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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Bistek escribió:
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De todas formas, si no se acordaban lo de la función potencial, el ejercicio 2 sale directamente aplicando Green, porque hacer ![[tex]Q_x(x,y)-P_y(x,y)[/tex]](images/latex/f749b1ca93d70cde28ec336a252d4b843364e9b7_0.png "[tex]Q_x(x,y)-P_y(x,y)[/tex]") de TODO el campo (sin "separar en términos") da lo mismo que hacer la misma cuenta solo del segundo término del campo, o sea ![[tex]P_xx(x,y)-P_yy(x,y)[/tex]](images/latex/cad293c832227329a80ab05e421a0746586b73ca_0.png "[tex]P_xx(x,y)-P_yy(x,y)[/tex]")
La complicación de este ejercicio para mi, y creo que se olvidaron muchos, era justificar por qué podés remplazar ![[tex]P_yy[/tex]](images/latex/2ac0972d6e0ff0003c5d8183316ab7779772dc5b_0.png "[tex]P_yy[/tex]") y ![[tex]P_xx[/tex]](images/latex/edd0886828d0c22187935d6a9f12eadb92b34923_0.png "[tex]P_xx[/tex]") por los valores que aparecen en el Hessiano, puesto que el hessiano ese que te dan esta evaluado en un punto y vos necesitas las derivadas segundas para todo punto (x,y), me explico?
| SofiaC escribió:
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el 5 no pude hacerlo porque no me sale la parametrizacion de esa superficie chota.
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La parametrización del 5.a la hice en la primer página con una mini explicación, media pila que me llevó tiempo escribir en latex eso.
También debe salir fácil usando coordenadas esféricas porque es un cacho de esfera.
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Si o sea,yo llego a escribir esa parametrizacion con la raiz i me anulan todo el ejercicio, no puedo poner raices en las parametrizaciones. O sea yo hice otra param. distinta y el area me da bonita 8a^2 pero el flujo no se como calcularlo, no se si puedo usar el teorema de la divergencia porque R3 - 000, entonces f no es diferenciable en el recinto que encerraria un supuesto macizo.
Alguien sabe como hacerlo y lo que da?
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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Te dejo la que hice yo T(u,v) = (4acos^2u,2acosusenu,v)
0 <u< pi
0< v < a la esfera que te queda un raiz espantosa, perose te va todo con identidades trigo. y te queda 2a
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| am ira vos el campo que dieron en el parcial es solenoidal. Sera cero la divergencia che?
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| digo: el flujo, no se si puedo usar gauss. jaja
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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| Me mariaste no se ni de que ejercicio hablás. Por ahí si aclarás te puedo ayudar
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Si me marie yo tambien. El ultimo ejercicio. El del area de la esfera con el cilindro. La parametrizacion de la superficie, no puedo poner raices, entonces propuse otra que fue creo la que hicimos en clase. De ahi calcule el area todo. De aca lo que queria preguntar es que cuando pide el flujo a través de ese pedazo de superficie. El campo es solenoidal, pero resolverlo cerrando con Z = 0 estaría mal pues F no es diferenciable en ese macizo. Ahora está bien si cierro con z= 1 y las paredes del cilindro y calculo usando gauss,no se si alguien lo hizo asi o sabe. Gracias.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| z= 1 no lo encierra tiene que ser algo que cierre esa curva horrible.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| deja ya lo entendi hice un lio barbaro i no era tan dificil, que no lo hubiera hecho si lo hubiera dado ese día, seguro., Muchas gracias!.
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brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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Yo tenia tema 2(en donde el cilindro estaba corrido "a" en el eje Y).
Como la esfera era de radio 2a, y el cilindro de radio a(pero como estaba corrido, llegaba hasta 2a) lo que hice fue proyectar sobre el plano ZY y lo que me quedo fue la curva de la esfera (desde "2a"), hasta el eje Y que se interseca con el cilindro.
Entonces, parametrize la superficie asi: G(t) = (0, 2a*ro*cos t, 2a*ro*sen t) , con 0 <= t <= pi/2 y 0 <= ro <=1.
Despues calcule la integral entre esos limites, de la norma de la normal y no me acuerdo cuanto me dio.
Tengo dudas sobre si esta bien o mal.
Alguien hizo algo parecido?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Te propongo una solución:
Si ![[tex]S: \,\,\,\, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4a^{2}[/tex]](images/latex/03cff1a31cb507f3dd746ec220aeca96310e9fb8_0.png "[tex]S: \,\,\,\, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4a^{2}[/tex]") , digo:
![[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4a^{2}[/tex]](images/latex/fe172f944321611f5e23d2a63d5c0de9384c4454_0.png "[tex]G(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4a^{2}[/tex]") siendo la superficie de nivel 0 la esfera en cuestión, entonces:
![[tex]\nabla G(x,y,z) = (2x,2y,2z)[/tex]](images/latex/dcff394517eea71fbc978d32b03c229607d48368_0.png "[tex]\nabla G(x,y,z) = (2x,2y,2z)[/tex]") el vector normal en todo punto, orientado hacia afuera.
Entonces la integral me queda (si proyectara en el xy):
![[tex]\iint_{S}{\frac{||\nabla G||}{|G^{'}_{z}|} \,\, dxdy}[/tex]](images/latex/748034a0179c489c51299418660e9b3a9510adca_0.png "[tex]\iint_{S}{\frac{||\nabla G||}{|G^{'}_{z}|} \,\, dxdy}[/tex]") si me queda alguna z la reemplazo por ![[tex]z = \sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex]](images/latex/ac9d2aeaadeb3fe04a121620b4d11e1d397afbad_0.png "[tex]z = \sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex]") porque z > 0
Si proyectas en el xy te queda una circunferencia corrida, que es la misma que la intersección del cilindro corrido con el plano z = 0. Entonces:
![[tex]\iint_{S}{\frac{2 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{2z} \,\, dxdy} = \iint_{S}{\frac{2a}{\sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \,\, dxdy}[/tex]](images/latex/53fcb79510c383d8248c59b9241ec3c5ad185607_0.png "[tex]\iint_{S}{\frac{2 \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{2z} \,\, dxdy} = \iint_{S}{\frac{2a}{\sqrt{4a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \,\, dxdy}[/tex]")
Si usamos polares para resolver:
![[tex]2a \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ d \theta \int_{0}^{2acos(\theta)}{ \frac{r}{ \sqrt{4a^{2} - r^{2}} } \,\, dr } } [/tex]](images/latex/1f3e586ac1b33ec35ac0386777b0ba3588b06657_0.png "[tex]2a \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ d \theta \int_{0}^{2acos(\theta)}{ \frac{r}{ \sqrt{4a^{2} - r^{2}} } \,\, dr } } [/tex]")
Sustitución: ![[tex]u = 4a^{2} - r^{2} \Rightarrow du = -2r \cdot dr[/tex]](images/latex/3a921627c0d1c9acf95a8c028f87f6e8b5c96bb3_0.png "[tex]u = 4a^{2} - r^{2} \Rightarrow du = -2r \cdot dr[/tex]")
Si solo resuelvo la última integral queda:
![[tex]-\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} (1 - cos^{2}(\theta))}{ \frac{du}{ \sqrt{u}}} = -\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)}{ u^{-\frac{1}{2}} \,\, du } = -u^{\frac{1}{2}} \Bigg|_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)} = -\left[ (2a \cdot sen(\theta) ) - ( 2 a ) \right] = [/tex]](images/latex/11b7ae675be00ebd0e69137ebcceef4ece8c311e_0.png "[tex]-\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} (1 - cos^{2}(\theta))}{ \frac{du}{ \sqrt{u}}} = -\frac{1}{2}\int_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)}{ u^{-\frac{1}{2}} \,\, du } = -u^{\frac{1}{2}} \Bigg|_{4a^{2}}^{4a^{2} sen^{2}(\theta)} = -\left[ (2a \cdot sen(\theta) ) - ( 2 a ) \right] = [/tex]") ![[tex]= 2a \left[1 - sen(\theta) \right][/tex]](images/latex/df1776a4568d389f68f2a27a2b671cc4de44b5ec_0.png "[tex]= 2a \left[1 - sen(\theta) \right][/tex]")
Si lo enchufamos en la integral que queda:
![[tex]4 \cdot a^{2} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[1 - sen(\theta) \right] \,\, d \theta} = 4 \cdot a^{2} \cdot \Bigg[ \theta + cos(\theta)\Bigg]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 4\pi \cdot a^{2}[/tex]](images/latex/8dc819e6817a4521710328be4fb4359f4b10eba4_0.png "[tex]4 \cdot a^{2} \cdot \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{ \left[1 - sen(\theta) \right] \,\, d \theta} = 4 \cdot a^{2} \cdot \Bigg[ \theta + cos(\theta)\Bigg]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 4\pi \cdot a^{2}[/tex]")
En este caso lo hice con el que está en la página de la materia, que tiene el corrimiento en x, pero el procedimiento es el mismo, hay que ver bien los límites en polares, nada más.
Saludos
EDIT: Corregida la norma del gradiente en el primer paso de integración.
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Última edición por Jackson666 el Sab Jul 16, 2011 12:59 pm, editado 3 veces
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Alguien pudo confimar la validez del siguiente razonamiento..
Porque anda de 10, pero de ahí a que no te pongan WTF en la corrección..
![[tex]{\rm{Si }}[/tex]](images/latex/87ec4fa6ca3577bec5b601c6b318d9c159a0f6e7_0.png "[tex]{\rm{Si }}[/tex]") ![[tex]\overline F = Rot\left( {\overline G } \right)[/tex]](images/latex/395d1fa2ef8ebee9aeb763c58d4905602beb7d87_0.png "[tex]\overline F = Rot\left( {\overline G } \right)[/tex]")
![[tex]div\left( {\overline F } \right) = div\left( {Rot\left( {\overline G } \right)} \right)[/tex]](images/latex/ed9f03542b8bc06fa320132f2804a41c4b31d207_0.png "[tex]div\left( {\overline F } \right) = div\left( {Rot\left( {\overline G } \right)} \right)[/tex]")
![[tex]div\left( {\overline F } \right) = 0[/tex]](images/latex/d964441bc954bd96787e0513ddda301d5bb3ae0b_0.png "[tex]div\left( {\overline F } \right) = 0[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Pablon: está perfecto eso, es una propiedad de cualquier rotor.
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Pablon escribió:
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Alguien pudo confimar la validez del siguiente razonamiento..
Porque anda de 10, pero de ahí a que no te pongan WTF en la corrección..
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No hay nada q confirmar, es asi la divergencia del rotor, ya q este siempre es un campo solenoidal, a los sumo eso ultimo le podes poner.
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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| Buenísimo, sabia que la divergencia del Rotor es 0, pero mi duda es si me hacen problema por aplicar la divergencia de ambos lados, pero si es válido bienvenido sea!
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brianr
Nivel 3
Edad: 36
Registrado: 23 Feb 2009
Mensajes: 42
Carrera: Sistemas
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Jackson666:
Es posible proyectar sobre el eje XY para resolver el problema?
Viendo que lo que te piden es la porcion de la esfera contenida en el cilindro, si lo proyectas sobre dicho plano, no se como distinguis esa region. Yo lo unico que veo de esa forma, sin pensarlo mucho, es solo el cilindro(visto desde arriba).
En cambio, si lo proyectas sobre el plano XZ(en tu caso, o YZ en el mio) ves como se cortan, y distinguis el area que te piden.
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