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gira
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Carrera: Industrial
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Buem0, los enunciados creo que eran algo así: (No me acuerdo que tema)
1. (a) Buscar los ![[tex]a \in \Re[/tex]](images/latex/7e940b1a4675264401b00968d296c1f3acf5d7c4_0.png "[tex]a \in \Re[/tex]") , para los cuales y(t) es solución de y'(t) + 2ty(t) = te^{(1 - a^2 )t^2 }[/tex]](images/latex/e1f054f866dec3b6f80b60f85dbca75ef78fc55e_0.png "[tex](1 + t^2 )y'(t) + 2ty(t) = te^{(1 - a^2 )t^2 }[/tex]") y verifica ![[tex]\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y(t) = \frac{1}{2}[/tex]](images/latex/f3d332f62cd8f721d238ee5b613f0330891fc822_0.png "[tex]\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } y(t) = \frac{1}{2}[/tex]") .
Yo intenté resolverlo con el método del factor integrante pero no pude porque el factor integrante me daba "t" y luego tenía que resolver la integral ![[tex]\frac{{t^2 e^{(1 - a^2 )t^2 } }}{{1 + t^2 }}[/tex]](images/latex/f28f4f281aa172067eb1ff0ef939b4db51d0298b_0.png "[tex]\frac{{t^2 e^{(1 - a^2 )t^2 } }}{{1 + t^2 }}[/tex]") que definitivamente no pude.
1. (b) Sea ![[tex]h(t) = \sqrt {1 + t^2 }[/tex]](images/latex/d3ca5f5a41196b92e4cc345cdb1fd3ef8cd69c41_0.png "[tex]h(t) = \sqrt {1 + t^2 }[/tex]") solución de la ecuación ![[tex]y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = f(t)[/tex]](images/latex/7b48e7f089e7507e2f33fe7ed82a77e2fc20fce1_0.png "[tex]y''(t) + 4y'(t) + 5y(t) = f(t)[/tex]") (o algo así de simple), encontrar la solución general de esta ecuación.
Aca yo de boludo después de encontrar la homogénea en un toque me puse a buscar una particular, y para eso busque f(t) reemplazando h(t) en la ED, y me dio algo feito, y despues intente hacer variación de parámetros pero tenía unos cuantos choclos...... de boludo que soy no me avive que h(t) era la particular que me faltaba. Era muy fácil 
2. Sea ![[tex]A = \left( {\begin{array}{*{20}c} {3/2} & 0 & { - 1} \\ 0 & 3 & 0 \\ {1/2} & 0 & 0 \\\end{array}} \right)[/tex]](images/latex/18e746fcac970cf45d3f5da9125708c84d0b7de0_0.png "[tex]A = \left( {\begin{array}{*{20}c} {3/2} & 0 & { - 1} \\ 0 & 3 & 0 \\ {1/2} & 0 & 0 \\\end{array}} \right)[/tex]") hallar todos los ![[tex]x \in \Re ^3[/tex]](images/latex/d2d64f7b25371e09429cd19b41cf33c94813ff98_0.png "[tex]x \in \Re ^3[/tex]") tal que ![[tex]\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } A^k x = \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ 5 \\\end{array}} \right)[/tex]](images/latex/7e63d435d147788c08f1d30563e9972b5b91a15b_0.png "[tex]\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } A^k x = \left( {\begin{array}{*{20}c} 6 \\ 0 \\ 5 \\\end{array}} \right)[/tex]")
Si no lo hice mal era bastante fácil. Me fije que A era diagonalizable entonces hice ![[tex]A^k = PD^k P^{ - 1}[/tex]](images/latex/a588cd681dd214717a3113a881a7160b959e5666_0.png "[tex]A^k = PD^k P^{ - 1}[/tex]") y me dió que x era ![[tex]\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 24} \\ 0 \\ 0 \\\end{array}} \right)[/tex]](images/latex/b2c4270f918641fb98481d7b1bca7aef478d5e46_0.png "[tex]\left( {\begin{array}{*{20}c} { - 24} \\ 0 \\ 0 \\\end{array}} \right)[/tex]")
3. Sea forma cuadrática ![[tex]Q(x)=ax^2+2b^2xy+ay^2[/tex]](images/latex/fb4628b35a408e9aaab57c8124753d6037c746d1_0.png "[tex]Q(x)=ax^2+2b^2xy+ay^2[/tex]") , graficar el conjunto de pares (a,b) tal que ![[tex]0 \le Q(x) \le 4[/tex]](images/latex/af461e1d335fea5dd43885966481919f7d6561a7_0.png "[tex]0 \le Q(x) \le 4[/tex]") para todos los x de norma 1. (o algo así)
Este también, si lo hice bien era fácil, aunque nose si justifique bien. Acá dije que el teorema de Rayleigh decía que sea Q(x) una f.c. entonces se cumple que: ![[tex]\lambda _{min} \le \frac{{Q(x)}}{{\left\| x \right\|^2 }} \le \lambda _{max}[/tex]](images/latex/180092ffc869e26760b6dfe216eed78729b1f3e6_0.png "[tex]\lambda _{min} \le \frac{{Q(x)}}{{\left\| x \right\|^2 }} \le \lambda _{max}[/tex]") . Entonces si me dice que la norma de x debe ser uno y que entonces creo que es suficiente decir que 0 y 4 son los autovalores de la matriz asociada a la f.c. Q(x).
Entonces saco el polinomio caracterísitco de la matriz y reemplazo ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") por 0 y por 4. Entonces tengo 2 ecuaciones con 2 incógnitas (a y b). y me dieron ![[tex]a = 2,\left| b \right| = \sqrt 2[/tex]](images/latex/92b45b88c3aa86b784cd0013655655bad73cefd6_0.png "[tex]a = 2,\left| b \right| = \sqrt 2[/tex]")
(ojalá este bien)
4. Creo que era buscar la solución del sistema ![[tex]X'(t) = (A^3 + I)X(t)[/tex]](images/latex/39dfc7158e82eb6e8faf40d9ff020e6e351b74b4_0.png "[tex]X'(t) = (A^3 + I)X(t)[/tex]") y te daban A. Entonces buscabas que A era diagonalizable y luego hacías cambio de variables x = Py. Pero no me acuerdo bien los detalles. Me parece que tambien era fácil.
5. (a) No me acuerdo bien. Te daban dos valores singulares de A y había que demostrar que sabiendo eso existe al menos un v tal que ![[tex]\left\| v \right\| = 1[/tex]](images/latex/893b7b4a9ad3043a66becdabac76ea8c1a810af7_0.png "[tex]\left\| v \right\| = 1[/tex]") y ![[tex]\left\| {Av} \right\| = 2[/tex]](images/latex/dbe61836a4a64485dabfc4145bb65f94faff2f90_0.png "[tex]\left\| {Av} \right\| = 2[/tex]")
No me salió.
5. (b) Demostrar que para todo ![[tex]A \in \Re ^{mxn}[/tex]](images/latex/93c27fe9d44b0276bd4deac73c809ee04ec7e646_0.png "[tex]A \in \Re ^{mxn}[/tex]") ![[tex]A^T (A^ + )^T = I[/tex]](images/latex/e6f2a614d28b5b0b430dc1875e7ac8b92ca98763_0.png "[tex]A^T (A^ + )^T = I[/tex]")
Esto era fácil. Lo molesto capaz era demostrar que ![[tex]\Sigma ^ + \Sigma = I[/tex]](images/latex/0ce2eeafb92c55c7683d423155f0ef366d7e791b_0.png "[tex]\Sigma ^ + \Sigma = I[/tex]")
EDIT: Completo
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Cuanto más complicada parece una situación, más simple es la solución. Eliyahu Goldratt
Última edición por gira el Jue Ago 27, 2009 1:48 pm, editado 6 veces
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el.colo
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En el 1ro, a mi quedaba una integral un poco ma facil, al final me quedaba que solo se cumplia para a=1 y a=-1. Para la parte b, calcule la solucion de homogeneo y le sume la particular que te daba el enunciado.
El 2do hice lo mismo que vos, pero no me acuerdo el resultado final, solo me acuerdo todos los x que pedian eran lso generados por un solo vector.
El 3ro pedia los a y b para que una forma cuadratica Q(x) este siempre entre 0 y 4, restringidio a llxll=1. Lo hice me quedo una cosa bastante chota. Tenias que graficar el conjunto de esos a y b. A mi me quedo una superficie limitada por parabolas. pero no le tengo demaciada fe.
El 4to te daba una matriz A y te pedai resolver: X'(t)=(A^3+I)X(t) me parecio bastante facil, ademas de que A^3 era igual a A.
El 5to te pedia demostrar unas cosas, ahi escribi cualquier cosa...
PD: Ya me pongo a intentar usar latex y escribo bien lo que hice yo.
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gira
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el.colo
Nivel 5
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| gira escribió:
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Entonces lo que yo hice lo tengo mal?
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No!! que yo lo haya hecho diferente nos ignifica nada, creeme. Lo que pense yo es que como Q(x) tiene que estar entre 0 y 4 los autovalores tiene que ser uno mayor o igual a 0 y el otro menor o igual a 4. por lo tanto me qeudaban varias inecuaciones, que si mal no recuerdo eran
![[tex]a+b^2\geq0 \mbox{ y } a-b^2\leq4[/tex]](images/latex/2d18e68f27be7b451f8ffc851fd47642f81cf749_0.png "[tex]a+b^2\geq0 \mbox{ y } a-b^2\leq4[/tex]")
Y tambien:
![[tex]a-b^2\geq0 \mbox{ y } a+b^2\leq4[/tex]](images/latex/d0d484ca6394b160cb595efd6a86e617c361e8ff_0.png "[tex]a-b^2\geq0 \mbox{ y } a+b^2\leq4[/tex]")
Nose, no estoy muy seguro de lo que hice igual.
PD: Idal tenemos diferentes temas, yo tenia el tema 2 porq en mi tema.
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gira
Nivel 9
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el.colo
Nivel 5
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Bueno, fue inutil intentar poner matrices en latex asi q lo escribo a lo paisano...
yo escribia ![[tex]Q(x)=x^TAx[/tex]](images/latex/0f411fbfbd91ce2c6e2e390b3132bc6fad566874_0.png "[tex]Q(x)=x^TAx[/tex]") con A= a b^2
b^2 a
A eso le sacaba los autovalores, y qeudaba: ![[tex]a+b^2=\lambda[/tex]](images/latex/8010a3ff6e74acdecda211bd05fa1fc142464621_0.png "[tex]a+b^2=\lambda[/tex]") y ![[tex]a-b^2=\lambda[/tex]](images/latex/7b96d560f2f073497a8b53f129a158ef01261ad1_0.png "[tex]a-b^2=\lambda[/tex]")
Entonces habia 2 combinaciones, que la 1ra sea mayor a 0 y la 2da menos a 4, o que la 1ra sea menor a 4 y la 2da maor a 0.
nose si me explico.
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Solcito
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Creo q hay una sola combinacion xq vos ya sabes q a+b^2 es mayor que a-b^2
Osea q a-b^2>0 y a+b^2 < 4
Yo tenia el otro tema y quedaba a^2 + b^2 <4>0
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gira
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Ajax08
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Mensajes: 168
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| Que te den esa desigualdad seguido de norma de x=1, significa que te estan acotando la forma cuadrática, al ser a simétrica y por lo tanto Q una forma cuadrática se puede aplicar la desigualdad de Rayleigh.
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Solcito
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No lo que quiere decir es q van entre 0 y 4 los autovalores, yo le pregunte y me dijo "esta mal xq estas asumiendo q uno es 0 y el otro 4" yo tambien pensaba q era asi.
Y no le pifie (creo) en mi tema quedaba a^2 +- b^2 los dos avas.... los avas quedaban limitados en una circunferencia de radio 2 y dos rectas .
Y hay que esperar no queda otra
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Solcito
Nivel 5
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| Perdon a, b (no los avas) quedaban limitados entre lo que dije, me equivoq...
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gira
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Solcito
Nivel 5
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| Si eso es verdad pero creo q tiene que ver con que la matriz no es una pueden ser muchas estan en funcion de a,b entonces x eso dependiendo de a,b el autovalor sera uno... x eso te dice q los avas van entre esos valores segun el a,b... eso entendi yo...
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gira
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el.colo
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| gira escribió:
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ok, esta bien, los autovalores dependen de a y b, y no es dificil darse cuenta que ![[tex]\lambda _{1,2} = a \pm b[/tex]](images/latex/b1fd201c896fb1de7334270fd231ffb957feea94_0.png "[tex]\lambda _{1,2} = a \pm b[/tex]")
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a mi me quedo igual, pero b al cuadrdo.. y puse que pueden estar entr 0 y 4, pero no que tienen q ser 0 y 4 exactamente.
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