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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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| Fijate al final del apunte de Mancilla de formas cuadráticas, donde dice desigualdad de Rayleigh generalizada.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| loonatic escribió:
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Ooootra pregunta
tengo esta forma cuadrática:
![[tex]Q(x)= \left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/7b820e9c68e81aa084a476ff53655c34e34c8201_0.png "[tex]Q(x)= \left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\\end{array}\right] [/tex]")
Teniendo en cuenta que no se me ocurrió lo que Prelat hizo (hacer las cuentitas, y agrupar los terminos), como se hallan ![[tex]max_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]](images/latex/c80afa71d3e2d7c3a4bf7da450a14c52df0ebaf6_0.png "[tex]max_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]") y ![[tex]min_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]](images/latex/2ff6ec807c923fff680af5beed96b1289aca2d59_0.png "[tex]min_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]") ???
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Querés minimizar F(x1,x2)=x1^2+x2^2 con la restricción x1^2+x1x2+x2^2=2
Escribí la restricción como (x1,x2)^t*A*(x1,x2)
Diagonalizá A ortogonalmente, hacé un cambio de variable de modo que la restricción te quede expresada como una norma al cuadrado y de ahí usa Rayleigh.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| Perdon, x1^2/2+x1x2+x2^2/2=2
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Va triple post, no puedo editar el post, fijate que la restricción para x1^2+x2^2 es x1^2/2+xy+x2^2/2=2, eso es 1/2(x+y)^2=2
(x+y)^2=4
|x+y|=2
Entonces o bien x+y=2 o x+y=-2, con lo que y1=2-x e y2=-2-x, son dos líneas paralelas.
Ahora imaginate el paraboloide x3=x1^2+x2^2 cortado por esos dos planos y te das cuenta de que existe el minímo pero no el máximo, eso sale de que la matríz de la forma cuadrática sea semidefinida positiva y no definida positiva con lo que no existe el máximo de la norma de x con algun conjunto de nivel de Q(x) como restricción.
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thew0rldismin3
Nivel 7
Registrado: 18 Dic 2008
Mensajes: 437
Carrera: No especificada
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Aprovecho este topic para no abrir uno nuevo. Tengo una duda sobre formas cuadráticas.
Supongamos que cuando se hace un cambio de variables, la nueva matriz de la forma queda con una columna de 0's. Esto me da que el determinante es nulo y no tiene inversa. Cómo hago para efectuar ese cambio de variables si no tengo la inversa?
Mi duda surge ya que resolviendo un ejercicio de final, de los que están en la página, le da que la forma no tiene valor máximo y sí tiene valor mínimo. Sin embargo para sacar cualquiera de los 2 puntos, al menos como lo hago yo, necesito esa matriz inversa. Por lo tanto yo me hubiera lanzado a contestar que no existen ninguno de los 2 valores y evidentemente me habría equivocado..
Si es mucho quilombo no hay problema, de última lo pregunto mañana en clase de consulta.
Gracias! Saludos
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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thew0rldismin3
Nivel 7
Registrado: 18 Dic 2008
Mensajes: 437
Carrera: No especificada
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Si. Es esta:
[(raiz de 3) 0 0]
[ 0 (raiz de 3) 0]
[ 0 0 0]
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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¿Para qué queres la inversa?
Como consecuencia del teorema espectral, tenes que ![[tex]A = UDU^{T}[/tex]](images/latex/4f75a14454f388541a59810a2a698c300732f272_0.png "[tex]A = UDU^{T}[/tex]") SIEMPRE. Si ![[tex]Q(x) = x^{T}Ax[/tex]](images/latex/86bbd03d0dcd806c258008ba59dc5b3da0f079f6_0.png "[tex]Q(x) = x^{T}Ax[/tex]") , escribí ![[tex]\hat{Q}(y) = y^{T}Dy[/tex]](images/latex/a4b59d5d5005f6192de557daddba03e9c2126bff_0.png "[tex]\hat{Q}(y) = y^{T}Dy[/tex]") , asumiendo ![[tex]y = U^{T}x[/tex]](images/latex/299dd2b0823290abce096cd53ff561b7e8c7516d_0.png "[tex]y = U^{T}x[/tex]") .
¿Vos lo que decís es que la matriz D tiene un 0 en la diagonal? Igual, si te piden extremar una forma cuadrática, no necesitas para nada la inversa de D.
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thew0rldismin3
Nivel 7
Registrado: 18 Dic 2008
Mensajes: 437
Carrera: No especificada
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Mmm se me complica escribir todo.. Tengo la forma cuadrática así:
Q(x)=xT x con la restricción xT B x = 1
La matriz B la puedo escribir como PDP-1, y la restricción pasa a ser:
yT D y = 3(y1)^2 + 3(y2)^2 + 0(y3)^2 = 1
Entonces lo escribo así:
(raiz de 3(y1))^2 + (raiz de 3(y2))^2 + (0(y3))^2 = 1
Y ahí quiero definir: z1, z2 y z3, para escribirlo como z = A y
Con la matriz A como la que escribí en el post anterior.
Para hacer cuentas y volver hacia atrás en el cambio de variables necesitaba la inversa de A, que tiene una fila nula.
Seguramente me falta algún concepto teórico que me evita hacer el millon de cuentas que estoy intentando hacer, porque sino entendería lo que me estas marcando. Pero me cuesta muchisimo esta materia del ort... Así que te agradezco mucho pero soy un 0 a la izquierda con esto jaja
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eze
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 23 May 2006
Mensajes: 505
Ubicación: Florencio Varela
Carrera: Electricista
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| thew0rldismin3 escribió:
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Para hacer cuentas y volver hacia atrás en el cambio de variables necesitaba la inversa de A, que tiene una fila nula.
Seguramente me falta algún concepto teórico que me evita hacer el millon de cuentas que estoy intentando hacer, porque sino entendería lo que me estas marcando. Pero me cuesta muchisimo esta materia del ort... Así que te agradezco mucho pero soy un 0 a la izquierda con esto jaja
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la inversa de A no, en todo caso la inversa de P. si el cambio es x=Py tenes que encontrar los x no hace falta ninguna inversa
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No siento más que desprecio
por esos que no hacen nada,
y se complacen tan necios
en criticar mi jugada.
¿Que son la LES, la CONEAU y el PROMEI?
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