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Me mandaron un ejercicio para resolver el otro dia los de la catedra
El enunciado dice:
Considere el espacio vectorial V de las funciones que se escriben del siguiente modo donde es un polinomio cualquiera de segundo grado.
previamente habia demostrado que es un producto interno, despues me pide , que expresion tendria en ese espacio y con ese producto interno la desigualdad de cauchy-schwarz
empeze planteando la misma como
juntando todo:
despues reemplaze los polinomios por la expresion generica de un polinomio de grado 2, pero aca no lo pongo porque queda un choclazo infernal, pero hasta ahi pude llegar, alguna idea? esta bien el desarrollo?
Podrías integrar por partes de los dos lados. Con eso expandís las expresiones y tirás los términos que te queden igual de los dos lados.
Me parece que en algún punto si o si vas a tener que reemplazar la forma del polinomio (a menos que se pueda demostrar para polinomios de cualquier órden )
Te queda un polinomio de grado 4. Integrás cada x^n por separado. El de grado 4 y el de grado 2 se te van por los límites de integración. El de grado 3 y el de grado 1 te quedan igual a 2, multiplicado por la constante que los acompaña. Y después te queda la ordenada al origen también multiplicada por 2. Factor común 2, y todo te queda en función del producto entre las constantes.
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viedmense escribió:
PD: increible la capacidad de mantenerse en el mismo grado de pedo durante mas de 6 horas de mr nadie, ni mejoró ni empeoró
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Creo que no hay forma elegante de hacerlo. Llegado la instancia en que estás vos fabricio_622, la única que queda es reemplazar por la forma de los polinomios e ir haciendo las cuentas.
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sabian_reloaded escribió:
Creo que no hay forma elegante de hacerlo. Llegado la instancia en que estás vos fabricio_622, la única que queda es reemplazar por la forma de los polinomios e ir haciendo las cuentas.
joya, voy a hacerlo y despues vuelvo a postear con lo que me quedo
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![[tex]f:R\rightarrow{ }R[/tex]](images/latex/00f695287863edd422dd44de01834dab4be62a19_0.png "[tex]f:R\rightarrow{ }R[/tex]")
que se escriben del siguiente modo ![[tex]f(x)=P(x).e^{-x}[/tex]](images/latex/1b233058249a535d15cfc5f1108236de2ba8a30f_0.png "[tex]f(x)=P(x).e^{-x}[/tex]")
donde ![[tex]p(x)[/tex]](images/latex/3cbdfc5350cdc239abc3c7cd762d12f58bd213ce_0.png "[tex]p(x)[/tex]")
es un polinomio cualquiera de segundo grado.
=\int_{-1}^1f_{1}(x).f_{2}(x).e^{2x}dx[/tex]](images/latex/a0745c9974e15f4c8651aa476c7c1eab8394c739_0.png "[tex](f_1,f_2)=\int_{-1}^1f_{1}(x).f_{2}(x).e^{2x}dx[/tex]")
es un producto interno, despues me pide , que expresion tendria en ese espacio y con ese producto interno la desigualdad de cauchy-schwarz
![[tex]|u,v|\leq||u||.||v||[/tex]](images/latex/f1df23afb4793e6414a979236942683fd549f9a9_0.png "[tex]|u,v|\leq||u||.||v||[/tex]")
![[tex] \forall{(u,v)} \in{V}[/tex]](images/latex/ea7b3398001f7ff72534c0891cf9b97727107213_0.png "[tex] \forall{(u,v)} \in{V}[/tex]")
![[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1f_1(x).f_2(x).e^{2x}.dx|[/tex]](images/latex/19b0af4c9c39519a211518d62b2b08f826ee45a7_0.png "[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1f_1(x).f_2(x).e^{2x}.dx|[/tex]")
![[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1P_1(x).e^{-x}.P_2(x).e^{-x}.e^{2x}.dx|[/tex]](images/latex/ec22c95a009ec17c7d6d5dcc195da21511eb9926_0.png "[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1P_1(x).e^{-x}.P_2(x).e^{-x}.e^{2x}.dx|[/tex]")
![[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|[/tex]](images/latex/830d72facb503484159289478e1b29512f307fb6_0.png "[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|[/tex]")
![[tex]||u||=\sqrt{\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx}[/tex]](images/latex/29703bf9c6a13c413bf66e57fb7ee8f9ca802606_0.png "[tex]||u||=\sqrt{\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx}[/tex]")
![[tex]||v||=\sqrt{\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx}[/tex]](images/latex/977baed3ff1d7085c210afd4bc6a76eaf41a31c3_0.png "[tex]||v||=\sqrt{\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx}[/tex]")
![[tex]|\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|\leq \sqrt{\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx}. \sqrt{\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx}[/tex]](images/latex/b656ab2856cf715b1b747e6e05880a34867faef1_0.png "[tex]|\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|\leq \sqrt{\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx}. \sqrt{\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx}[/tex]")
![[tex]|\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|\leq \sqrt{(\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx).(\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx)}[/tex]](images/latex/99f131da28e326d11f7067a455e8acea4e202df7_0.png "[tex]|\int_{-1}^1P_1(x).P_2(x).dx|\leq \sqrt{(\int_{-1}^1(P_1(x))^2dx).(\int_{-1}^1(P_2(x))^2dx)}[/tex]")
![[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]](images/latex/48cd3513e832f53547d671e0162ba3adbacdea7a_0.png "[tex]100 \% \ \ {ingeniero}[/tex]")
![[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1f_1(x).f_1(x).e^{2x}.dx| . |\int_{-1}^1f_2(x).f_2(x).e^{2x}.dx|[/tex]](images/latex/313c40240dbc2f9b4ec3fee87af5c81083c15eac_0.png "[tex]|u,v|= |\int_{-1}^1f_1(x).f_1(x).e^{2x}.dx| . |\int_{-1}^1f_2(x).f_2(x).e^{2x}.dx|[/tex]")
![[tex]||u|| = \sqrt{(u,u)} = \sqrt{(f_1,f_1)}[/tex]](images/latex/dd2327ed6a4890c5da918838b8f030bc23c35c7b_0.png "[tex]||u|| = \sqrt{(u,u)} = \sqrt{(f_1,f_1)}[/tex]")
y ![[tex]||v|| = \sqrt{(v,v)} = \sqrt{(f_2,f_2)}[/tex]](images/latex/acf18f14d40f9704bd28f97bf7c9c004f377cdab_0.png "[tex]||v|| = \sqrt{(v,v)} = \sqrt{(f_2,f_2)}[/tex]")
)
![[tex] || u || = \sqrt {<u|u>} = \sqrt {\int_{-1}^1 f_1(x) . f_2(x) e^{2x} dx} = \sqrt {\int_{-1}^1 P_1(x) . P_1(x) dx }= \sqrt { \int_{-1}^1 P_1^2(x) dx} [/tex]](images/latex/180345f2ec3f92b30508de03edcf2bf056cbfcf5_0.png "[tex] || u || = \sqrt {<u|u>} = \sqrt {\int_{-1}^1 f_1(x) . f_2(x) e^{2x} dx} = \sqrt {\int_{-1}^1 P_1(x) . P_1(x) dx }= \sqrt { \int_{-1}^1 P_1^2(x) dx} [/tex]")
![[tex] || u || = \sqrt {<u>} = \sqrt {\int_{-1}^1 f_1(x) . f_2(x) e^{2x} dx} = \sqrt {\int_{-1}^1 P_1(x) . P_1(x) dx }= \sqrt { \int_{-1}^1 P_1^2(x) dx} [/tex]](images/latex/88dd48185228c27d692c9660c83034996858bcd1_0.png "[tex] || u || = \sqrt {<u>} = \sqrt {\int_{-1}^1 f_1(x) . f_2(x) e^{2x} dx} = \sqrt {\int_{-1}^1 P_1(x) . P_1(x) dx }= \sqrt { \int_{-1}^1 P_1^2(x) dx} [/tex]")