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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Gente, necesito que me den una mano con este ejercicio:
29. Una partícula de masa ![[tex]m[/tex]](images/latex/8e349c3441562c88539c4313e65436befd51648b_0.png "[tex]m[/tex]") se mueve sin zonamiento sobre un alambre que forma un aro fijo de radio ![[tex]a[/tex]](images/latex/526bd77b4de5c74c1a40d9bb93c66189acdebf36_0.png "[tex]a[/tex]") . El plano del aro forma un ángulo ![[tex]\alpha[/tex]](images/latex/41745e18c1d8f48f052e396eae97bc8db739704f_0.png "[tex]\alpha[/tex]") con la dirección del campo gravitatorio. Hallar las ecuaciones de movimiento.
Mi planteo:
Uploaded with ImageShack.us
Lo que hice fue, en vez de girar la espira, giré el campo gravitatorio así me quedaba más facil para proyectar la gravedad en los ejes x y z.
En la primera proyecto la proyección de la gravedad sobre el eje correspondiente al versor ![[tex]\hat \theta[/tex]](images/latex/171d44b8027df261673a2638a6a89ccd2143a90d_0.png "[tex]\hat \theta[/tex]") , planteo Newton y obtengo:
![[tex]\theta ''=\frac{-g \sin \alpha}{R} \cos \theta[/tex]](images/latex/c24da5191e9d51a5dc6c412caa9546389c4a6992_0.png "[tex]\theta ''=\frac{-g \sin \alpha}{R} \cos \theta[/tex]") (en una parte aparece un ^-1, no le den bola)
El apóstrofe sería la derivada en función del tiempo (punto), solo que no se cómo hacerlo en Latex.
Y en la segunda, planteando la aceleración de la particula en polares y después con Newton me da lo siguiente:
![[tex]\theta'' = \frac{g \sin \alpha}{R} \frac{1}{\sin \theta}[/tex]](images/latex/fd028a04bdff8bb464bb00170e9e22678077d557_0.png "[tex]\theta'' = \frac{g \sin \alpha}{R} \frac{1}{\sin \theta}[/tex]")
Alguien me puede decir si lo que hice está bien planteado y si alguno de los resultados es correcto, o sino qué hice mal jajaja.
Desde ya, muchas gracias.
Saludos.
Edit: un signo.
Edit2: código de la materia en el título
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leandrob_90
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Última edición por leandrob_90 el Mie May 25, 2011 2:07 pm, editado 2 veces
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Sebacho
Nivel 8
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Mensajes: 518
Carrera: Mecánica
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Como vas a girar el campo? jaja plantea algo de este estilo: sabés que la posicion de la cuenta es la posicion del centro del anillo mas el radio. Laburá en polares.
Bueno, deriva y llegás a la velocidad absoluta (te aparece la velocidad angular en un termino) y deriva de nuevo, y llegas a la aceleración.
Bueno, después sabés que tenes una aceleración loca, y podés proyectar la gravedad sobre los ejes que contienen al anillo, y listo: igualás miembro a miembro, don niembro.
Espero haber sido claro...
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Saludos y suerte!!
Sebas
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| Cita:
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te aparece la velocidad angular en un termino
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con esa velocidad angular te referís al giro de la partícula alrededor del centro de la espira no?
yo lo que hago es calcular la aceleración de la partícula P genérica
me dan las componentes x e y en función de theta
![[tex]r''=-R(\cos \theta ; \sin \theta )\theta ''[/tex]](images/latex/2e0f7dba21885b5c1db2caf388fe355bb79b386e_0.png "[tex]r''=-R(\cos \theta ; \sin \theta )\theta ''[/tex]")
igualo: en x no tengo fuerzas y en y tengo la proyección de la gravedad
entonces la EDO me da:
(termino siempre en lo mismo)
me convence más esta ecuación que la otra, la del coseno en el numerador jeje
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leandrob_90
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Gente, una consulta:
Tengo tres particulas de masas iguales:
![[tex]P_1=(a,0,0)[/tex]](images/latex/6603d2d4098845dbdd5a5812fcd7a6e8b87624db_0.png "[tex]P_1=(a,0,0)[/tex]")
![[tex]P_2=(0,a,2a)[/tex]](images/latex/4033595e541d9a63fc79c25fa5fa67952febb58e_0.png "[tex]P_2=(0,a,2a)[/tex]")
![[tex]P_3=(0,2a,a)[/tex]](images/latex/d6bd923cce966a98fe072110b5dd11fcb8feecbd_0.png "[tex]P_3=(0,2a,a)[/tex]")
Por lo tanto el centro de masas es:
![[tex]G=(a,3a,3a)[/tex]](images/latex/4466c32cb8bc0c3425973c0b57b120f5fd297055_0.png "[tex]G=(a,3a,3a)[/tex]")
Ahora tengo que hallar los ejes principales que pasan por G. ¿Cómo se hace eso? ¿Tengo que calcular el tensor de inercia y después diagonalizarlo como en álgebra y sacar los AVEs? ¿Cómo se calcula el tensor de inercia para partículas?
Alguien que me tire algún centro que ando medio perdido jeje.
Desde ya, muchas gracias.
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leandrob_90
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
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Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| Y bueno no podés calcular cada componente del tensor?Usas la sumatoria en vez de la integral
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leandrob_90
Nivel 9
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| gedefet escribió:
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Y bueno no podés calcular cada componente del tensor?Usas la sumatoria en vez de la integral
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cómo quedaría la expresión de esa serie?
![[tex]I_{km}=\sum_{km=1}^3(r^2 \delta_{km}-x_kx_m)m[/tex]](images/latex/ec65fc0b8a36f32df9153980a42c00f73a84f984_0.png "[tex]I_{km}=\sum_{km=1}^3(r^2 \delta_{km}-x_kx_m)m[/tex]")
una cosa así?
y qué sería ese ![[tex]r^2[/tex]](images/latex/85a2a139ac3269cbb73ea6429369f281a7432cc9_0.png "[tex]r^2[/tex]") ?
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leandrob_90
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| leandrob_90 escribió:
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| gedefet escribió:
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Y bueno no podés calcular cada componente del tensor?Usas la sumatoria en vez de la integral
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cómo quedaría la expresión de esa serie?
una cosa así?
y qué sería ese ?
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Sería la posición de cada punto, supongo
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gedefet
Nivel 9
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Carrera: Electrónica
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| Fijate en la deducción de la fórmula sino
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| leandrob_90 escribió:
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[...] Por lo tanto el centro de masas es:
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Me parece que no, che, que es un tercio de eso:
![[tex]G = \frac{m(a, 0, 0) + m(0, a, 2a) + m(0, 2a, a)}{m + m + m} = \frac{1}{3}(a, 3a, 3a) = \left ( \frac{a}{3}, a, a \right )[/tex]](images/latex/fc772b4d72185a6354b2bc73f2e82a2bb766fddc_0.png "[tex]G = \frac{m(a, 0, 0) + m(0, a, 2a) + m(0, 2a, a)}{m + m + m} = \frac{1}{3}(a, 3a, 3a) = \left ( \frac{a}{3}, a, a \right )[/tex]")
| leandrob_90 escribió:
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Ahora tengo que hallar los ejes principales que pasan por G. ¿Cómo se hace eso? ¿Tengo que calcular el tensor de inercia y después diagonalizarlo como en álgebra y sacar los AVEs?
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Entiendo que sí.
| leandrob_90 escribió:
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¿Cómo se calcula el tensor de inercia para partículas?
[...]
cómo quedaría la expresión de esa serie?
una cosa así?
y qué sería ese ?
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Sería:
![[tex]I_{kr} = \sum ^3 _{j = 1} m_j(r_j^2 \delta_{kr} - x_{jk} x_{jr})[/tex]](images/latex/b857175192e50bc241d62b9482c4de0c83c5b45c_0.png "[tex]I_{kr} = \sum ^3 _{j = 1} m_j(r_j^2 \delta_{kr} - x_{jk} x_{jr})[/tex]")
Las coordenadas j-ésimas serían las de la diferencia entre el ![[tex]\textstyle P_j \mbox{ y } G[/tex]](images/latex/c255b88eec963e645e2222cce5ea687f7828704c_0.png "[tex]\textstyle P_j \mbox{ y } G[/tex]") . Y, por el enunciado, ![[tex]\textstyle m_1 = m_2 = m_3 = m[/tex]](images/latex/8a8ed6eb028b2b85a6ec75f4b5a117269f3a2b2a_0.png "[tex]\textstyle m_1 = m_2 = m_3 = m[/tex]") , que sale como factor común.
Por ejemplo, como:
![[tex]P_1 - G = (a, 0, 0) - \left ( \frac{a}{3}, a, a \right ) = \left ( \frac{2}{3}a, -a, -a \right)[/tex]](images/latex/03105ca10065120a3b56d90e41690467fb855683_0.png "[tex]P_1 - G = (a, 0, 0) - \left ( \frac{a}{3}, a, a \right ) = \left ( \frac{2}{3}a, -a, -a \right)[/tex]")
entonces:
![[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_{11} = \frac{2}{3}a \\x_{12} = -a \\x_{13} = -a \\r_1^2 = x_{11}^2 + x_{12}^2 + x_{13}^2 =\left ( \frac{4}{9} + 2 \right ) a^2\end{array} \right .[/tex]](images/latex/4cefa9bfd7bb954aa124a48055ad33b7e3491793_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{l}x_{11} = \frac{2}{3}a \\x_{12} = -a \\x_{13} = -a \\r_1^2 = x_{11}^2 + x_{12}^2 + x_{13}^2 =\left ( \frac{4}{9} + 2 \right ) a^2\end{array} \right .[/tex]")
Y así sucesivamente. Sí, larguito... 
EDIT: corrección de un subíndice
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Última edición por Huey 7 el Mie May 25, 2011 9:01 pm, editado 1 vez
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| Buenísimo, creo que ya entendí cuál es la mecánica del ejercicio. Muchas gracias.
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leandrob_90
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leandrob_90
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Registrado: 17 Ago 2009
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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Yo de nuevo, tengo una duda con el tema del tensor de inercia...
los elementos del tensor de inercia que no sean los de la diagonal, pueden dar negativos?
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leandrob_90
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Según wikipedia, la matriz tiene que ser semidefinida positiva nada más
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| leandrob_90 escribió:
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Yo de nuevo, tengo una duda con el tema del tensor de inercia...
los elementos del tensor de inercia que no sean los de la diagonal, pueden dar negativos?
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Los momentos centrífugos pueden dar negativo.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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leandrob_90
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 17 Ago 2009
Mensajes: 1586
Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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| df escribió:
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| leandrob_90 escribió:
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Yo de nuevo, tengo una duda con el tema del tensor de inercia...
los elementos del tensor de inercia que no sean los de la diagonal, pueden dar negativos?
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Los momentos centrífugos pueden dar negativo.
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Buenísimo, gracias df.
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leandrob_90
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leandrob_90
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Ubicación: Mundo de los Ryuo Shin
Carrera: Mecánica
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una consulta, en la Matriz Modal, los autovectores tienen que ir así nomás o normalizados?
edit: agrego otra consulta...
tengo un sistema masa resorte "doble" como el de la figura:
suponiendo ![[tex]m_1=m_2=m[/tex]](images/latex/38b8b38648e0b6a1cddbae426363eb9a93d21815_0.png "[tex]m_1=m_2=m[/tex]") y ![[tex]k_1=k_2=k[/tex]](images/latex/d7dbab0874512de8bec3a9029fed2c834420bb7b_0.png "[tex]k_1=k_2=k[/tex]")
¿cómo me quedaría la energía potencial?
considerando que el 0 de potencial está en el punto de suspensión del sistema...
![[tex]U=-\frac{k}{2}(x_1)^2-\frac{k}{2}(x_2)^2-\frac{k}{2}(x_2-x_1)^2-mgx_1-mgx_2[/tex]](images/latex/68a13c0e9b1cb502bbc9a65cd3966348ec7a0252_0.png "[tex]U=-\frac{k}{2}(x_1)^2-\frac{k}{2}(x_2)^2-\frac{k}{2}(x_2-x_1)^2-mgx_1-mgx_2[/tex]")
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leandrob_90
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