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Problema de test de hipotesis y regla de decisión!

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Foros-FIUBA Foros » Académico » Materias » 61. Matemática » 61.06 / 61.09 Probabilidad y Estadística » [61.06/09] Problemas y ejercicios » Problema de test de hipotesis y regla de decisión!

Autor

Mensaje

Vic
Nivel 3

Registrado: 11 Dic 2008
Mensajes: 20

Carrera: Sistemas

Publicado: Dom Sep 06, 2009 10:51 am Asunto: Problema de test de hipotesis y regla de decisión!


Buenas gente!, a ver si alguien me puede dar una mano con este ejercicio, que no me esta saliendo!, el problema es el siguiente: Se tiene una población con distribución U(Θ, Θ+1). Basandose en una muestra de tamaño 1, X1, diseñar una regla de decisión de nivel de significación 0.1, para verificar H0 : Θ ≤ 5 contra H1 : Θ > 5. Grafique la curva característica operativa. Yo llegué a plantear lo siguiente: P(rechazar Ho / Ho es verdadera) = nivel de significación, que utilizando los datos del enunciado, quedaría P (Θ>Θc/Θ=5) = 0.1, y despues, reemplazando en el parametro Θ de la distribución uniforme, quedaria acotada entre 5 y 6, la variable aleatoria, el problema, es que esta distibución, solo vale 1 para los valores de la VA, entre 5 y 6, de manera, que no se me ocurre como averiguar el Θc tal que me de el nivel de significación 0.1, o cercano!, si alguién puede darme una mano con esto, voy a estar agradecido!!.

grynberg
Nivel 6

Registrado: 04 Sep 2009
Mensajes: 237
Ubicación: Corrientes y Esmeralda. En el sur del planeta Tierra.
Carrera: No especificada

Publicado: Dom Sep 06, 2009 4:17 pm Asunto: (Sin Asunto)


Estimado Vic, En primer lugar te pido disculpas porque necesito escribir algunas cosas en forma plana y voy a hacerlo utilizando el código del Latex. (Cualquier duda, podés buscar en la red el manual lshort.pdf) Con ese planteo te va a costar llegar a un resultado concreto. Lo que te impide avanzar es un posible error conceptual que se manifiesta en lo siguiente: "P(rechazar Ho / Ho es verdadera) = nivel de significación, que utilizando los datos del enunciado, quedaría P (Θ>Θc/Θ=5) = 0.1," En general la estrategia para resolver los problemas involucrados en un test de hipótesis consiste en lo siguiente: 1. Diseñar una regla de decisión en forma semi-abstracta. Por ejemplo, aceptar la hipótesis $[tex]H_0: \theta \leq 0.5[/tex]$ si y solamente si $[tex]X_1\leq \theta_c[/tex]$ . En otro caso, rechazar esa hipótesis a favor de su contraria $[tex]H_1: \theta >5[/tex]$ . (Este diseño reduce el problema a determinar el valor de $[tex]\theta_c[/tex]$ ) 2. Estudiar las propiedades de la curva característica operativa (CCO) correspondiente a la regla diseñada . La CCO se define del siguiente modo: $[tex]\mathcal{L}(\theta ):=\mathrm{P}(\mbox{Aceptar} H_0\|\theta )[/tex]$ . El lado derecho de la fórmula es la probabilidad de aceptar la hipótesis $[tex]H_0[/tex]$ sabiendo que el verdadero valor del parámetro es $[tex]\theta[/tex]$ . ~~[Aquí \cL es una abreviatura para \mathcal{L} (una L caligráfica) y \P es una abreviatura para \mathbb{P} (una P "gordita")]~~ Este segundo paso del método es crucial porque permite evaluar todos los riesgos involucrados en la regla de decisión. Para $[tex]\theta \in H_0[/tex]$ , la CCO permite evaluar la probabilidad de cometer un error de tipo I (rechazar $[tex]H_0[/tex]$ , cuando $[tex]H_0[/tex]$ es verdadera) cuando el verdadero valor del parámetro es $[tex]\theta[/tex]$ de la siguiente manera: $[tex]\mathrm{P}(\mbox{Rechazar} H_0\| \theta )=1-\mathrm{P}(\mbox{ Aceptar} H_0\|\theta )=1-\mathcal{L}( \theta ).[/tex]$ Para $[tex]\theta \in H_1[/tex]$ , la CCO permite evaluar la probabilidad de cometer un error de tipo II (aceptar $[tex]H_0[/tex]$ cuando $[tex]H_0[/tex]$ es falsa) cuando el verdadero valor del parámetro es $[tex]\theta[/tex]$ de la siguiente manera: $[tex]\mathrm{P}( \mbox{ Aceptar } H_0 \| \theta ) = \mathcal{L}( \theta )[/tex]$ . Cómo se obtiene la CCO? El problema consiste en calcular la probabilidad $[tex]\mathrm{P}(\mbox{ Aceptar } H_0\|\theta )[/tex]$ . Esa probabilidad se calcula utilizando el diseño de la regla de decisión y los datos sobre la distribución de $[tex]X_1[/tex]$ de la siguiente manera. Aceptar $[tex]H_0[/tex]$ significa que $[tex]X_1\leq\theta_c[/tex]$ . Para calcular la probabilidad de ese evento se utiliza que $[tex]X_1[/tex]$ tiene distribución uniforme sobre el intervalo $[tex](\theta , \theta +1)[/tex]$ . Si se hacen las cuentas se obtiene una fórmula para $[tex]\mathcal{L}(\theta )[/tex]$ que depende de la relación entre $[tex]\theta[/tex]$ y $[tex]\theta_c[/tex]$ . Lo que se obtiene es una función de $[tex]\theta[/tex]$ definida por partes. Qué significa estudiar las propiedades de la CCO? Significa determinar su comportamiento cualitativo. En concreto, $[tex]\mathcal{L}(\theta)[/tex]$ es una función de $[tex]\theta[/tex]$ y lo que se quiere determinar es cuáles son las regiones en las que la función es creciente y cuáles son las regiones en las que la función es decreciente. (Los típicos problemas que se estudian en Análisis I). El objetivo de este análisis es poder graficar la CCO en un sistema de ejes cartesianos donde el eje de las absisas representa los valores del parámetro $[tex]\theta[/tex]$ y el eje de las ordenadas representa probabilidades. Esa representación gráfica permite evaluar a simple vista los riesgos involucrados en la regla de decisión. En el problema concreto que estamos analizando la CCO resulta ser una función decreciente (y no debería ser de otro modo). Para qué se estudia la CCO? Para determinar en qué valor del parámetro $[tex]\theta[/tex]$ se realiza el nivel de significación de la regla de decisión. (Por definición, e nivel de significación es la máxima probabilidad de cometer un error de tipo I). Por ejemplo, cuando la CCO es decreciente y la hipótesis $[tex]H_0[/tex]$ es de la forma $[tex]\theta \leq \theta_0[/tex]$ , el nivel de significación se realiza en $[tex]\theta =\theta_0[/tex]$ . Si se observa el gráfico de la CCO esto último es una verdad de perogrullo: los errores de tipo I son las diferencias entre la recta horizontal de altura 1 y las alturas del gráfico de la CCO. A medida que $[tex]\theta[/tex]$ aumenta, las alturas se achican y los errores de tipo I se agrandan. (Recomiendo que hagan un dibujo para que puedan observar lo que estoy diciendo) 3. Determinar la regla de decisión que verifique los requisitos de calidad deseados. En el paso 1 se diseña una regla semi-abstracta. En el paso 2 se estudian los riesgos que involucra. Para qué? Para poder determinar la forma concreta que debe tener la regla para que verifique las condiciones impuestas sobre los riesgos. En este problema se impone un nivel de significación $[tex]0.1[/tex]$ . Lo único que tenemos que hacer es determinar el valor de $[tex]\theta_c[/tex]$ para que la regla de decisión tenga ese nivel de significación. En concreto, se trata de resolver la siguiente ecuación $[tex]0.1= 1- \mathrm{P} ( \mbox{ Aceptar } H_0 \| 5 )= 1- \mathrm{P} (X_1 \leq \theta_c \| 5).[/tex]$ Despejado el valor de $[tex]\theta_c[/tex]$ , lo que falta es enunciar en forma concreta la regla, determinar la expresión concreta de su CCO y hacer un gráfico que permita observar todos los riesgos involucrados. Saludos P.D. Me disculpo por la extensión de la respuesta. Pero quería aprovecharla para explicarles algunas cuestiones de método. Traten de resolver el ejercicio, suban las respuestas y luego ajustamos los detalles. \MOD(sebasgm): Edité el post para que pueda verse el Latex correctamente. Como Comentó Dx9 en el post subsiguiente, se usa el TAG [tex], para embeber código. El resto de la sintáxis es igual, a excepción de la diferenciación entre "$" y "\[ \]", que acá virtualmente no existe y se hace todo bajo los mismos TAGS. Si transcribí algo mal, avisenme. Gracias.

Dx9
Moderador

Edad: 37
Registrado: 03 Ene 2007
Mensajes: 1552

Carrera: Informática

Publicado: Dom Sep 06, 2009 4:29 pm Asunto: (Sin Asunto)

grynberg escribió:

Estimado Vic,

En primer lugar te pido disculpas porque necesito escribir algunas cosas en forma plana y voy a hacerlo utilizando el código del Latex. (Cualquier duda, podés buscar en la red el manual lshort.pdf)

Se puede ver latex en el foro encerrando el codigo entre tags tex. Para mas info: link.

Vic
Nivel 3

Registrado: 11 Dic 2008
Mensajes: 20

Carrera: Sistemas

Publicado: Dom Sep 06, 2009 7:37 pm Asunto: (Sin Asunto)


Muchas Gracias Sebastían, por responder tan rapido!, claramente, estaba encarando mal el ejercicio, pero con ese metodo, me quedo mucho mas claro como hacer un test de hipotesis, y encontrar la regla de decisión!, y lo de la curva caracteristica operativa, sinceramente, jamas pude ir a una clase de eso, y lo investigue por internet, pero no me quedaba claro!, asi que, muchas gracias por la ayuda!, voy a practicar esto, y ejercicios de estimación bayesiana, que tambien me cuestan, y seguramente, en unos dias, hare mas preguntas!.

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