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Mensaje |
juani
Nivel 3
Registrado: 12 Oct 2009
Mensajes: 26
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4. Sean f : R2 → R una funci´on C1(R2) y h : R2 → R tal que h(x, y) = f(x y + y, y(al cuadrado) x − 2 x).
Sabiendo que
• la m´axima derivada direccional de h en (1, 1) es √13
• ∇h(1, 1) tiene componentes positivas y es ortogonal al vector (−4, 6),
halle la derivada direccional m´ınima de f en (2,−1).
gente necesito q me ayuden con este problema, si alguien lo puede resolver y decirme cuanto le dio seria genial pq lo hice pero tengo dudas.
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J.R.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Bueno sabés que el gradiente marca la dirección de máximo crecimiento, entonces arranca por encontrar la dirección del gradiente. Hacelo con producto escalar, que da cero si los vectores son perpendiculares.
 (u,v) = 0 \Longrightarrow -4u+6v=0 \ \ \Longrightarrow 3v=2u[/tex]](images/latex/c6d267df9706b76e00741e4f8a61a1f0f785d945_0.png "[tex](-4,6) (u,v) = 0 \Longrightarrow -4u+6v=0 \ \ \Longrightarrow 3v=2u[/tex]")
Ahi ya tenés el conjunto de vectores ortogonales creo, ahora tenés que ver el que tiene norma ![[tex]\sqrt{13}[/tex]](images/latex/fb1672cdbe3ea90b193c4862d8a7115c52a0bbc0_0.png "[tex]\sqrt{13}[/tex]") entonces:
![[tex] \sqrt{13} = \sqrt {u^2+v^2} \Longrightarrow \sqrt{\frac{9}{4}v^2+v^2}=\sqrt{13} \Longrightarrow v^2(\frac{13}{4})=13 \Longrightarrow v=\sqrt{4} \Longrightarrow v=2 \Longrightarrow \nabla h(1,1)= (3,2) [/tex]](images/latex/524e054b457ebdbe2889f3fe9889c0d17221436a_0.png "[tex] \sqrt{13} = \sqrt {u^2+v^2} \Longrightarrow \sqrt{\frac{9}{4}v^2+v^2}=\sqrt{13} \Longrightarrow v^2(\frac{13}{4})=13 \Longrightarrow v=\sqrt{4} \Longrightarrow v=2 \Longrightarrow \nabla h(1,1)= (3,2) [/tex]")
Bueno, ahora como me parecia, llamas ![[tex]a=xy +y \land b=y^2x-2x[/tex]](images/latex/dc24d8612d54fea25ca793200d4919eb79a58286_0.png "[tex]a=xy +y \land b=y^2x-2x[/tex]")
Entonces
![[tex] \frac {\partial h}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial a} \frac {\partial a} {\partial x} + \frac {\partial f} {\partial b} \frac {\partial b} {\partial x} [/tex]](images/latex/3ae1a174105e6ea485a613a4e30caec4d145b4b4_0.png "[tex] \frac {\partial h}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial a} \frac {\partial a} {\partial x} + \frac {\partial f} {\partial b} \frac {\partial b} {\partial x} [/tex]")
Y lo que querés averiguar vos son esos valores de ![[tex] \frac {\partial f}{\partial a} \land \frac {\partial f} {\partial b} [/tex]](images/latex/31f77fd3d615d45262c11c4d25d22816b939c9ea_0.png "[tex] \frac {\partial f}{\partial a} \land \frac {\partial f} {\partial b} [/tex]")
Planteando lo mismo para la derivada con respecto a y te queda que
![[tex] \frac{\partial h} {\partial y} = \frac {\partial f}{\partial a} \frac {\partial a} {\partial y} + \frac {\partial f} {\partial b} \frac {\partial b} {\partial y} [/tex]](images/latex/5a6e3baaeeedb343cad85488b3de17f2c9bc2295_0.png "[tex] \frac{\partial h} {\partial y} = \frac {\partial f}{\partial a} \frac {\partial a} {\partial y} + \frac {\partial f} {\partial b} \frac {\partial b} {\partial y} [/tex]")
Empezando a reemplazar cosas te queda
![[tex]\frac {\partial h}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial a} y + \frac {\partial f}{\partial b} (y^2-2) [/tex]](images/latex/fbb646b3e5419f5d75b9a8096b9667c4f4c4189b_0.png "[tex]\frac {\partial h}{\partial x} = \frac {\partial f}{\partial a} y + \frac {\partial f}{\partial b} (y^2-2) [/tex]")
![[tex]\frac {\partial h}{\partial y} = \frac {\partial f}{\partial a} (x+1) + \frac {\partial f}{\partial b} (2yx)[/tex]](images/latex/f7542d9333ab0b667907555a436038a77073a80a_0.png "[tex]\frac {\partial h}{\partial y} = \frac {\partial f}{\partial a} (x+1) + \frac {\partial f}{\partial b} (2yx)[/tex]")
Bueno ahora viene el tole tole. Cuando evaluas h en (1,1) te queda f evaluada en (2,-1) por como esta definida h (reemplaza en la ecuacion original). Entonces queda.
![[tex] \frac {\partial h}{\partial x}|_{(1,1)}= \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)} y|_{(1,1)} + \frac {\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} (y^2-2)|_{(1,1)}[/tex]](images/latex/11dc0c8919a4ffcdaeed4df997385b326c25408f_0.png "[tex] \frac {\partial h}{\partial x}|_{(1,1)}= \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)} y|_{(1,1)} + \frac {\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} (y^2-2)|_{(1,1)}[/tex]")
Donde queda inmediato que
![[tex] 3 = \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)}[/tex]](images/latex/811e94d4ec70a8a7ff6753600d8f9d9a11136da0_0.png "[tex] 3 = \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)}[/tex]")
En la otra ecuación
![[tex] \frac {\partial h}{\partial y}|_{(1,1)} = \frac {\partial f}{\partial a}|_{2,-1}(x+1)|_{(1,1)} + \frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)}2xy|_{1,1}[/tex]](images/latex/cb04e332ef04fd0d351c4cacac5c8bc272f1c18e_0.png "[tex] \frac {\partial h}{\partial y}|_{(1,1)} = \frac {\partial f}{\partial a}|_{2,-1}(x+1)|_{(1,1)} + \frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)}2xy|_{1,1}[/tex]")
![[tex] 2 = 6 + \frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} 2 \Longrightarrow -2=\frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} [/tex]](images/latex/c8a8dc7a4d705cd5380ed413c9a45d4867bbc8d9_0.png "[tex] 2 = 6 + \frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} 2 \Longrightarrow -2=\frac{\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} [/tex]")
Después de todo esto, sabés que ![[tex]\nabla f(2,-1)=(3,-2)[/tex]](images/latex/cee23c13fac86f8210205fb909c85ec3114f22bc_0.png "[tex]\nabla f(2,-1)=(3,-2)[/tex]")
Ahora como f es diferenciable
![[tex]D_vf(2,-1) = \nabla f(2,-1) v [/tex]](images/latex/e25522d91872ed33ced7844b982192ed6d06dad5_0.png "[tex]D_vf(2,-1) = \nabla f(2,-1) v [/tex]") Donde v es un vector que define la dirección. Es trivial que esto se hace mínimo cuando v es opuesto a f porque por la fórmula del producto escalar como la norma de v es 1, la unica variable que tenés es el angulo comprendido entre v y el gradiente, que es mínimo si el angulo es pi.
Entonces queda que la mínima derivada direcciónal tiene mágnitud ![[tex]-\sqrt{13}[/tex]](images/latex/9983503c150ca34c666436d31fe5cc1d53b917c8_0.png "[tex]-\sqrt{13}[/tex]") y además es en la dirección (-3,2) (no la normalice por paja, total para la dirección es lo mismo).
Bueno espero no haber metido la pata y haber logrado ayudarte. Algo importante es que podés aplicar regla de la cadena porque f es diferenciable y h es composicion de f con diferenciables.
Saludos
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Última edición por sabian_reloaded el Vie Nov 13, 2009 10:47 pm, editado 2 veces
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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ahora que tenes el grad de h plantea:
h'x(x,y)= f'u . u'x + f'v . v'x
h'y(x,y)=f'u . u'y + f'v . v'y
con u = xy+y v= (y^2)x-2x
tnes el dato en el pto (1,1), y como incognitas f'u y f'v
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brunojm
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Sep 2007
Mensajes: 250
Ubicación: De vez en cuando
Carrera: Civil
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me dio que la derivada direccional minima( - la norma del gradiente de f) es ![[tex]-sqrt{5}[/tex]](images/latex/cfe5cd153f8dc92f7e6c5f1d88ce81041c5eb9b5_0.png "[tex]-sqrt{5}[/tex]")
igual ahora lo reviso bien a ver si me mande algun moco o no
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lilagus27
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 270
Ubicación: Saavedra
Carrera: Civil
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| brunojm escribió:
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me dio que la derivada direccional minima( - la norma del gradiente de f) es ![[tex]- \sqrt{5}[/tex]](images/latex/b901a9ee02101b5b07f90939a44140ee45e62266_0.png "[tex]- \sqrt{5}[/tex]")
igual ahora lo reviso bien a ver si me mande algun moco o no
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me dio lo mismo 
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lilagus27
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 26 Feb 2009
Mensajes: 270
Ubicación: Saavedra
Carrera: Civil
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| sabian_reloaded escribió:
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Donde queda inmediato que
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CREO que te olvidaste de poner ![[tex] \frac {\partial h}{\partial x}|_{(1,1)}= \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)} . 1 + \frac {\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} . (-1)[/tex]](images/latex/053c2c1c214f4ec8c97fff5ef363f9be129975cf_0.png "[tex] \frac {\partial h}{\partial x}|_{(1,1)}= \frac{\partial f}{\partial a}|_{(2,-1)} . 1 + \frac {\partial f}{\partial b}|_{(2,-1)} . (-1)[/tex]")
porque ![[tex] (y^2-2)|_{(1,1)} = -1[/tex]](images/latex/93d25e4c85d7fbf7fc6c9733c8dd714f4dc9f167_0.png "[tex] (y^2-2)|_{(1,1)} = -1[/tex]")
si me equivoco perdon, ya estoy quemadisima... 
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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