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Mensaje |
SofiaC
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 10 Feb 2010
Mensajes: 60
Carrera: Química
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| Jackson666 escribió:
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Te propongo una solución:
Si ![[tex]S: \,\,\,\, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4a^{2}[/tex]](images/latex/03cff1a31cb507f3dd746ec220aeca96310e9fb8_0.png "[tex]S: \,\,\,\, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4a^{2}[/tex]") , digo:
![[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4a^{2}[/tex]](images/latex/fe172f944321611f5e23d2a63d5c0de9384c4454_0.png "[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4a^{2}[/tex]") siendo la superficie de nivel 0 la esfera en cuestión, entonces:
![[tex]\nabla G(x,y,z) = (2x,2y,2z)[/tex]](images/latex/dcff394517eea71fbc978d32b03c229607d48368_0.png "[tex]\nabla G(x,y,z) = (2x,2y,2z)[/tex]") el vector normal en todo punto, orientado hacia afuera.
Entonces la integral me queda (si proyectara en el xy):
![[tex]\iint_{S}{\frac{||\nabla G||}{|G^{'}_{z}|} \,\, dxdy}[/tex]](images/latex/748034a0179c489c51299418660e9b3a9510adca_0.png "[tex]\iint_{S}{\frac{||\nabla G||}{|G^{'}_{z}|} \,\, dxdy}[/tex]") si me queda alguna z la reemplazo por ![[tex]z = \sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex]](images/latex/ac9d2aeaadeb3fe04a121620b4d11e1d397afbad_0.png "[tex]z = \sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex]") porque z > 0
Si proyectas en el xy te queda una circunferencia corrida, que es la misma que la intersección del cilindro corrido con el plano z = 0. Entonces:
![[tex]\iint_{S}{\frac{2 \cdot ( x^{2} + y^{2} + z^{2} )}{2z} \,\, dxdy} = \iint_{S}{\frac{4a^{2} }{\sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \,\, dxdy}[/tex]](images/latex/6dad94490a640dc6fc0c85e71ce1649486e1d48a_0.png "[tex]\iint_{S}{\frac{2 \cdot ( x^{2} + y^{2} + z^{2} )}{2z} \,\, dxdy} = \iint_{S}{\frac{4a^{2} }{\sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \,\, dxdy}[/tex]")
Si usamos polares para resolver:
![[tex]4a^{2} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ d \theta \int_{0}^{2acos(\theta)}{ \frac{r}{ \sqrt{4a^{2} - r^{2}} } \,\, dr } } [/tex]](images/latex/92d4c0c248b63842e2509d1c91ca5b1492a58514_0.png "[tex]4a^{2} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ d \theta \int_{0}^{2acos(\theta)}{ \frac{r}{ \sqrt{4a^{2} - r^{2}} } \,\, dr } } [/tex]")
Sustitución: ![[tex]u = 4a^{2} - r^{2} \Rightarrow du = -2r \cdot dr[/tex]](images/latex/3a921627c0d1c9acf95a8c028f87f6e8b5c96bb3_0.png "[tex]u = 4a^{2} - r^{2} \Rightarrow du = -2r \cdot dr[/tex]")
Si solo resuelvo la última integral queda:
![[tex]-\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} (1 - cos^{2}(\theta))}{ \frac{du}{ \sqrt{u}}} = -\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)}{ u^{-\frac{1}{2}} \,\, du } = -u^{\frac{1}{2}} \Bigg|_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)} = -\left[ (2a \cdot sen(\theta) ) - ( 2 a ) \right] = [/tex]](images/latex/11b7ae675be00ebd0e69137ebcceef4ece8c311e_0.png "[tex]-\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} (1 - cos^{2}(\theta))}{ \frac{du}{ \sqrt{u}}} = -\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)}{ u^{-\frac{1}{2}} \,\, du } = -u^{\frac{1}{2}} \Bigg|_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)} = -\left[ (2a \cdot sen(\theta) ) - ( 2 a ) \right] = [/tex]")
![[tex]= 2a \left[1 - sen(\theta) \right][/tex]](images/latex/df1776a4568d389f68f2a27a2b671cc4de44b5ec_0.png "[tex]= 2a \left[1 - sen(\theta) \right][/tex]")
Si lo enchufamos en la integral que queda:
![[tex]8 \cdot a^{3} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[1 - sen(\theta) \right] \,\, d \theta} = 8 \cdot a^{3} \cdot \Bigg[ \theta + cos(\theta)\Bigg]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 8\pi \cdot a^{3}[/tex]](images/latex/ecf1ae676e174c7b6bf3b696ffb1848366fb50e4_0.png "[tex]8 \cdot a^{3} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[1 - sen(\theta) \right] \,\, d \theta} = 8 \cdot a^{3} \cdot \Bigg[ \theta + cos(\theta)\Bigg]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 8\pi \cdot a^{3}[/tex]")
En este caso lo hice con el que está en la página de la materia, que tiene el corrimiento en x, pero el procedimiento es el mismo, hay que ver bien los límites en polares, nada más.
Saludos
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groso, gracias!!
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So if you have a minute, why don´t we go talk about it somewhere only we know?
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aledc_89
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 276
Carrera: Civil
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| Pablon escribió:
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Alguien pudo confimar la validez del siguiente razonamiento..
Porque anda de 10, pero de ahí a que no te pongan WTF en la corrección..
![[tex]{\rm{Si }}[/tex]](images/latex/87ec4fa6ca3577bec5b601c6b318d9c159a0f6e7_0.png "[tex]{\rm{Si }}[/tex]") ![[tex]\overline F = Rot\left( {\overline G } \right)[/tex]](images/latex/395d1fa2ef8ebee9aeb763c58d4905602beb7d87_0.png "[tex]\overline F = Rot\left( {\overline G } \right)[/tex]")
![[tex]div\left( {\overline F } \right) = div\left( {Rot\left( {\overline G } \right)} \right)[/tex]](images/latex/ed9f03542b8bc06fa320132f2804a41c4b31d207_0.png "[tex]div\left( {\overline F } \right) = div\left( {Rot\left( {\overline G } \right)} \right)[/tex]")
![[tex]div\left( {\overline F } \right) = 0[/tex]](images/latex/d964441bc954bd96787e0513ddda301d5bb3ae0b_0.png "[tex]div\left( {\overline F } \right) = 0[/tex]")
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tengo entendido que si en vez de aplicarle la DIV, le aplicas el ROT, entonces te keda ROT(F)= ROT (ROT G), y el ROT(ROT G) no es 0?, osea seria lo mismo solo que el valor k no te queda directo.
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aledc_89
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 276
Carrera: Civil
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| aledc_89 escribió:
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tengo entendido que si en vez de aplicarle la DIV, le aplicas el ROT, entonces te keda ROT(F)= ROT (ROT G), y el ROT(ROT G) no es 0?, osea seria lo mismo solo que el valor k no te queda directo.
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Dije cualquier moco, me retracto jaja, me confundi con el ROT(DIV f) que eso si es 0.
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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| aledc_89 escribió:
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| aledc_89 escribió:
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tengo entendido que si en vez de aplicarle la DIV, le aplicas el ROT, entonces te keda ROT(F)= ROT (ROT G), y el ROT(ROT G) no es 0?, osea seria lo mismo solo que el valor k no te queda directo.
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Dije cualquier moco, me retracto jaja, me confundi con el ROT(DIV f) que eso si es 0.
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Pero.. la divergencia de un campo es un escalar, como le vas a sacar el rotor a eso?
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joajoa
Nivel 2
Edad: 34
Registrado: 10 Mar 2009
Mensajes: 18
Carrera: Industrial
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| me podrian tirar una pista d como calcular en el 5 el flujo de dicho campo vectorial?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| joajoa escribió:
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me podrian tirar una pista d como calcular en el 5 el flujo de dicho campo vectorial?
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Probaste haciendolo a mano? Sin usar teoremas me refiero.
| joajoa escribió:
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...
Jackson puede ser que le hayas errado en la parametrizacion con polares? Porque no es una circunferencia comun y corriente la de la proyeccion de la superficie contra el plano xy, esta corrida en a sobre x, con lo cual la parametrizacion varia y te queda:
x = r cos(t) - a
y = r sen(t)
y con esto ultimo, el denominador de lo que te quedaba para la integral doble queda horrible, por que al hacer x^2+y^2 no te queda r^2, sino 2 terminos mas ademas: r^2 + r cos(t) + a^2, y yo la deje expresada....lo habian hecho en clase este ejercicio, pero nunca el borde, sino todo el resto de esfera que quedaba...en fin, espero tengan mejor suerte que yo en la correccion
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^{2} + y^{2} \le a^{2}[/tex]](images/latex/77b415ad527091a0b3c949bcde7d1405e652dc97_0.png "[tex](x-a)^{2} + y^{2} \le a^{2}[/tex]")
![[tex]x ^{2} -2ax + a^{2} + y^{2} \le a^{2}[/tex]](images/latex/fc244f1f211dd244b107e4a39c22dcee36abdcdc_0.png "[tex]x ^{2} -2ax + a^{2} + y^{2} \le a^{2}[/tex]")
![[tex]x ^{2} + y^{2} \le 2ax[/tex]](images/latex/4ad864493ba3167e11a1b214ac07fd708d2d010e_0.png "[tex]x ^{2} + y^{2} \le 2ax[/tex]")
Aplicamos el cambio de polares que todos conocemos (por las dudas lo aclaro):
![[tex]x = r \cdot cos(\theta)[/tex]](images/latex/1b7bd1dbc970b4724b4d8c6e8fd8530463192e44_0.png "[tex]x = r \cdot cos(\theta)[/tex]")
![[tex]y = r \cdot sen(\theta)[/tex]](images/latex/31c2400312fe40374dbb1b76cb63b7ba71f7a642_0.png "[tex]y = r \cdot sen(\theta)[/tex]")
Reemplazamos en la desigualdades anteriores:
![[tex]r^{2} \le 2a r \cdot cos(\theta)[/tex]](images/latex/b166e9969451a35f09d365c9afdd20015bf662a6_0.png "[tex]r^{2} \le 2a r \cdot cos(\theta)[/tex]")
![[tex]r \le 2a \cdot cos(\theta)[/tex]](images/latex/4eb57ed37650c40735ab8fd95c08a1345fafcd50_0.png "[tex]r \le 2a \cdot cos(\theta)[/tex]")
Fijate que tanto ![[tex]r = 0[/tex]](images/latex/0b30b5b56293aa48a77fc2ce3615636a930e8ea1_0.png "[tex]r = 0[/tex]") como ![[tex]r = 2a \cdot cos(\theta)[/tex]](images/latex/fc0f069fc226a02c56290588acfeabf806b8dc9e_0.png "[tex]r = 2a \cdot cos(\theta)[/tex]") cumplen, justamente por eso use esos límites.
Saludos
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Última edición por Jackson666 el Vie Jul 16, 2010 7:25 am, editado 2 veces
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| SofiaC escribió:
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...
groso, gracias!!
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De nada 
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Marvel escribió:
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| Jackson666 escribió:
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Te propongo una solución:
Si , digo:
siendo la superficie de nivel 0 la esfera en cuestión, entonces:
el vector normal en todo punto, orientado hacia afuera.
Entonces la integral me queda (si proyectara en el xy):
si me queda alguna z la reemplazo por porque z > 0
Si proyectas en el xy te queda una circunferencia corrida, que es la misma que la intersección del cilindro corrido con el plano z = 0. Entonces:
Si usamos polares para resolver:
Sustitución:
Si solo resuelvo la última integral queda:
Si lo enchufamos en la integral que queda:
En este caso lo hice con el que está en la página de la materia, que tiene el corrimiento en x, pero el procedimiento es el mismo, hay que ver bien los límites en polares, nada más.
Saludos
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Jackson puede ser que le hayas errado en la parametrizacion con polares? Porque no es una circunferencia comun y corriente la de la proyeccion de la superficie contra el plano xy, esta corrida en a sobre x, con lo cual la parametrizacion varia y te queda:
x = r cos(t) - a
y = r sen(t)
y con esto ultimo, el denominador de lo que te quedaba para la integral doble queda horrible, por que al hacer x^2+y^2 no te queda r^2, sino 2 terminos mas ademas: r^2 + r cos(t) + a^2, y yo la deje expresada....lo habian hecho en clase este ejercicio, pero nunca el borde, sino todo el resto de esfera que quedaba...en fin, espero tengan mejor suerte que yo en la correccion
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Fijate que la parametrizacion de el tiene el radio variable, la tuya es valida pero sin radio variable. Depende de los extremos que den las dos pueden estar bien creo. 
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Jackson666 escribió:
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Te propongo una solución:
Si , digo:
siendo la superficie de nivel 0 la esfera en cuestión, entonces:
el vector normal en todo punto, orientado hacia afuera.
Entonces la integral me queda (si proyectara en el xy):
si me queda alguna z la reemplazo por porque z > 0
Si proyectas en el xy te queda una circunferencia corrida, que es la misma que la intersección del cilindro corrido con el plano z = 0. Entonces:
Si usamos polares para resolver:
Sustitución:
Si solo resuelvo la última integral queda:
Si lo enchufamos en la integral que queda:
En este caso lo hice con el que está en la página de la materia, que tiene el corrimiento en x, pero el procedimiento es el mismo, hay que ver bien los límites en polares, nada más.
Saludos
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Cando reolves la ultima integral, No hay que ponerle modulo al seno de tita, porque tita va de -pi/2, a pi/2 y el seno peude tomar cualquier signo en ese itervalo o me mande cualqiera?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Ttincho escribió:
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...
Fijate que la parametrizacion de el tiene el radio variable, la tuya es valida pero sin radio variable. Depende de los extremos que den las dos pueden estar bien creo.
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Es lo mismo usar una parametrización u otra. Seguramente se pueda calcular de las 2 maneras, pero tal vez sea más sencillo con una que con otra.
| Ttincho escribió:
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...
Cando reolves la ultima integral, No hay que ponerle modulo al seno de tita, porque tita va de -pi/2, a pi/2 y el seno peude tomar cualquier signo en ese itervalo o me mande cualqiera?
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No.
Saludos.
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aledc_89
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 276
Carrera: Civil
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| Buenas, en el ejercicio 2) tengo problemas con el calculo del área de la elipse ( con el Teorema de Green), cuando parametrizo la elipse me queda de centro (0,2) y semiradios a=1, b=2 (estoy hablando del tema 1), pero no se como plantear la integral doble, osea si parametrizo tengo (X,Y)=(cos(t); 2 + 2sen(t)), con t variando entre 0 y 2pi, y cúal es el otro limite de integracion?
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| aledc_89 escribió:
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Buenas, en el ejercicio 2) tengo problemas con el calculo del área de la elipse ( con el Teorema de Green), cuando parametrizo la elipse me queda de centro (0,2) y semiradios a=1, b=2 (estoy hablando del tema 1), pero no se como plantear la integral doble, osea si parametrizo tengo (X,Y)=(cos(t); 2 + 2sen(t)), con t variando entre 0 y 2pi, y cúal es el otro limite de integracion?
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Usa directamente la formula del area de la elipse, q si no me equivoco es ![[tex] {\pi}ab[/tex]](images/latex/bf4b96813e06e8c0842d815628c9ae280d8a3784_0.png "[tex] {\pi}ab[/tex]") .
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| aledc_89 escribió:
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Buenas, en el ejercicio 2) tengo problemas con el calculo del área de la elipse ( con el Teorema de Green), cuando parametrizo la elipse me queda de centro (0,2) y semiradios a=1, b=2 (estoy hablando del tema 1), pero no se como plantear la integral doble, osea si parametrizo tengo (X,Y)=(cos(t); 2 + 2sen(t)), con t variando entre 0 y 2pi, y cúal es el otro limite de integracion?
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Lo que te conviene hacer para calcular el area, es calcular el area de 1/4 de elipse, como por ejemplo la seccion ubicada en el primer cuadrante, luego a esa integral la multiplicas por 4 y te da el area total que deberia ser ![[tex]\pi ab[/tex]](images/latex/80f37ade816f02162dedba900b541ad6cc962f00_0.png "[tex]\pi ab[/tex]") .
Si tenemos ![[tex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/tex]](images/latex/ea3608ca174f3bb39cb839c11990906d734fb372_0.png "[tex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/tex]") entonces ![[tex]y=b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]](images/latex/0c2f5b11086f25120a3ba4a3870fd31e3e62e0f4_0.png "[tex]y=b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]") . Los limites de integracion son los siguientes:
![[tex]0 \le x \le a[/tex]](images/latex/37653134ad20f0244d31aeb1a440fc492daeec36_0.png "[tex]0 \le x \le a[/tex]") y ![[tex]0 \le y \le b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]](images/latex/494036f343c37f0052aed72c626d73613b089aa2_0.png "[tex]0 \le y \le b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]")
Ahora la integral quedaria ![[tex]A_{total}=4 \int_0^a \, dx \int_0^c \, dy = \pi ab[/tex]](images/latex/7b9620970bc4d371c4b8faf94d33e1ebe84ccb60_0.png "[tex]A_{total}=4 \int_0^a \, dx \int_0^c \, dy = \pi ab[/tex]") , siendo ![[tex]c=b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]](images/latex/0b26d0229bd7dad4be1d6a5511f1a97269c6f6f4_0.png "[tex]c=b \sqrt{1- \frac{x^{2}}{a^{2}}}[/tex]") .
Saludos.
EDIT: si pensas trabajarlo en polares, te conviene tmb trabajar con 1/4 de seccion de elipse, como hice con cartesianas.
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aledc_89
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 276
Carrera: Civil
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Gracias a los dos por las respuestas.. igual me sigue sin dar el resultado
| Basterman escribió:
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En el 2, despues de arreglar lo q habia hecho mal queda q la circulacion sobre la elipse se saca con Green y queda q es 2*area de la elipse.
Area=pi*a*b, siendo a y b los semiejes de la elipse, por lo q todo junto quedaria: 2*1/2*pi=pi, y esa es la circulacion.
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No entiendo que semiejes tomaste.. yo tome a=1 y b= 2, entonces el area de la elipse es 1.2.pi =2pi, que multiplicado por el (Pxx-PYY)=2 , la circulacion total me da 4pi... segun las cuentas los semiejes a vos te quedan a= 1 y b= 1/2 (tambien estoy haciendo el tema 1)
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| aledc_89 escribió:
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Gracias a los dos por las respuestas.. igual me sigue sin dar el resultado
| Basterman escribió:
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En el 2, despues de arreglar lo q habia hecho mal queda q la circulacion sobre la elipse se saca con Green y queda q es 2*area de la elipse.
Area=pi*a*b, siendo a y b los semiejes de la elipse, por lo q todo junto quedaria: 2*1/2*pi=pi, y esa es la circulacion.
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No entiendo que semiejes tomaste.. yo tome a=1 y b= 2, entonces el area de la elipse es 1.2.pi =2pi, que multiplicado por el (Pxx-PYY)=2 , la circulacion total me da 4pi... segun las cuentas los semiejes a vos te quedan a= 1 y b= 1/2 (tambien estoy haciendo el tema 1)
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Si no me equivoco queda una elipse de forma ![[tex]4x^{2}+y^{2}[/tex]](images/latex/fa9a1d4e530cf647cf6413b6550340da9870b4c8_0.png "[tex]4x^{2}+y^{2}[/tex]") no importa como era realmente pq estamos discutiendo a y b. Sabes q la formula de la elipse es ![[tex]x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2}[/tex]](images/latex/e362380cb53379a99dba44f175ba6a7c306e96ee_0.png "[tex]x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2}[/tex]") entonces para q se cumpla lo primero, a= 1/2 y b=1 .
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