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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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Mañana rindo Analisis II y tengo 3 dudas con respecto a este parcial:
1º: En el ejercicio 1 creo que mas o menos lo que pide en la parte a) se demuestra por el teo de la funcion implicita, se me complica la parte b) si alguien sabe como hacerlo le estaria muy agradecido...
2º: el ejercicio 2, o dibuje muy mal la curva o es una cosa muy rara, si me pudieran decir como se resuelve este tambien seria genial
3º: En el ejercicio 5 no tengo idea de por donde encararlo, se que tengo que usar el dato del plano tangente pero no se bien como...
Desde ya agradezco a todo aquel que me tire un centro con esto.
Saludos!!
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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el primero:
a) Tenes que ir planteando las hipotesis del "teorema de ecuacion implicita definido por un sistema de ecuaciones " e ir despejando las variables de tal forma que se cumpla cada hipotesis .
A mi me quedaron todos los puntos ( 0 , y , y^2 , (4-y^2)/3 ) con y diferente de 2 y -2 .
b) en este usas netamente la tesis del mismo teorema . El diferencial de g sobre x me dio (4/3)^3 ( el otro no lo hice )
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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En el b... Tenes que usar el teorema de la funcion implicita,
Te queda que la derivada de v respecto de x en el (1,0) es igual a menos el jacobiano de F,G respecto de u,x dividido el Jacobiano de F,G respecto de u,v
y la de y.. igual pero con el otro jacobiano arriba.
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SNAJ.
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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Mil gracias a los dos, Snajdan, tu dato fue clave, la verdad no me decidia cuales eran las dos variables en funcion de las cuales tenia que derivar el jacobiano del numerador, fue un golazo que me dijeras que eran (x,u), lo habia leido recien en el apunte teorico de Analisis II, pero no tiene ejemplos y es medio jodido imaginarselo a veces. Ya lo calcule y me dieron:
Derivada de v con respecto a x: 64/27
Derivada de v con respecto a y: -2
Son unos grandes, gracias. Si me dicen como se hacen el 2 y el 5 tengo hecha la noche!.
En el 5, reemplace y obtuve el punto, pero con eso no hago mucho, me falta el dato de cuanto vale f'(x) por que no logro sacarlo y se que tiene que ver con el tema del dato del plano tangente.
Gracias!!!
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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| En el 5.. deriva la superficie respecto de u y respecto de v, multiplicalas que te da la normal del plano.... dsp calcula por medio del plano tangente las derivadas parciales de f.. siempre en el punto que te piden.. y listo
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SNAJ.
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| Genial pero como justifico que las derivadas del plano tangente de f son las derivadas de la funcion f? yo sabia que era por ahi, pero no se como justificarlo? Gracias!!
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Snajdan
Nivel 5
Registrado: 21 Oct 2009
Mensajes: 191
Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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No se, tengo la misma duda.
Lo que yo pensé, es que la normal del plano, es la normal del punto de la superficie, entonces, por definicion, sería el gradiente de la funcion en ese punto.
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SNAJ.
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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| Marvel escribió:
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Mil gracias a los dos, Snajdan, tu dato fue clave, la verdad no me decidia cuales eran las dos variables en funcion de las cuales tenia que derivar el jacobiano del numerador, fue un golazo que me dijeras que eran (x,u), lo habia leido recien en el apunte teorico de Analisis II, pero no tiene ejemplos y es medio jodido imaginarselo a veces. Ya lo calcule y me dieron:
Derivada de v con respecto a x: 64/27
Derivada de v con respecto a y: -2
Gracias!!!
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Derivada de v respecto de x es: Jacobiano de F,G respecto de u,x ( en ese orden) . En cambio :
Derivada de u respecto de x es: Jacobiano de F,G respecto de x,v
Fijate que lo que hago es reemplazar las variable u o v ( en este caso por x) dependiendo del orden en el que figuran en las componentes de (x,y,u,v)
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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alguien sabe cómo hacer el 2?
le estoy dando vueltas pero me quedan cosas raras!
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Matts
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 18 May 2009
Mensajes: 1054
Carrera: Industrial y Química
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DOS PREGUNTAS (pregunto aca para armar otro topic):
- La recta normal a una superficie es el gradiente?
- Se pueden sacar los max y mins absolutos? Con el determinante del hessiano solo se sacan los relativos?
Listo eso gracias
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meg0178
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Feb 2008
Mensajes: 76
Carrera: Industrial
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-el gradiente es ortogonal a las superficies de nivel, por eso si pasás todo a un mismo lado (quedaría una sup. de nivel 0) y le calculás el gradiente a esa nueva función, obtenés un vector normal a la sup. en el punto.
sirne dijo una vez que calculándole el gradiente a "algo" igualado a 0, obtenés un vector normal a ese "algo" .
-con el hessiano solo sabes si son máximos o mínimos, para saber si son absolutos o relativos tenés que analizar el comportamiento de la función!
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Bistek
Nivel 8
Registrado: 07 May 2010
Mensajes: 691
Carrera: Informática
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El segundo:
Considerando la siguiente igualdad
x = R cos (t) => cos (t) = x / R
Entonces la curva R = cos (t) es igual a
R = x / R (multiplico por R ambos lados)
R^2 = x (R^2 = x^2 + y^2)
x^2 + y^2 = x
x^2 – x + y^2 = 0 (completando cuadrados queda)
(x - ½)^2 – ¼ + y^2 = 0
(x – ½)^2 + y^2 = ¼
Es una circunferencia centrada en (½ ,0) de radio ½.
Ahora los puntos de la recta y = -x son de la forma (x, -x)
Remplazando en la circunferencia:
x^2 – x + (-x)^2 = 0
2x^2 – x = 0
x (2x – 1) = 0
De acá sale que para cumplir la igualdad, x debe ser 0, o bien ½ , pero como la semi recta toma valores mayor o igual a ½, descartamos el 0.
Entonces remplazamos en los puntos genéricos de la recta ( que eran (x, -x) ) nos queda que la intersección esta en el punto (½ , -½ )
Lo que sigue es buscar un vector tangente a la circunferencia en este punto. Hay dos maneras:
Parametrizando la circunferencia nos queda H(t) = (½ cos (t) + ½, ½ sen (t)) , para que el punto (½ ,-½ ) este en la curva, sale que cos (t) = 0 y sen (t) = -1 entonces t es 3Pi/2
derivando: H’(t) = (-½ sen (t) , ½ cos (t) ) , entonces H’(3Pi/2) = (½ , 0) es la direccion tangente buscada
La otra forma es definir una función F: R^2 R tal que F(x,y) = x^2 – x + y^2 , F diferenciable en su dominio de tal forma que la circunferencia es igual a la curva de nivel 0 de F.
Sabiendo que el gradiente de F en un punto es ortogonal a la recta tangente en ese punto, calculo el gradiente de F = (2x-1, 2y) , en el punto (½, -½ ) queda (0,-1).
Por lo tanto una dirección tangente es un vector ortogonal a este, o sea (1,0).
Finalmente para sacar el ángulo se usa esa igualdad del producto escalar que no recuerdo bien pero creo que era: A . B = ||A|| . ||B|| . cos (t) , donde t es el ángulo entre A y B
Entonces:
cos (t) = (A . B) / ||A|| . ||B||
cost (t) = [ (1,0) . (1,-1) ] / 1 . raiz(2)
y de acá sale que el ángulo es –Pi/4.
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gonzaloi
Nivel 7
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 398
Carrera: No especificada
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| meg0178 escribió:
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alguien sabe cómo hacer el 2?
le estoy dando vueltas pero me quedan cosas raras!
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Si dibujas la funcion en polares te da una circunferencia de radio 1/2 de centro (1/2,0) .
Sino te das cuenta con esa funcion expresada , pasalo a cartesiano (igual lo vas a tener que pasar para buscar la interseccion) y te vas a dar cuenta mas facil como es el grafico ( reemplaza cos(0) = x / r ...luego reemplaza el radio ) .
Despues calculas la interseccion , graficamente veo que es un punto de la circunferencia en el cuarto cuadrante
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| gonzaloi escribió:
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| Marvel escribió:
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Mil gracias a los dos, Snajdan, tu dato fue clave, la verdad no me decidia cuales eran las dos variables en funcion de las cuales tenia que derivar el jacobiano del numerador, fue un golazo que me dijeras que eran (x,u), lo habia leido recien en el apunte teorico de Analisis II, pero no tiene ejemplos y es medio jodido imaginarselo a veces. Ya lo calcule y me dieron:
Derivada de v con respecto a x: 64/27
Derivada de v con respecto a y: -2
Gracias!!!
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Derivada de v respecto de x es: Jacobiano de F,G respecto de u,x ( en ese orden) . En cambio :
Derivada de u respecto de x es: Jacobiano de F,G respecto de x,v
Fijate que lo que hago es reemplazar las variable u o v ( en este caso por x) dependiendo del orden en el que figuran en las componentes de (x,y,u,v)
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Gracias por la observacion y la explicacion, lo entendi por fin...
Con respecto al 2:
Tengo serias dudas de si se trata realmente de una circunferencia, por que? Por que si agarramos la funcion original: r = cos(o) y grafico eso dandole valores a o (theta): En o= pi/2 y o=3pi/2 me da r=0...
Eso era lo que me desconcertaba a mi, por que al pasarla a cartesianas no deberia cambiar la funcion...y si lo multiplico de ambos lados por r se cumple lo que dijeron mas arriba y queda todo lindo....pero entonces....por que no cumple que en pi/2 y 3pi/2 el radio es 0??? Gracias a todos por responder!
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Marvel
Nivel 4
Registrado: 28 Nov 2009
Mensajes: 84
Carrera: Sistemas
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| meg0178 escribió:
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sirne dijo una vez que calculándole el gradiente a "algo" igualado a 0, obtenés un vector normal a ese "algo" .
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Sos un genio/a con eso se justifica perfecto, ademas esta genial por que tenes el dato de f(1,-1) asi que cierra todo lindo. Genial!! gracias!
Faltaria completarlo con que ese vector normal es normal a "algo" que es la superficie, curva, o lo que fuere de nivel 0 de la funcion...
P/D: SIRNE = DIOS
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