique que las derivadas parciales no son funciones continuas en el origen de coordenadas.
Bueno espero que me puedan ayudar.
Saludos!!
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Ikki_12 escribió:
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Chicos tengo el siguiente problema,
la función es esta (ej 3 de la guia III):
mi duda: cuando tengo una función partida de varias variables, como hago para sacar las derivadas parciales? (siento que viene por el lado de los limites, pero busque y no tengo ningún ejemplo)
ya que el ejercicio lo que me pide es que verifique que las derivadas parciales no son funciones continuas en el origen de coordenadas.
Bueno espero que me puedan ayudar.
Saludos!!
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Las derivadas parciales de la función las sacas de la rama definida para todo (x,y) distinto de (0,0), evidentemente esa función no es contínua en (0,0) así que sus derivadas parciales, tampoco (eso sería si nos olvidamos de que la función esta definida por ramas y si tiene un valor definido en (0,0), de otro modo, no pueden ser contínuas). Para calcular las derivadas parciales:
respecto de x
![[tex]\mathop{\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/tex]](images/latex/09a9e4b3ce5ba443fc43b842ae055409fbb8c1a5_0.png "[tex]\mathop{\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}[/tex]")
respecto de y
![[tex]\mathop{\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}[/tex]](images/latex/f3d1428f0bacdf10a39bd321bd8d772071f1d529_0.png "[tex]\mathop{\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}[/tex]")
y es importante entender que, que no sean contínuas en el punto no quiere decir que no existan.
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Ikki_12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 28 Oct 2009
Mensajes: 22
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Gracias! pero hay algo que no entiendo:
Por que decis que la funcion no es continua? yo al intentar demostrarlo tomando limites me dieron cosas razonables y conclui que es continua, por eso pase a lo de las derivadas, pero quizas meti la pata en algun lado.
Por otro lado el resultado del limite ya me va a dar un numero no es cierto? que seria la derivada evaluada en el punto que me piden??
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Interpreté mal el enunciado, la función definida de esa manera, con un valor dado en (0,0) (de otro modo no estaría definida en (0,0) y no sería contínua) es contínua, el límite en (0,0) es 0 porque ![[tex]sen( \frac{1}{x^2+y^2})[/tex]](images/latex/18a033af94715551e8c4138885c7668674d10c91_0.png "[tex]sen( \frac{1}{x^2+y^2})[/tex]") está acotado para todo x,y y ![[tex]x^2+y^2[/tex]](images/latex/46efc7ffd0a19349ac165c5232f0d87fcc21e756_0.png "[tex]x^2+y^2[/tex]") tiende a 0. Te queda plantear los cocientes incrementales.
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Ikki_12
Nivel 3
Edad: 33
Registrado: 28 Oct 2009
Mensajes: 22
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Claro!
A la hora de plantear lo de los cociente me surgio un "problema", me dan 0 respecto de x e y. Como interpreto eso? ya que el enunciado me pedia que las derivadas parciales de f no son funciones continuas en el (0,0)
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Ikki_12 escribió:
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Claro!
A la hora de plantear lo de los cociente me surgio un "problema", me dan 0 respecto de x e y. Como interpreto eso? ya que el enunciado me pedia que las derivadas parciales de f no son funciones continuas en el (0,0)
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Entonces el límite en (0,0) de las derivadas parciales de f (la rama de f para valores de (x,y) distintos de (0,0)) te debería dar distinto de 0, o que el límite no exista.
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