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Mensaje |
superdude
Nivel 3
Registrado: 16 Oct 2007
Mensajes: 47
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Informática
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Esto me sigue dando vueltas en la cabeza, cuando por ejemplo tengo la función f(x,y)=xy^4, el gradiente es grad f(x,y)=(y^4,4xy^3) por ejemplo un punto crítico es el (0,0), además cualquier punto de la forma (x,0), es crítico, pero no importa eso, la HESS me da
H= 0 4y^3
4y^3 12xy^3
evaluada en (0,0) que da todo 0, entonces no cumple con el criterio de la hessiana (aclarenme si hablar de criterio de hess está bien, yo lo tengo como teorema 2) no hay ninguna aclaración sobre que pasa si la hessiana es 0, sí dice que cuando el DET(h)!=0 es distinto de 0 y no es definida pos ni neg, entonces hay un punto silla, pero en este caso el teorema no me dice nada. Entonces, lo que yo tengo en el cuaderno es un pequeño análisis de la función cuando se acerca al (0,0) y muestra que cuando se acerca a 0 con x positivos, y negativos y positivos, la función es mayor a 0, y cuando se acerca con x negativos e y es positivo o negativo, la función es menor a 0, y por tanto en (0,0) hay un punto silla.
Mi pregunta es la siguiente, esto no me convence mucho, sin embargo hay una def que dice que si un punto es crítico y la función no alcanza un extremo local en ese punto, entonces es un punto ensilladura, es esto lo que usó el profe, para determinar que era un punto silla??? o estoy muy equivocado?
Lo otro sería, que pasa en los otros puntos (x,0), la hess también me da 0, y entonces que pasa con esos puntos?
gracias!
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Creo que te referís a que el determinante de la Matriz Hessiana sea 0 (pués una matriz no puede ser 0).
Cuando vos analisas la matriz Hessiana, queres ver si es definida positiva o definida negativa. Tanto lo podés hacer con el Criterio de Sylvester (usando los sucesivos determinantes de los menores principales de la matriz) o con el criterio de los autovalores. Ambos tienen el mismo origen y ninguno es más fuerte que el otro, aunque yo te recomendaría autovalores en general porque es más fácil de acordarse.
Si la matriz es definida positiva o definida negativa, sabés que es un mínimo o un máximo respectivamente y no recuerdo bien, pero creo que si era indefinida era un punto silla (corrijanme si me equivoco). Analogamente con los autovalores, si son todos mayores que cero, es mínimo, si son todos menores que cero, son máximos, si alternan positivos y negativos es punto silla y si alguno es 0 el criterio no decide nada.
Notar que los autovalores de la matriz Hessiana son siempre reales si la función es ![[tex]C^2[/tex]](images/latex/6b0a63f281fd67c722baa861a3ae421c9ce89546_0.png "[tex]C^2[/tex]") pues la Hessiana es simétrica en estos casos, sino nada de lo de formas cuadráticas sirve creo (o al menos no directamente).
Cuando no puedas emplear un criterio, la única que queda es analizar la función en el punto. Te acercas al punto que querés mirar de varias formas:
Supongamos que queres mirar en el origen, te acercas a la función en las formas
,(h,0),(h,k),(h,mh),(0,k^2),(h,\sqrt{h})[/tex]](images/latex/282ec3de0301f55d351bb0eed3c314b49f1700ad_0.png "[tex](0,k),(h,0),(h,k),(h,mh),(0,k^2),(h,\sqrt{h})[/tex]") etcétera, y luego ves que pasa cuando los incrementos tienden a 0. Esto te da una idea del comportamiento de la función, una vez que te hiciste la idea tenes que tratar de acotarla por mayor o por menor, o eventualmente si acercandote por dos caminos distintos, la función crece en un lado y decrece en el otro, es un punto silla.
Saludos
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exocet
Nivel 6
Registrado: 11 Ago 2009
Mensajes: 271
Ubicación: capital
Carrera: Industrial
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| si el hessiano te da menor a cero es un punto silla si es = a cero no dice nada el criterio y si es mayor a cero es extremo el ejemplo que diste el hessiano no te queda asi.. estoy apruado despues seguimos
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Eyetz
Nivel 5
Edad: 35
Registrado: 11 May 2009
Mensajes: 164
Ubicación: San Cristobal
Carrera: Informática
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| cuando el det da 0 no podes afirmar nada. lo que podes hacer es mirar como se comporta la funcion en un entorno del punto y de ahi sacar conclusiones. hay veces que es facil a ojo saber si hay un maximo o un minimo.
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mamafe
Nivel 1
Edad: 34
Registrado: 27 Sep 2009
Mensajes: 4
Carrera: No especificada
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| esta bien lo que dice eyetz, si el hess es 0, el teorema 2 no te sirve para nada, tenes que ver que pasa con la función en un entorno del punto.. fijate que antes de darte ese teorema dos, al principio de la clase supongo, te deben haber dado las definiciones de extremo local, entonces utilizando la definicion, en general, tendrías que poder encontrar fácilmente si es extremo o no... suerte
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