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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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Hola sigo subiendo ajercicios q no se o me trabe en algun lado, en este caso nnunca vi un ejercicio como este y no se ni por donde empezar si alguien me puede ayudar a resolverlo o como tengo que hacer, se lo agradeceria mucho. Saludos.
4. Resolver el problema
ut=uxx –k.u 0<x<pi>0
u(0, t)=u(pi, t)=0 0<x<pi
u(x,0)=sen(x) t≥0
donde k es Real, aplicando Transformada de Laplace
PD: No piensen que solo me ayudan a mi sino tambien a todos los q no se animan a postear. Un saludo.
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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| en un principio yo probaría transformar toda la ecuación (con respecto a t!!!) con sus condiciones y ver si puedo llegar a algo
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
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Carrera: Electrónica y Informática
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| Pero como se transforma uxx?? O sea, por q todas las tranformadas que hice solo dependian de una variable y aca hay dos x y t. La transformada de ut y de uxx quedan en funcion de una misma variable p??
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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| No. Si tenés U(x,t) y querés transformar la variable t a la variable S, entonces te va a quedar U(x,t)------>U(x,S). Lo hacés por definición, integrando con respecto a la variable "t" (la "x" sería una constante que no molesta en la integral).
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
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Carrera: Electrónica y Informática
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Me queda s.U(x,s)-u(x,0)=U(x,s)xx-U(x,s)
=> (s+1).U(x,s)=U(x,s)xx + sen(x)
U(0, s)=U(pi, s)=0 0<x<pi
U(x,0)=sen(x)/s
Pero me da devuelta una ecu diferencial que voy a tener q resolver por separacion de variables supongo o no?? Disculpen si pregunte tanto pero nunca resolvieron en clase algo como esto ni se menciono, ademas de no tenerlo en los 2 libros q tengo.
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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Es que la idea de usar la transformada de Laplace en un problema de E.D.P. es justamente transformar la ecuación a una ecuación diferencial ordinaria. Entonces, lo único que tenés que hacer ahora es resolver esa ecuación que te quedó, pero ahora, la constante es "S" y la variable es "x". Después de hacer eso, sólo resta antitransformar U(x,s) y listo.
Saludos!
TIP: Si querés podés ver la U(x,s) en la ec. diferencial ordinaria cómo una y(x), así estás más cómodo y podés "ver mejor" la ecuación.
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yagui
Nivel 7
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facudelrojo
Nivel 4
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| Hola gracias por las respuestas. Muy bueno el link yagui, mi problema esta en que el metodo que utilizo para resolver la ecu diferencial ya transformada (lo q me acorde de algebra) es un bardo y quizas me estoy pasando algo por alto que me simplifique la vida. El tema es q me complica la vida u(x,0)=sen(x) (En el apunte de yagui siempre es u(x,0)=0). Me pueden dar una mano con la resolucion de la ecu, por q tengo rendir el jueves y no me queda mucho tiempo. Gracias igual por la enorme mano que me estan dando. Un saludo.
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Santi H
Nivel 6
Registrado: 08 Ago 2007
Mensajes: 233
Carrera: No especificada
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A ver, a vos te quedó esto:
![[tex] \left( s+1 \right) U \left( x,s \right) ={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}^{2}}}U \left( x,s \right) +{\it sen} \left( x \right)[/tex]](images/latex/ac57a47ab208d8e47e58a978c44b18e05d47a82f_0.png "[tex] \left( s+1 \right) U \left( x,s \right) ={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x}^{2}}}U \left( x,s \right) +{\it sen} \left( x \right)[/tex]")
![[tex]U \left( 0,s \right) =0[/tex]](images/latex/70a3c92d927c136327d4a252d62c33c937c06968_0.png "[tex]U \left( 0,s \right) =0[/tex]")
![[tex]U \left( \pi,s \right) =0[/tex]](images/latex/d4b4351cf11085405cba875e232236d3bfbbb5ba_0.png "[tex]U \left( \pi,s \right) =0[/tex]")
![[tex]U \left( x,0 \right) ={\it sen} \left( x \right)[/tex]](images/latex/49647d1a9ccf596f56b6ae81c1312da8a791da36_0.png "[tex]U \left( x,0 \right) ={\it sen} \left( x \right)[/tex]")
Bien, ahora suponete que por un momento decís ![[tex]U \left( x,s \right) =f \left( x \right) [/tex]](images/latex/2ed8bc484e7f8717081a3e66f72c6df70949a87c_0.png "[tex]U \left( x,s \right) =f \left( x \right) [/tex]") . Entonces, la ecuación diferencial ordinaria te va a quedar así:
![[tex] \left( s+1 \right) f \left( x \right) ={\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}f \left( x \right) +\sin \left( x \right) [/tex]](images/latex/0d82ad277addc48b350e53a6c0e33dc83e8d325d_0.png "[tex] \left( s+1 \right) f \left( x \right) ={\frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}f \left( x \right) +\sin \left( x \right) [/tex]")
Y las condiciones de borde van a ser estas:
![[tex]f \left( 0 \right) =0[/tex]](images/latex/0975684fb51fbb0ba311aeaef5e3e9c8102d7fd7_0.png "[tex]f \left( 0 \right) =0[/tex]")
![[tex]f \left( \pi \right) =0[/tex]](images/latex/4cf539d5234d26ee9f7235fc04befd4c70177ee3_0.png "[tex]f \left( \pi \right) =0[/tex]")
Resolvé ese problema (ejercicio de álgebra 2!)...buscas la solución de la homogénea y después la de la no homogénea suponiendo una forma adecuada para la solución particular...bueno, ya sabés...
Después de sacar la ![[tex]f \left( x \right)[/tex]](images/latex/01a8045d0843f11f9ae47c1486320bbeaf8ba4bd_0.png "[tex]f \left( x \right)[/tex]") , usas la condición inicial que te queda usar, y de ahi deberías obtener más información...
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yagui
Nivel 7
Edad: 43
Registrado: 19 Feb 2006
Mensajes: 406
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Carrera: Electrónica
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| facudelrojo escribió:
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mi problema esta en que el metodo que utilizo para resolver la ecu diferencial ya transformada (lo q me acorde de algebra) es un bardo y quizas me estoy pasando algo por alto que me simplifique la vida. El tema es q me complica la vida u(x,0)=sen(x)
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bueno, vamos a practicar latex
![[tex]u_t = u_{xx} - k u \\u(0,t) = u(\pi,t) = 0 \\u(x,0) = \sen(x)[/tex]](images/latex/788e32f38d9d38f54cbb87ea114b3c76ec970c31_0.png "[tex]u_t = u_{xx} - k u \\u(0,t) = u(\pi,t) = 0 \\u(x,0) = \sen(x)[/tex]")
Transformamos respecto de la variable t (como sugirió polak1)
![[tex] u(x,t) \longrightarrow F(x,s) \\u_t = u_{xx} - k u \longrightarrow s F(x,s) - u(x,0) = \frac{\partial^2 F(x,s)}{\partial x^2} - k F(x,s)[/tex]](images/latex/dd973a31f2db53cbca19d84ef74ef03cf5651a8f_0.png "[tex] u(x,t) \longrightarrow F(x,s) \\u_t = u_{xx} - k u \longrightarrow s F(x,s) - u(x,0) = \frac{\partial^2 F(x,s)}{\partial x^2} - k F(x,s)[/tex]")
Reordenando esta última ecuación tenemos
![[tex]\frac{\partial² F(x,s)}{\partial x²}-(k+s)F(x,s) = -\sen(x)[/tex]](images/latex/c51e379f4520b85410d21118598817dc376efff8_0.png "[tex]\frac{\partial² F(x,s)}{\partial x²}-(k+s)F(x,s) = -\sen(x)[/tex]")
Esta es una ecuación diferencial en x donde s es un parámetro o una constante.
Acá podemos aplicar los que se ve en álgebra (ec. dif ordinaria, a coeficientes constantes) y que también se ven en análisis III, o podemos transformar nuevamente por laplace.
Para lo primero, no debería haber problemas, aunque me parece que las cuentas se ponen feas (no lo hice)
En el segundo caso utilizamos p como nueva variable compleja (para distinguirla de s) y la transformada sería
![[tex]F(x,s) \longrightarrow L(p,s)[/tex]](images/latex/7d65cc96dcce8e56a6c3398b24d98890179e3671_0.png "[tex]F(x,s) \longrightarrow L(p,s)[/tex]")
Las condiciones de contorno que vamos a utilizar son las transformadas de ![[tex]u(0,t)[/tex]](images/latex/cb38793e593b13b586dee7bc03eeb2f48e65351a_0.png "[tex]u(0,t)[/tex]") y ![[tex]u(\pi,t)[/tex]](images/latex/a549ef44ee0a181f910cb586015ad01f759d3a32_0.png "[tex]u(\pi,t)[/tex]") respecto de la variable ![[tex]t[/tex]](images/latex/975643a82a50f7035377ef49daca21dde6c93bca_0.png "[tex]t[/tex]") , es decir
![[tex]u(0,t) = 0 \longrightarrow F(0,s) = 0 \\u(\pi,t) =0 \longrightarrow F(\pi,s)=0[/tex]](images/latex/24a589d3ffe11470c1dab95acc6953d2aad58b10_0.png "[tex]u(0,t) = 0 \longrightarrow F(0,s) = 0 \\u(\pi,t) =0 \longrightarrow F(\pi,s)=0[/tex]")
La ecuación diferencial transformada queda
![[tex]\frac{\partial² F(x,s)}{\partial x²}-(k+s)F(x,s) = -\sen(x) \longrightarrow p^2L(p,s)-p F(0,s) - F'(0,s) - (k+s)L(p,s) = - \frac{1}{p^2+1}[/tex]](images/latex/80eb5fe6a215d95963f17e030866ec9727e5b0d7_0.png "[tex]\frac{\partial² F(x,s)}{\partial x²}-(k+s)F(x,s) = -\sen(x) \longrightarrow p^2L(p,s)-p F(0,s) - F'(0,s) - (k+s)L(p,s) = - \frac{1}{p^2+1}[/tex]")
) L(p,s) = F'(0,s) - \frac{1}{p^2+1} [/tex]](images/latex/031da63181cd75e842d94a553c9f89134c7d1ae7_0.png "[tex](p^2-(k+s)) L(p,s) = F'(0,s) - \frac{1}{p^2+1} [/tex]")
![[tex]L(p,s) = \frac{F'(0,s)}{p²-(k+s)} - \frac{1}{p^2+1}\frac{1}{p^2-(k+s)}[/tex]](images/latex/a82bcd5f58cf7efd73c247a50c33b03513ab0882_0.png "[tex]L(p,s) = \frac{F'(0,s)}{p²-(k+s)} - \frac{1}{p^2+1}\frac{1}{p^2-(k+s)}[/tex]")
ahora queda antitransformar; primero respecto a p
![[tex]F(x,s) = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;x) + \frac{\sen(x)}{1+k+s} - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;x)}{1+k+s}[/tex]](images/latex/2937f4c9218f687f05cc15c08a72c2b637d5b466_0.png "[tex]F(x,s) = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;x) + \frac{\sen(x)}{1+k+s} - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;x)}{1+k+s}[/tex]")
aplicamos la última condición de contorno, para encontrar F'(0,s)
![[tex]F(\pi,s) = 0 = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;\pi) + \frac{\sen(\pi)}{1+k+s} - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;\pi)}{1+k+s} [/tex]](images/latex/614fd58f56aef6d5e0c2e04ec792fcbe95bc75ac_0.png "[tex]F(\pi,s) = 0 = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;\pi) + \frac{\sen(\pi)}{1+k+s} - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;\pi)}{1+k+s} [/tex]")
![[tex] 0 = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;\pi) - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;\pi)}{1+k+s} \Rightarrow F'(0,s) = \frac{1}{1+k+s}[/tex]](images/latex/4d9b6dba5fcb72985408e963385c416f1931566e_0.png "[tex] 0 = F'(0,s) \senh(\sqrt{k+s}\;\pi) - \frac{\senh(\sqrt{k+s}\;\pi)}{1+k+s} \Rightarrow F'(0,s) = \frac{1}{1+k+s}[/tex]")
![[tex]F(x,s) = \frac{\sen(x)}{1+k+s}[/tex]](images/latex/97862ebe456581551a37d017adf61726b9c06a3c_0.png "[tex]F(x,s) = \frac{\sen(x)}{1+k+s}[/tex]")
antitransformamos respecto a s
![[tex]u(x,t) = \sen(x) e^{-(k+1)t}[/tex]](images/latex/3e51b708038fdca55c66ca98581859fcad400811_0.png "[tex]u(x,t) = \sen(x) e^{-(k+1)t}[/tex]")
es fácil ver que cumple con la ecuación diferencial y con las condiciones de contorno, así que en principio está bien. revisen que no me halla equivocado
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facudelrojo
Nivel 4
Edad: 39
Registrado: 18 Sep 2007
Mensajes: 91
Carrera: Electrónica y Informática
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Claro yo la resolvi tipo Algebra 2, y la verdad q fue una porqueria, me quefo u(x,y)=-sen.exp(-kt). El menos obvio que eta mal pero no se por que me quedo exp(-kt) en ves de como a vos yagui. Pero bueno me parece q tu enfoque es mas apto que el de Algebra por q primero te tenes q acordar el metodo y segundo es una porqueria resolverlo asi. Les agradesco mucho. Voy a subir hoy o mañana un parecido pero con la de Fourier. Escuche que en este caso la transformada la tengo que hacer tomando como variable x y no t. Escueche mal??por que es esto??.
De nuevo muchisimas gracias.
PD: Saben de alguien buen onda que mañana este en la facu para preguntarle dudas??
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[Korky]
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 02 Nov 2009
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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| yagui.. como hiciste la transformada respecto a p? porque como es un producto estuve pensando y no pude encontrarle la vuelta.. gracias =)
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[Korky]
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 02 Nov 2009
Mensajes: 17
Carrera: Informática
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| perdon.. la antitransformada
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nacho.p
Nivel 0
Edad: 35
Registrado: 21 Feb 2010
Mensajes: 1
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| No sale la antitransformada con respecto a p? Como antitransformaron el producto ?
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connor
Nivel 8
Edad: 38
Registrado: 30 Ene 2010
Mensajes: 620
Carrera: Electrónica
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te comento que al menos cuando la curse si se vio ecuaciones de este tipo donde tenes que antitransformar mas de una vez, te lo iba a responder antes pero lo que hicieron mas arriba esta bien, pero slegun escuche a hagffman o algo asi que es e que organiza los coloquios le importa mucho que sepan resolver las ecuaciones mas conocidas, osea las tres que se ven, o como deducirlas, como se llega a esa ecuacion
creo que un ejercicio de coloquio tranquilamente te lo puden sacar del churchill de series de fourier y aplicaciones, ahi esta todo lo que te pueden tomar, y mejor explicado
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![[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]](images/latex/e0cd73a3618cb8730bc9a5247a96170b44c749da_0.png "[tex] \phi (\overrightarrow r ) = \int\limits_V {{d^3}\overrightarrow {r'} \;G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )} \;\rho (\overrightarrow {r'} ) - \frac{1}{{4\pi }}\oint\limits_S {{d^2}\overrightarrow {r'} } \;\frac{{\partial G(\overrightarrow r ,\overrightarrow {r'} )}}{{\partial \overrightarrow {n'} }}\;\phi '(\overrightarrow {r'} ) [/tex]")
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