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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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Suponga que ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") es una función diferenciable en un punto interior de su dominio, ![[tex]P_{0}=(x_{0},y_{0})[/tex]](images/latex/8cb2f2b17e79a14b855148a12258764391464651_0.png "[tex]P_{0}=(x_{0},y_{0})[/tex]") .
Se sabe que ![[tex]\frac{df}{dx}(P_{0})=1[/tex]](images/latex/1f9b9a2ff4afa9a756f616b6a1b77d90236ae158_0.png "[tex]\frac{df}{dx}(P_{0})=1[/tex]") y que ![[tex]\nabla (f)(P_{0}).(1,1)=3[/tex]](images/latex/6c32e8b1065d281d7e81dc1328b58e2ab24b49a5_0.png "[tex]\nabla (f)(P_{0}).(1,1)=3[/tex]") .
Halle la dirección de la curva de nivel de que pasa por ![[tex]P_{0}[/tex]](images/latex/97a862985570a4ea8e6817eb3a68b7f731b31c97_0.png "[tex]P_{0}[/tex]") .
Como es la dirección de una curva de nivel? Por ejemplo, supongamos que es un circulo. Cual es la direccion de un circulo?
Gracias!
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
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Carrera: Civil
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| te deben estar pidiendo la direccion tangente a la curva de nivel, que es perpendicular a la direccion del gradiente en ese punto
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loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
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El gradiente es ![[tex]\nabla (f)(P_{0})=(1,2)[/tex]](images/latex/2b4e1bd8b8f0678953ef12fe3e4441a399ff3698_0.png "[tex]\nabla (f)(P_{0})=(1,2)[/tex]") . Pero hay infinitos vectores perpendiculares a ese. Como sé cual es?
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MartinC
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 25 Feb 2010
Mensajes: 225
Carrera: Electrónica
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| loonatic escribió:
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El gradiente es . Pero hay infinitos vectores perpendiculares a ese. Como sé cual es?
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El gradiente "vive" en el Dominio de la función, en este caso R2. Te piden la dirección(tangente, claro) de la curva de nivel, por ende tiene que ser la única dirección perpendicular al vector normal a la curva de nivel (el gradiente).
Una dirección es una recta, y la podés dar como "la dirección de algún vector"; por ende la dirección (tangente) de la curva de nivel va a estar definida por cualquier vector ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") que pertenece a ![[tex]{R^2}[/tex]](images/latex/b4240436721c106910565f5ba2626b4f35e80202_0.png "[tex]{R^2}[/tex]") / ![[tex]v.\nabla (f)(P_{0})=0[/tex]](images/latex/e0988abd1aef038166fd5e25361c3bb9f118c4a8_0.png "[tex]v.\nabla (f)(P_{0})=0[/tex]")
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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Acabo de ver la guia de analisis y te falto dar un dato que ![[tex]m=1[/tex]](images/latex/e004337f7d762c99e002e7eb5f604703b4099c4a_0.png "[tex]m=1[/tex]") . Bueno sacar ![[tex]\nabla f(Po)=(1,2)[/tex]](images/latex/1c03b32d315285735ef746bb791832e851d45106_0.png "[tex]\nabla f(Po)=(1,2)[/tex]") era sencillo.
Por otro lado la direccion de maximo crecimiento esta dada de la forma siguiente ![[tex]\frac{ \nabla f(Po)}{|| \nabla f(Po)||}[/tex]](images/latex/ed3ad73cddc3033451fbbe132b877db57e516dfd_0.png "[tex]\frac{ \nabla f(Po)}{|| \nabla f(Po)||}[/tex]") por ende remplazando los datos nuestros y queda que la direccion de maximo crecimiento es ![[tex]v=(1/ \sqrt{5} , 2/ \sqrt{5})[/tex]](images/latex/d4b55bdebf1a3582afe8c862f7eac1b8dfeed824_0.png "[tex]v=(1/ \sqrt{5} , 2/ \sqrt{5})[/tex]") .
Como bien te dijo arriba Guido_Garrote para hallar la direccion de la curva de nivel que pasa por ![[tex]Po[/tex]](images/latex/1c3e1eafb6a8b9517904790c4693a1a894817f24_0.png "[tex]Po[/tex]") en realidad te estan pidiendo que halles el vector ortogonal al gradiente que pasa por y que cumple que dicho vector es tangente a la curva de nivel.
Por ende planteas con p.i.c. usando un vector generico de la forma ![[tex]\vec x = (x_{1} , x_{2})[/tex]](images/latex/e6378b16a85d7bf6a4326f77ee69dd97f778fc37_0.png "[tex]\vec x = (x_{1} , x_{2})[/tex]") entonces como  ,\vec x )=0[/tex]](images/latex/51fabeb5a033d042a4632af1820fe8b790ea625b_0.png "[tex](\nabla f(Po) ,\vec x )=0[/tex]") remplanzado por los datos nos queda ,(x_{1},x_{2}))=0[/tex]](images/latex/806d9e951676223a8558d5fb144ed7073bb615f4_0.png "[tex]((1,2),(x_{1},x_{2}))=0[/tex]") quedandonos que ![[tex]x_{1}=-2x_{2}[/tex]](images/latex/63843ee4d332d5876d05b255472db4423bdacd0d_0.png "[tex]x_{1}=-2x_{2}[/tex]") .
Entonces ![[tex]\vec X =(x_{1},x_{2})[/tex]](images/latex/1b9ebf01dd3896ac8b3e8f70e345fbb489ab2fac_0.png "[tex]\vec X =(x_{1},x_{2})[/tex]") , remplazando nos queda ![[tex]\vec X = (-2x_{2},x_{2})[/tex]](images/latex/2e83eea465e66bfc3d3dd0dccc4f68cf1a32d064_0.png "[tex]\vec X = (-2x_{2},x_{2})[/tex]") por ende son todos los vectores que tiene la pinta de ![[tex]x_{2} (-2,1)[/tex]](images/latex/4057ee226bc10af81ab65010759dd66b98c5f31d_0.png "[tex]x_{2} (-2,1)[/tex]") ![[tex]\forall x_{2} \epsilon R[/tex]](images/latex/be611fe23d01ea417581d954551d3a2dc26f76b6_0.png "[tex]\forall x_{2} \epsilon R[/tex]") .
Como último debemos buscar las direcciones donde la pendiente de la superficie sea . Osea que nos estan pidiendo que busquemos las direcciones donde la derivada 'direccional' tenga ese valor.
Podemos plantear dos ecuaciones:
(adopto ![[tex]\vec u =(ux,uy)[/tex]](images/latex/5a1525193acc042064b5bd590be6c311994956ac_0.png "[tex]\vec u =(ux,uy)[/tex]") siendo un vector de norma 1)
![[tex]1)[/tex]](images/latex/320dfa19ec73b5e4b004165c8fa3ba9407055bce_0.png "[tex]1)[/tex]") ![[tex]\nabla f(Po)* \vec u =m[/tex]](images/latex/ee353ce37ec3764e202fc8c0484224b67d2a753a_0.png "[tex]\nabla f(Po)* \vec u =m[/tex]") , remplazando los datos nos queda *(ux,uy)=1[/tex]](images/latex/e6d1b8555d824578a8ec52a5687145c18e6d556e_0.png "[tex](1,2)*(ux,uy)=1[/tex]") , ![[tex]ux=1-2uy[/tex]](images/latex/b0c992a9cc2d6db90f47d24c7e25ec8268db18c5_0.png "[tex]ux=1-2uy[/tex]")
![[tex]2)[/tex]](images/latex/2a716af6dc0a69b0f2b2bd7f83839371e8d62723_0.png "[tex]2)[/tex]") ![[tex]ux^2 + uy^2 =1^2[/tex]](images/latex/67823b7be803f3f5a7bd32979308ab1758bb5319_0.png "[tex]ux^2 + uy^2 =1^2[/tex]")
remplaznado en y resolviendo todo nos queda:
caso ![[tex]a)[/tex]](images/latex/d30af5e65555cbd2ea7f2667fbba37a43babb382_0.png "[tex]a)[/tex]") ![[tex]\vec u =(1,0)[/tex]](images/latex/0523fcd31878877211692f7fb1311edf887ce074_0.png "[tex]\vec u =(1,0)[/tex]") y caso ![[tex]b)[/tex]](images/latex/28a2ed4eff5b7374416b60a12ef3a855fdbfec8c_0.png "[tex]b)[/tex]") ![[tex]\vec u =(-3/5 , 4/5)[/tex]](images/latex/a5c5634219f4b4d99a51caf359dd63f923e689c6_0.png "[tex]\vec u =(-3/5 , 4/5)[/tex]") .
Saludos.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
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Carrera: No especificada
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No entendí a que llama espiño_cristian "m".
Por otro lado, está bien la pregunta que te planteas loonatic, ese enunciado está mal redactado, una curva nunca tiene dirección, sino más bien sentido de recorrido, y solo si está parametrizada, en forma de función escalar, nunca podés definir un sentido tampoco.
Hasta donde interviene el "m" que no entiendo que es, el planteo de espiño_cristian está bien, lo único que te recomiendo, si bien "es prolijo" dar las direcciones por su versor, no normalices el gradiente, es complicar las cuentas al pedo y a parte, eventualmente, te va a convenir normalizar todo al final (ya que por quedar determinadas a una constante en el paso posterior, la normalización previa fue totalmente al pedo).
Saludos
Releyendo, veo que m podria ser el dato que había dado loonatic de ![[tex] \frac {\partial f}{\partial x} [/tex]](images/latex/eaa435cf9c60d938b2b60fdb61599cd4d0fd3d31_0.png "[tex] \frac {\partial f}{\partial x} [/tex]") que es el dato que usas para encontrar el gradiente en P0, por lo que la respuesta final sería la dirección en [tex]\mathbb{R}^2 [/tex] con vector director (-2,1).
| espiño_cristian escribió:
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Como bien te dijo arriba Guido_Garrote para hallar la direccion de la curva de nivel que pasa por en realidad te estan pidiendo que halles el vector ortogonal al gradiente que pasa por y que cumple que dicho vector es tangente a la curva de nivel.
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Si la funció es linda (continua, diferenciable, etc) las dos cosas que pediste son equivalentes. Cualquier vector (en el mismo espacio) que sea ortogonal al gradiente, va a ser tangente a la correspondiente curva de nivel. Si te pidieran hallar la ecuación de una recta sí, necesitarías un dato más, pero con calcular un vector ortogonal al gradiente, ya estas calculando una dirección tangente.
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Guido_Garrote
Moderador
Edad: 35
Registrado: 14 Oct 2007
Mensajes: 3319
Ubicación: AHÍ!
Carrera: Civil
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| sabian_reloaded escribió:
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No entendí a que llama espiño_cristian "m".
Por otro lado, está bien la pregunta que te planteas loonatic, ese enunciado está mal redactado, una curva nunca tiene dirección, sino más bien sentido de recorrido, y solo si está parametrizada, en forma de función escalar, nunca podés definir un sentido tampoco.
Hasta donde interviene el "m" que no entiendo que es, el planteo de espiño_cristian está bien, lo único que te recomiendo, si bien "es prolijo" dar las direcciones por su versor, no normalices el gradiente, es complicar las cuentas al pedo y a parte, eventualmente, te va a convenir normalizar todo al final (ya que por quedar determinadas a una constante en el paso posterior, la normalización previa fue totalmente al pedo).
Saludos
Releyendo, veo que m podria ser el dato que había dado loonatic de que es el dato que usas para encontrar el gradiente en P0, por lo que la respuesta final sería la dirección en [tex]\mathbb{R}^2 [/tex] con vector director (-2,1).
| espiño_cristian escribió:
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Como bien te dijo arriba Guido_Garrote para hallar la direccion de la curva de nivel que pasa por en realidad te estan pidiendo que halles el vector ortogonal al gradiente que pasa por y que cumple que dicho vector es tangente a la curva de nivel.
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Si la funció es linda (continua, diferenciable, etc) las dos cosas que pediste son equivalentes. Cualquier vector (en el mismo espacio) que sea ortogonal al gradiente, va a ser tangente a la correspondiente curva de nivel. Si te pidieran hallar la ecuación de una recta sí, necesitarías un dato más, pero con calcular un vector ortogonal al gradiente, ya estas calculando una dirección tangente.
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No normalizar no es un buen consejo. Recursé Análisis por no hacer bien eso en el ultimo recuperatorio del parcial 
Siempre que se necesite, usen el versos explicitamente, es un poco mas denso quizas hacer las cuentas (tampoco tanto) pero les va a ahorrar otros dolores de cabeza
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
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| Guido_Garrote escribió:
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| sabian_reloaded escribió:
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No entendí a que llama espiño_cristian "m".
Por otro lado, está bien la pregunta que te planteas loonatic, ese enunciado está mal redactado, una curva nunca tiene dirección, sino más bien sentido de recorrido, y solo si está parametrizada, en forma de función escalar, nunca podés definir un sentido tampoco.
Hasta donde interviene el "m" que no entiendo que es, el planteo de espiño_cristian está bien, lo único que te recomiendo, si bien "es prolijo" dar las direcciones por su versor, no normalices el gradiente, es complicar las cuentas al pedo y a parte, eventualmente, te va a convenir normalizar todo al final (ya que por quedar determinadas a una constante en el paso posterior, la normalización previa fue totalmente al pedo).
Saludos
Releyendo, veo que m podria ser el dato que había dado loonatic de que es el dato que usas para encontrar el gradiente en P0, por lo que la respuesta final sería la dirección en [tex]\mathbb{R}^2 [/tex] con vector director (-2,1).
| espiño_cristian escribió:
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Como bien te dijo arriba Guido_Garrote para hallar la direccion de la curva de nivel que pasa por en realidad te estan pidiendo que halles el vector ortogonal al gradiente que pasa por y que cumple que dicho vector es tangente a la curva de nivel.
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Si la funció es linda (continua, diferenciable, etc) las dos cosas que pediste son equivalentes. Cualquier vector (en el mismo espacio) que sea ortogonal al gradiente, va a ser tangente a la correspondiente curva de nivel. Si te pidieran hallar la ecuación de una recta sí, necesitarías un dato más, pero con calcular un vector ortogonal al gradiente, ya estas calculando una dirección tangente.
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No normalizar no es un buen consejo. Recursé Análisis por no hacer bien eso en el ultimo recuperatorio del parcial
Siempre que se necesite, usen el versos explicitamente, es un poco mas denso quizas hacer las cuentas (tampoco tanto) pero les va a ahorrar otros dolores de cabeza
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La normalización es una cuestión de presentación y medio boluda honestamente, pero por eso recomendé que normalize al final (o eventualmente si alguna fórmula requiere un vector unitario, para aplicar esa fórmula), porque fijate que normalizo el gradiente y en el paso siguiente ya perdió la normalización, que se yo, es para laburar menos.
Saludos
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Snajdan
Nivel 5
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Yo tengo en este ejercicio una duda,
en el (d), no se como sacar el gradiente en Po
Dice asi: La recta de ecuacion ![[tex]3x-y=0[/tex]](images/latex/bab347887933024ab17db3700c635fb4e5fc0e49_0.png "[tex]3x-y=0[/tex]") es perpendicular a la curva de nivel de F por Po, y la maxima pendiente de S en Qo es ![[tex] \sqrt{5}[/tex]](images/latex/b70963046d721593d5b029ffbbc49de21f1694a4_0.png "[tex] \sqrt{5}[/tex]") , ![[tex]m= \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex]](images/latex/eaf0283c8894a09a080b4f9387ca23509f860bcb_0.png "[tex]m= \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex]")
Siendo Po=(Xo,Yo) y Qo=(Xo,Yo,F(Po))
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SNAJ.
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Snajdan
Nivel 5
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Carrera: Química
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| Ah, se que el gradiente, vendría a ser la recta, pero no se como expresarlo.
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SNAJ.
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sabian_reloaded
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Curva de nivel de F = F(x,y) = c.
![[tex]\nabla F (x,y) [/tex]](images/latex/bb680abf7a686ce852ee75432af9987790405909_0.png "[tex]\nabla F (x,y) [/tex]") es perpendicular a la curva en ![[tex]P_0[/tex]](images/latex/4f10117f1dcd8d6e85b249d953ad8b770f159ce3_0.png "[tex]P_0[/tex]") por lo tanto tiene que ser colineal con esa recta que te dan. Ya sabes que la dirección unitaria del gradiente va a ser entonces ![[tex] \ _{-}^{+} 1 \left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}} \right )[/tex]](images/latex/9f3fd583978bfe5846ff1bbbfdad9c146ac01939_0.png "[tex] \ _{-}^{+} 1 \left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}} \right )[/tex]") , faltaría averiguar si es ese o su opuesto (sentido) y la norma del gradiente.
Ahora el problema es que no se a que llaman pendiente máxima de una superficie, asumo que debe ser la norma de la derivada en la dirección de máximo crecimiento, pero en ese caso el "m" me desconcierta totalmente. Otro dato a considerar es que el gradiente es la dirección de máximo crecimiento, entonces la norma del gradiente, en sería ![[tex]\sqrt{5}[/tex]](images/latex/48964262b26b5bb9064cc073f57c8ab8f39113a4_0.png "[tex]\sqrt{5}[/tex]") pero no estoy usando el dato del m, que es lo que me preocupa (a lo mejor es para saber el sentido del vector).
Si está bien lo que hice, ![[tex]\nabla F (x_0,y_0) = \ _{-}^{+}\sqrt{5} \left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}} \right ) = \ _{-}^{+} 1 \left (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}} \right ) [/tex]](images/latex/c6b3fbc99c2cdc0b36d082d299218189b907aa34_0.png "[tex]\nabla F (x_0,y_0) = \ _{-}^{+}\sqrt{5} \left (\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{3}{\sqrt{10}} \right ) = \ _{-}^{+} 1 \left (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}} \right ) [/tex]") . Faltaría averiguar el sentido nomás.
Saludos
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Snajdan
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Carrera: Química
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| No, el m es para otro punto, que dice: Hallar si es posible, dos dirrecciones Po sobre las que la pendiente de la superficie S de ecuacion z=F(x,y) en el punto Qo sea m.
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sabian_reloaded
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Carrera: No especificada
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| Me atrevo a decir entonces, que al enunciado le falta un dato, o yo me estoy morfando algo, no me doy cuenta como sacar el sentido.
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Snajdan
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Ubicación: Banfield.
Carrera: Química
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La norma del gradiente en no sería ![[tex]\sqrt{10}[/tex]](images/latex/30abe192a5694ac8b1c99fbf358e0f010ded1bca_0.png "[tex]\sqrt{10}[/tex]") ?
ya que el gradiente sin normalizar seria ![[tex] (1,3) [/tex]](images/latex/00314b121862f115c519a8d74d829cb6ec59ac55_0.png "[tex] (1,3) [/tex]")
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SNAJ.
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sabian_reloaded
Nivel 9
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Honestamente no se, no me dijiste nada sobre que era la máxima pendiente a una superficie, nunca lo escuché el término. Imaginé que podría ser la norma de la derivada direccional en la dirección de máximo crecimiento, en cuyo caso sería la norma del gradiente creo.
Por qué el gradiente sin normalizar es (1,3) ?
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