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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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Recien hice el del fucking polonimio de Taylor y me dio PI
pero lo hice con Green asi que tendria que ser.. menos PI porque pedia que
se recorra en sentido negativo. Alguien que corrobore esto jeje
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| Pablon escribió:
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| aledc_89 escribió:
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Eso lo entendí, pero porque la circulacion de ese campo es 0?
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Mira, yo hice todo el desarrollo del polinomio de Taylor recien y es un campo conservativo, entonces, la circulacion a traves de toda curva cerrada es 0.
Si, me volvi mono haciendo el Polinomio como un goma
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El campo no es conservativo, fijate que la derivada de la segunda componenete respecto de x - la 1a respecto de x no te da cero, te da algo en funcion de las derivadas segundas pxx(x,y) pyy(x,y)
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| brianr escribió:
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La verdad fue una patada en los de abajo. A mi gusto fueron 6 ejercicios encubiertos en 5, porque había el último tenía a y b que en la primera fecha fueron 2 ejercicios separados.
Pero bueno, yendo a los ejercicios: cómo les quedó la circulación en el 4?
Yo creo que hice lio, pero al fin y al cabo no se si está mal(perdón por no usar Latex):
Plantee que por stokes: la integral doble del rot(G) sobre S = las circulaciones sobre S1 + la de S0.
Como, por el teorema de la divergencia, la div del rotor era 0, me quedaba que la circulacion sobre S1 = - S0.
Entonces, la de S0 la calcule con el teo del rotor, ya que la circ sobre S0 = la integral doble del rotor de G y me dio 3/2, entonces S1 = -3/2.
Supongo que se podría haber hecho más simple, porque me suena a que di demasiadas vueltas.
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Pregunto una burrada el borde de S1, o sea las cuatro caras es una curva simple porque o yo soi muy tonto (probablemente) o no puedo recorrer el borde sin pasar dos veces por el mismo lugar, o no entiendo el dibujito.
Y ahi que haría stokes así por partes?
Gracias!
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Bistek escribió:
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El de extremos según yo y hecho en 5 minutos sin revisar:
Tenemos una función a extremar y una curva restricción que viene dada por la interseccion de dos superficies.
De la segunda ecuación tomo Z y lo remplazo en la ecuacion de la esfera, con lo que me queda ![[tex]x^2+y^2=1[/tex]](images/latex/d9f274181d096684907e9ed7d25d6f643e67fed3_0.png "[tex]x^2+y^2=1[/tex]") y junto con la condición ![[tex]z=y[/tex]](images/latex/05201e0ec7cb9652bbe638cac32890aaa6217bed_0.png "[tex]z=y[/tex]") puedo parametrizar la curva de esta forma:
![[tex]C= Im(\vec \gamma(t))[/tex]](images/latex/398a18de1bce3b5e0d78f5b845fbf26d53e4f659_0.png "[tex]C= Im(\vec \gamma(t))[/tex]")
![[tex]\vec \gamma(t)=(cos \ t, sen \ t, sent \ t) \ ; \ 0 \le t \le 2\pi[/tex]](images/latex/af29abdd33d18dc8fb56b0e9b489bdd594681ff3_0.png "[tex]\vec \gamma(t)=(cos \ t, sen \ t, sent \ t) \ ; \ 0 \le t \le 2\pi[/tex]")
Ahora evaluo esto en el campo escalar T y obtengo una función de una variable
![[tex]T(\vec \gamma(t))= 1 + sen^2 \ t = F(t)[/tex]](images/latex/eae5e207b3b289e05656b8e96d9bc4cbf12aa163_0.png "[tex]T(\vec \gamma(t))= 1 + sen^2 \ t = F(t)[/tex]")
Derivo para buscar puntos estacionarios
![[tex]F'(t)=2 sen \ t \ cos \ t[/tex]](images/latex/9c23ee0e8d85bf385bc7166171830bfd9b773d15_0.png "[tex]F'(t)=2 sen \ t \ cos \ t[/tex]")
esto es igual a 0 cuando el seno o coseno se anulan o sea en 4 puntos (los angulos que estan sobre los ejes).
Saco la derivada segunda para clasificar los extremos.
![[tex]F''(t)= 2 (cos^2 \ t - sen^2 \ t)[/tex]](images/latex/8fd35fdee84cd87aeedf3edc43591324de0c56ae_0.png "[tex]F''(t)= 2 (cos^2 \ t - sen^2 \ t)[/tex]")
y evaluando en los puntos:
![[tex]F''(0)= 2 > 0[/tex]](images/latex/ceea213e901f2e2de8130a892d31d6538894a385_0.png "[tex]F''(0)= 2 > 0[/tex]")
![[tex]F''(\pi) = 2 > 0[/tex]](images/latex/5c81196d01adcedc49868f9a4c7f5c9e8be027f3_0.png "[tex]F''(\pi) = 2 > 0[/tex]")
![[tex]F''(\frac{\pi}{2}) = -2 < 0[/tex]](images/latex/30898e004ea5928f80e093be087bc673be484c20_0.png "[tex]F''(\frac{\pi}{2}) = -2 < 0[/tex]")
![[tex]F''(\frac{-\pi}{2}) = -2 < 0[/tex]](images/latex/3ce21403f5fa233e6d53bc2f06a5b4619a4aaad4_0.png "[tex]F''(\frac{-\pi}{2}) = -2 < 0[/tex]")
Por lo tanto en los puntos 0 y ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") se alcanzan minimos de valor ![[tex]F(0)=1[/tex]](images/latex/29fd49c07883c4ce8fc98294042804e2952390b9_0.png "[tex]F(0)=1[/tex]") y ![[tex]F(\pi)=1[/tex]](images/latex/42c765a25caade831479bede7dfceb5d8809e445_0.png "[tex]F(\pi)=1[/tex]") , como valen lo mismo ambos son absolutos.
Y en los puntos ![[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]](images/latex/099837c8b41b61b95e1af79a9a70edec6d66bbd8_0.png "[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]") y ![[tex]\frac{-\pi}{2}[/tex]](images/latex/e696fe825abf2de658552f143f527fc51cc65f25_0.png "[tex]\frac{-\pi}{2}[/tex]") alcanzan maximos de valor ![[tex]F(\frac{\pi}{2})= 2[/tex]](images/latex/7b8737c4c1952cdf7313e338920d9268ccd168d6_0.png "[tex]F(\frac{\pi}{2})= 2[/tex]") y ![[tex]F(\frac{-\pi}{2}) = 2[/tex]](images/latex/3aa892fb60dce8544bce37753bc18e05630ffe68_0.png "[tex]F(\frac{-\pi}{2}) = 2[/tex]") , valen lo mismo entonces ambos son los absolutos.
No se si hace falta dar los puntos en "erre tre", pero basta con remplazar en la T y quedan los puntos.
Cualquier corrección digalo digalo
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Creo q esta bien, me dieron lo mismo, nunca se me ocurrio parametrizar, me tire de cabeza a meter multiplicadores de lagrange y me quedaron demasiadas cuentas. Se agradece.
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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Para q no queden dudas, el campo del 2 es
![[tex]\vec g(x,y) = 2p(x,y) \nabla p(x,y) + (p_y,p_x)[/tex]](images/latex/0dcaa684df2fdbb82bb63e52eb7dbb3466c7f7de_0.png "[tex]\vec g(x,y) = 2p(x,y) \nabla p(x,y) + (p_y,p_x)[/tex]")
Ahora si vemos que el campo es la suma de dos campos, analizamos el primer termino, que es un campo ESCALAR multiplicando a un campo VECTORIAL, por lo tanto el resultado es otro campo VECTORIAL, esto es:
![[tex]2p(x,y)\nabla p(x,y) = (2p(x,y) \ p_x,2p(x,y) \ p_y)[/tex]](images/latex/91009f5cc0931599bd15da93c7805478fa336388_0.png "[tex]2p(x,y)\nabla p(x,y) = (2p(x,y) \ p_x,2p(x,y) \ p_y)[/tex]")
Ahora si estas afilado podes ver facilmente que esto es el gradiente de otra función, que es ![[tex]p^2(x,y)[/tex]](images/latex/760ada5f120a4bd93bd544dbe735e042d1dbab7b_0.png "[tex]p^2(x,y)[/tex]") , por lo tanto esta es su función potencial = el campo es conservativo = la integral de linea no depende de la trayectoria = la integral de linea puede calcularse evaluando los puntos final e inicial de la curva en su función potencial y restandolos = la integral de linea sobre una trayectoria cerrada es siempre 0
Todo esto es equivalente, por lo tanto como la curva a la cual tenes que calcularle la circulación es una curva cerrada, la circulacion de este campo da 0 y solo va a depender de la "segunda parte" del campo que es [/tex]](images/latex/cb2b33832800511fa78be7ba84817bb0b683de27_0.png "[tex](p_y,p_x)[/tex]")
Y se continúa aplicando el teorema de green sobre esta parte del campo cuidado la justificación de donde y porq sacas los valores de ![[tex]P_xx[/tex]](images/latex/edd0886828d0c22187935d6a9f12eadb92b34923_0.png "[tex]P_xx[/tex]") y ![[tex]P_yy[/tex]](images/latex/2ac0972d6e0ff0003c5d8183316ab7779772dc5b_0.png "[tex]P_yy[/tex]") que nadie menciono salvo Ttincho.
pd: si no ves a simplevista lo de la función potencial, la condición necesaria y suficiente para que un campo sea conservativo y bla bla bla es que ![[tex]Q_x(x,y) - P_y(x,y) = 0[/tex]](images/latex/ba96cea4e82d1deae33b6b0058700a7e17386568_0.png "[tex]Q_x(x,y) - P_y(x,y) = 0[/tex]") que por su puesto se cumple aca para el primer sumando y no para el segundo...
No dije nada que no se haya dado en clase , pero espero haber ayudado a alguien que ande medio flojo con esto que es importante.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| ahi te entendi perfectamente lo que decias. yo pense que decias que el campo g era conservativo no que el primer sumando. disculpa!
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Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
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| Basterman escribió:
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| Cita:
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Eso lo entendí, pero porque la circulacion de ese campo es 0?
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Ya encontre lo q buscaba, es una propiedad q saque d algun lado, pero no tengo la demostracion, creeme lo q te digo, jaja.
La integral de linea del campo gradiente es igual a f(c(b)-f(c(a)) siendo a y b, los limites inferiores y superiores respectivamente.
E el caso de una curva cerrada, van a ser iguales, por lo q la integral da 0.
Y aparte de todo, y es solo una supocion mia, el q este elevado al cuadrado la P, no me jode.
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¿Cómo no sabés la demostración? Adiviná qué te da la integral de un gradiente: su función potencial. Entonces es conservativo. Entonces independencia del camino. Entonces todo lo que dijiste.
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![[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]](images/latex/8abc5691357a123d82fd07cae688fd7767bf6633_0.png "[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]")
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Pablon
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 16 Feb 2010
Mensajes: 168
Ubicación: Banfield
Carrera: Informática
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| Bistek escribió:
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Para q no queden dudas, el campo del 2 es
Ahora si vemos que el campo es la suma de dos campos, analizamos el primer termino, que es un campo ESCALAR multiplicando a un campo VECTORIAL, por lo tanto el resultado es otro campo VECTORIAL, esto es:
Ahora si estas afilado podes ver facilmente que esto es el gradiente de otra función, que es , por lo tanto esta es su función potencial = el campo es conservativo = la integral de linea no depende de la trayectoria = la integral de linea puede calcularse evaluando los puntos final e inicial de la curva en su función potencial y restandolos = la integral de linea sobre una trayectoria cerrada es siempre 0
Todo esto es equivalente, por lo tanto como la curva a la cual tenes que calcularle la circulación es una curva cerrada, la circulacion de este campo da 0 y solo va a depender de la "segunda parte" del campo que es
Y se continúa aplicando el teorema de green sobre esta parte del campo cuidado la justificación de donde y porq sacas los valores de y que nadie menciono salvo Ttincho.
pd: si no ves a simplevista lo de la función potencial, la condición necesaria y suficiente para que un campo sea conservativo y bla bla bla es que que por su puesto se cumple aca para el primer sumando y no para el segundo...
No dije nada que no se haya dado en clase , pero espero haber ayudado a alguien que ande medio flojo con esto que es importante.
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Excelente explicación. A algo asi me referia yo jeje, la primer parte te va a dar 0 por lo de consevativo, y la 2 te queda como habia dicho Jackson666 2, y de ahi sale que me dio PI
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SofiaC
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 10 Feb 2010
Mensajes: 60
Carrera: Química
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por favor que parcial de mierda, me duele la cabeza de todavia estar pensandolo...
el 2 era realmente imposible y todavia no lo entiendo jaja que burra, y el 5 no pude hacerlo porque no me sale la parametrizacion de esa superficie chota.
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So if you have a minute, why don´t we go talk about it somewhere only we know?
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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yo no entiendo COMO ES LA CURVA BORDE DE S!1
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Basterman
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 28 Nov 2008
Mensajes: 2329
Carrera: Mecánica
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| Ttincho escribió:
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yo no entiendo COMO ES LA CURVA BORDE DE S!1
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| brianr escribió:
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Plantee que por stokes: la integral doble del rot(G) sobre S = las circulaciones sobre S1 + la de S0.
Como, por el teorema de la divergencia, la div del rotor era 0, me quedaba que la circulacion sobre S1 = - S0.
Entonces, la de S0 la calcule con el teo del rotor, ya que la circ sobre S0 = la integral doble del rotor de G y me dio 3/2, entonces S1 = -3/2.
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Como bien dijo Brianr, hay q aplicar primero el teorema de Gauss, para saber cuanto vale el flujo del rotor, y una vez q tengas ese resultado, y por el teorema de Stokes, sabes q va a ser la suma de las circulaciones, q en este caso van a dar 0, y con los datos q te dan es posible sacar la circulacion sobre S0 nomas q seria el resultado de S1 en signo opuesto.
Espero q esta muy pero muy por arriba explicacion te sirva.
Si alguien quiere ser mas detallado, bienvenido sea.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Basterman escribió:
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| Cita:
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Eso lo entendí, pero porque la circulacion de ese campo es 0?
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Ya encontre lo q buscaba, es una propiedad q saque d algun lado, pero no tengo la demostracion, creeme lo q te digo, jaja.
La integral de linea del campo gradiente es igual a f(c(b)-f(c(a)) siendo a y b, los limites inferiores y superiores respectivamente.
E el caso de una curva cerrada, van a ser iguales, por lo q la integral da 0.
Y aparte de todo, y es solo una supocion mia, el q este elevado al cuadrado la P, no me jode.
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Que grande Baster..... siempre con la matemática a la vanguardia.
Son 3 las definiciones equivalentes de que un campo sea conservativo:
![[tex]1) \ \oint_C \vec {V} ds = 0 , \ \ \ \forall \text{ C cerrada} [/tex]](images/latex/487d76efcbab5ef87d04f5c02c6b5c8f9a9e4bfb_0.png "[tex]1) \ \oint_C \vec {V} ds = 0 , \ \ \ \forall \text{ C cerrada} [/tex]")
![[tex]2) \int_{C_1} \vec {V} ds = \int_{C_2} \vec {V} ds , \ \ \ \forall \ C_1, \ C_2 \ / \ {C_1}_i={C_2}_i , \ \ {C_1}_f={C_2}_f [/tex]](images/latex/a844f230671244f075ef305302bf875754bbc75a_0.png "[tex]2) \int_{C_1} \vec {V} ds = \int_{C_2} \vec {V} ds , \ \ \ \forall \ C_1, \ C_2 \ / \ {C_1}_i={C_2}_i , \ \ {C_1}_f={C_2}_f [/tex]")
[tex]3) \ \exists \ f \, \ f: \mathbb{R}^n \Longrightarrow \mathbb R \ / \int_{\vec {r_1} }^{\vec {r_2} } \vec {V} ds = \int_{\vec {r_1} }^{\vec {r_2} } \vec {\nabla {f} }ds = f(\vec{r_2}) - f(\vec{r_1}) [/tex]
(Bueno y si la región es simplemente conexa está la cuarta equivalencia, la del rotor, sino es una implicación solamente).
Si querés las demostraciones las tengo en el teórico.
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Ttincho
Nivel 6
Registrado: 06 Sep 2009
Mensajes: 226
Carrera: Química
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| no entiendo porque no pusieron a>0 en el numero 5, sino arrastras ese modulo horrible durante todo el desarrollo de la integral.
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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De todas formas, si no se acordaban lo de la función potencial, el ejercicio 2 sale directamente aplicando Green, porque hacer ![[tex]Q_x(x,y)-P_y(x,y)[/tex]](images/latex/f749b1ca93d70cde28ec336a252d4b843364e9b7_0.png "[tex]Q_x(x,y)-P_y(x,y)[/tex]") de TODO el campo (sin "separar en términos") da lo mismo que hacer la misma cuenta solo del segundo término del campo, o sea ![[tex]P_xx(x,y)-P_yy(x,y)[/tex]](images/latex/cad293c832227329a80ab05e421a0746586b73ca_0.png "[tex]P_xx(x,y)-P_yy(x,y)[/tex]")
La complicación de este ejercicio para mi, y creo que se olvidaron muchos, era justificar por qué podés remplazar y por los valores que aparecen en el Hessiano, puesto que el hessiano ese que te dan esta evaluado en un punto y vos necesitas las derivadas segundas para todo punto (x,y), me explico?
| SofiaC escribió:
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el 5 no pude hacerlo porque no me sale la parametrizacion de esa superficie chota.
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La parametrización del 5.a la hice en la primer página con una mini explicación, media pila que me llevó tiempo escribir en latex eso.
También debe salir fácil usando coordenadas esféricas porque es un cacho de esfera.
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SofiaC
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 10 Feb 2010
Mensajes: 60
Carrera: Química
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una pregunta...
supuestamente r no es igual a 2a? (el radio de la esfera) porque es la parte de afuera o no?
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So if you have a minute, why don´t we go talk about it somewhere only we know?
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