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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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El 34) dice:
"encuentre el máximo y el mínimo de la forma ![[tex]Q(x)=x_{1}^2+x_{2}^2[/tex]](images/latex/ffc3e4677aeae406679620cd622206ea4c026022_0.png "[tex]Q(x)=x_{1}^2+x_{2}^2[/tex]") sujeto a la restricción ![[tex]2x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2=4[/tex]](images/latex/9b959b38e50f2c4d8e09b8226ab04a7bf6b800a7_0.png "[tex]2x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+2x_{2}^2=4[/tex]") . Halle los ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]") para los cuales se alcanza el extremo."
La restriccion la puedo escribir así. ![[tex]x^{T}Bx=4=\alpha^{2}[/tex]](images/latex/cc61107fc782130be1a533fdb567de00a920118e_0.png "[tex]x^{T}Bx=4=\alpha^{2}[/tex]") . Entonces hice un cambio de variable: ![[tex]Q(x)=x^{T}Ax=y^{T}(\sqrt(D_{B}^-1)P_{B}^TAP_{B}\sqrt(D_{B}^-1))y=R(y)[/tex]](images/latex/69be8a17cab80c622fc813b66a542a2c08bcc301_0.png "[tex]Q(x)=x^{T}Ax=y^{T}(\sqrt(D_{B}^-1)P_{B}^TAP_{B}\sqrt(D_{B}^-1))y=R(y)[/tex]") .
Entonces mi nuevo problema es extremar ![[tex]R(y)=y^{T}My= \left[\begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1/3 \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/4b342265355c53c9c402a2d9dd717dfefbec2acf_0.png "[tex]R(y)=y^{T}My= \left[\begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1/3 \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\\end{array}\right] [/tex]") .
Entonces ![[tex]max R(y)=max Q(x)=\lambda_{max}(M).\alpha^{2}=1\dot 4=4[/tex]](images/latex/1d5d306d0db04ed701ad629763359b5b54bc9955_0.png "[tex]max R(y)=max Q(x)=\lambda_{max}(M).\alpha^{2}=1\dot 4=4[/tex]") . Y se alcanza (en ![[tex]R(y)[/tex]](images/latex/4cfda8804a6d8a93e7fcc78a0086a2147b7652a9_0.png "[tex]R(y)[/tex]") ) en {![[tex]y \in S_{\lambda =1} : ||y||=2[/tex]](images/latex/9dfd3d42f42106f55b09d401ba2944d9fd372fe1_0.png "[tex]y \in S_{\lambda =1} : ||y||=2[/tex]") }![[tex]=gen{ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\\end{array}\right) }[/tex]](images/latex/5e5ab4c3dff93e249e308efa9418b3c2efb3ba64_0.png "[tex]=gen{ \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\\end{array}\right) }[/tex]") . Entonces cuando reemplazo este vector en ![[tex]x=P_{B}\sqrt {D_{B}^{-1}}y[/tex]](images/latex/0384347eeeab750d86c440f6fc89872b24d645ff_0.png "[tex]x=P_{B}\sqrt {D_{B}^{-1}}y[/tex]") me queda que ![[tex]x_{max}= \pm \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt 2} \\ \frac{2}{\sqrt 2} \\\end{array}\right) [/tex]](images/latex/c4ccdcf2b242734ccc1ac03f571bf350cc78dc14_0.png "[tex]x_{max}= \pm \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt 2} \\ \frac{2}{\sqrt 2} \\\end{array}\right) [/tex]") . Pero según el resuelto de Acero debería decir ![[tex] \pm \left(\begin{array}{c} \sqrt 2 \\ \sqrt 2 \\\end{array}\right) [/tex]](images/latex/bcca4c0f71af65b0dba7e8adeac87e356fb86ee6_0.png "[tex] \pm \left(\begin{array}{c} \sqrt 2 \\ \sqrt 2 \\\end{array}\right) [/tex]") . El otro extremo, los ![[tex]x_{max}[/tex]](images/latex/2fcd35327048f040722200713287723d9c142b8a_0.png "[tex]x_{max}[/tex]") , me quedaron igual. A alguien le dió esto?
El 35) dice:
"Encuentre los puntos de la curva ![[tex]2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}-2 \sqrt{5}x_{1}x_{2}=1[/tex]](images/latex/b9505ffb05d8e19b44cd72d0c460dcf001d79b65_0.png "[tex]2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}-2 \sqrt{5}x_{1}x_{2}=1[/tex]") más cercanos al origen.
A mí me quedo que la mínima distancia vale ![[tex]\frac{1}{7}[/tex]](images/latex/36d381d0afe545ef047f50585a6589c62fd4622f_0.png "[tex]\frac{1}{7}[/tex]") , pero a ellos les quedó ![[tex]\frac{1}{\sqrt 7}[/tex]](images/latex/df783f227372ca3b01b7948786e67e445d956bbb_0.png "[tex]\frac{1}{\sqrt 7}[/tex]") . ¿Porqué? Los vectores sí me quedaron iguales.
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Última edición por loonatic el Mie Jul 07, 2010 1:54 pm, editado 1 vez
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| loonatic escribió:
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El 34) dice:
"encuentre el máximo y el mínimo de la forma sujeto a la restricción . Halle los para los cuales se alcanza el extremo."
La restriccion la puedo escribir así. . Entonces hice un cambio de variable: .
Entonces mi nuevo problema es extremar .
Entonces . Y se alcanza (en ) en {}. Entonces cuando reemplazo este vector en me queda que . Pero según el resuelto de Acero debería decir . El otro extremo, los , me quedaron igual. A alguien le dió esto?
El 35) dice:
"Encuentre los puntos de la curva [tex]2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}-2 \sqr{5}x_{1}x_{2}=1[/tex] más cercanos al origen.
A mí me quedo que la mínima distancia vale , pero a ellos les quedó . ¿Porqué? Los vectores sí me quedaron iguales.
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Maii ![[tex] \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt 2} \\ \frac{2}{\sqrt 2} \\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \sqrt 2 \\ \sqrt 2 \\\end{array}\right) [/tex]](images/latex/126e5995a3889c0ecce6bcfc03f8fedc652fe052_0.png "[tex] \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt 2} \\ \frac{2}{\sqrt 2} \\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \sqrt 2 \\ \sqrt 2 \\\end{array}\right) [/tex]") . Ejemplo si tenes ![[tex]\sqrt{2}[/tex]](images/latex/e82058050c9cca2db8a2c014b6318cd8956ed5d1_0.png "[tex]\sqrt{2}[/tex]") lo podes multiplicar y dividir por y te queda ![[tex]\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex]](images/latex/8ea7389d9a495dee6c3b05278492c012202c6127_0.png "[tex]\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex]") ![[tex]\rightarrow[/tex]](images/latex/0c89e795172728eb53d5b86aac2d8c0d59994eda_0.png "[tex]\rightarrow[/tex]") ![[tex]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]](images/latex/df37cfb1db8f94ccd1701ceab98e436dcab015d8_0.png "[tex]\frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]") entonces llegamos a que ![[tex]\sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]](images/latex/5e8394ef238c8e9ef6aa898b4acefe34c7692998_0.png "[tex]\sqrt{2} = \frac{2}{\sqrt{2}}[/tex]")
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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En el 36:
![[tex]2x^{2}+6y^{2}-2 \sqrt{5}xy=1[/tex]](images/latex/cd8bf14a79180a06ca0f7d5d6418f8c49485863d_0.png "[tex]2x^{2}+6y^{2}-2 \sqrt{5}xy=1[/tex]")
Esto es una elipse:
![[tex]7x^2+y^2=1[/tex]](images/latex/9cbb4c977d1ff9d0c86745450924815075eb9b52_0.png "[tex]7x^2+y^2=1[/tex]") , llevo esta expresión a la forma "clásica" de la elipse: ![[tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]](images/latex/a60d325698599557a0981da047f0d1e424eda2c6_0.png "[tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]")
![[tex]\frac{x^2}{1/7} +y^2=1[/tex]](images/latex/8944d9cdfe05ccc3fe5234c1b2d300dd14440c78_0.png "[tex]\frac{x^2}{1/7} +y^2=1[/tex]")
![[tex]\frac{x^2}{(1/\sqrt{7})^2}+y^2=1[/tex]](images/latex/fb3c8582d8181c4b3cfd8cd861b4502577a539f2_0.png "[tex]\frac{x^2}{(1/\sqrt{7})^2}+y^2=1[/tex]")
El punto más cercano al origen va a estar en x cuando ![[tex]y=0[/tex]](images/latex/9671b51013841d9048e911bf02bf1ae6b965a342_0.png "[tex]y=0[/tex]") , entonces reemplazás en la expresión de la elipse y te queda que: ![[tex]|x|=1/\sqrt{7}[/tex]](images/latex/9d7643e88ed886b0dc02ebbca17baa33935cc950_0.png "[tex]|x|=1/\sqrt{7}[/tex]")
Saludos.
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leandrob_90
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csebas
Nivel 9
Edad: 71
Registrado: 16 Feb 2009
Mensajes: 1634
Carrera: No especificada
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| Hola, te hago una consulta, como llegaste desde a . Saludos y gracias.
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| csebas escribió:
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Hola, te hago una consulta, como llegaste desde a . Saludos y gracias.
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Primero armo la matriz de la forma cuadrática
![[tex]Q(x)=2x^{2}+6y^{2}-2 \sqrt{5}xy=x^TAx[/tex]](images/latex/a3b68518bce91b2cfee52bd077601b91d140b79f_0.png "[tex]Q(x)=2x^{2}+6y^{2}-2 \sqrt{5}xy=x^TAx[/tex]")
![[tex]Q(x)=x^T\left[\begin{array}{cc} 2 & -\sqrt{5} \\ -\sqrt{5} & 6 \\\end{array}\right]x[/tex]](images/latex/8da8883795fa265b8b57c0f515655c0e823459e0_0.png "[tex]Q(x)=x^T\left[\begin{array}{cc} 2 & -\sqrt{5} \\ -\sqrt{5} & 6 \\\end{array}\right]x[/tex]")
Calculo los autovalores de A:
![[tex]D=\left[\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right][/tex]](images/latex/8c60004c02e147596c736cfe8ec9459829b6f36d_0.png "[tex]D=\left[\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right][/tex]")
Me queda: ![[tex]A=VDV^{-1}[/tex]](images/latex/d51e9b86cc2d63bbc14cc49dcc8544d0eca5a3f3_0.png "[tex]A=VDV^{-1}[/tex]") , reemplazo en la forma cuadrática y uso el cambio de coordenadas:
![[tex]Q(x)=x^TAx=x^T(VDV^{-1})x[/tex]](images/latex/f4d9b9bf4c7982332628ab6cdfba2f5a1258200e_0.png "[tex]Q(x)=x^TAx=x^T(VDV^{-1})x[/tex]")
Digo que: ![[tex]y=V^{-1}x[/tex]](images/latex/7a47deab94d9695af8eaff15a8c4f6f55aee893a_0.png "[tex]y=V^{-1}x[/tex]") , entonces:
![[tex]Q(y)=y^TDy[/tex]](images/latex/6dd31abb0ece20a6aa31f38a336f69017fab84b4_0.png "[tex]Q(y)=y^TDy[/tex]")
![[tex]Q(y)=y^T \left[\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right] y[/tex]](images/latex/0e76cab7250adc274a08e13fc5623a6c1579d192_0.png "[tex]Q(y)=y^T \left[\begin{array}{cc} 7 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right] y[/tex]")
Y de acá sale la elipse.
Tal vez debí cambiar las variables para no causar confución. Puse todo en x e y para escribir más rapido cuando en realidad debería haber usado [/tex]](images/latex/a537cbf9e4eb6c703231a00b13628bb32ef82e4d_0.png "[tex](x_1,x_2)[/tex]") para la forma cuadrática original e [/tex]](images/latex/80124151b104837c471944967a65c126009596dc_0.png "[tex](y_1,y_2)[/tex]") para el cambio de variables, pido disculpas. 
![[tex]2x_1^{2}+6x_2^{2}-2 \sqrt{5}x_1x_2=1 \rightarrow 7y_1^2+y_2^2=1[/tex]](images/latex/f630183b4ea422e1643e22f51904391dc325b538_0.png "[tex]2x_1^{2}+6x_2^{2}-2 \sqrt{5}x_1x_2=1 \rightarrow 7y_1^2+y_2^2=1[/tex]")
Saludos.
Edit: un error.
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leandrob_90
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valle
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 09 Mar 2009
Mensajes: 145
Carrera: Civil
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Estos ejercicios en general me salen, pero muy bien no entiendo lo que se busca ... alguien me podría dar una explicación geometrica - filosofica ??
la minima o maxima distancia de la funcion Q(x) al origen, casi siempre queda una esfera o una circunferencia eso es por la restriccion de la norma dato no??
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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| Creo que la idea es la misma de los extremos condicionados que haciamos en analisis 2, solo que esta es la forma "algebraica"
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| valle escribió:
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la minima o maxima distancia de la funcion Q(x) al origen, casi siempre queda una esfera o una circunferencia eso es por la restriccion de la norma dato no??
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No entiendo tu pregunta, en general Q(x) arroja números, con lo cual no podés pedir "la distancia de Q(x) al origen".
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JO
Nivel 8
Registrado: 21 Feb 2008
Mensajes: 600
Carrera: No especificada
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| Yo tampoco entiendo eso de la esfera que dice valle, pero lo de la distancia al origen está bueno tenerlo en cuenta porque Prelat lo toma mucho. El cuadrado de la distancia al origen es una forma cuadrática definida así Q(x)=xtIx. O sea, la forma cuadrática cuya matriz asociada es la identidad. Suelen pedirte que la minimices o maximices con una restricción. O decirte que ||x||=C, con c constante, y entonces esa es la restricción, y tenés que buscar máximos y mínimos de una Q(x). Cosas así.
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Otra pregunta, si tengo la forma cuadratica ![[tex]Q(x)=x^{T}Ax[/tex]](images/latex/06b3358e21b2a82f1c72df5ea2b0484f5f5771a7_0.png "[tex]Q(x)=x^{T}Ax[/tex]") y me piden que ![[tex]0 \leq Q(x) \leq 4[/tex]](images/latex/f5a689d8527abf73b6f8cb72cd7474834262e0e1_0.png "[tex]0 \leq Q(x) \leq 4[/tex]") ![[tex]\forall x : ||x||=1[/tex]](images/latex/605b760c1c2559b3ce90572abba71bf6f13065a7_0.png "[tex]\forall x : ||x||=1[/tex]") , entonces el maximo autovalor tiene que ser 4 o tiene que ser menor o igual a cuatro????
Graciass
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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kennyon
Nivel 2
Edad: 35
Registrado: 11 Jul 2010
Mensajes: 14
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en el 35, te da 1/7, pero estas trabajando con la Q(x) como el cuadrado de la norma, para que sea cuadratica, pero a vos te piden la distancia, que es solo la norma, encontes tenes que meterle la raiz! y por eso te queda raiz de 1/7 
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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| kennyon escribió:
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en el 35, te da 1/7, pero estas trabajando con la Q(x) como el cuadrado de la norma, para que sea cuadratica, pero a vos te piden la distancia, que es solo la norma, encontes tenes que meterle la raiz! y por eso te queda raiz de 1/7
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Graciasss
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Ooootra pregunta
tengo esta forma cuadrática:
![[tex]Q(x)= \left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\\end{array}\right] [/tex]](images/latex/7b820e9c68e81aa084a476ff53655c34e34c8201_0.png "[tex]Q(x)= \left[\begin{array}{cc} x_{1} & x_{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\\end{array}\right] [/tex]")
Teniendo en cuenta que no se me ocurrió lo que Prelat hizo (hacer las cuentitas, y agrupar los terminos), como se hallan ![[tex]max_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]](images/latex/c80afa71d3e2d7c3a4bf7da450a14c52df0ebaf6_0.png "[tex]max_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]") y ![[tex]min_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]](images/latex/2ff6ec807c923fff680af5beed96b1289aca2d59_0.png "[tex]min_{Q(x)=2}||x||^2[/tex]") ???
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