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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Bueno muchachos, estoy estudiando para análisis, pero tengo muuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuchas dudas, en esta semana me la voy a pasar escribiendo acá en el foro y yendo a clases de consulta  . Me topé con este problema:
Sea F=grad(f), siendo f(x,y,z)=2x+y+z*g(x-y), g es C2 en R. Calcular el flujo de F a través de la superficie definida por: x+y=4 en el primer octante, con 0<=z<=8.
Yo pensé que como F=grad(f), F es irrotacional, pero qué se yo. Gracias de antemano.
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Marian_0090
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 08 Jul 2009
Mensajes: 63
Carrera: Civil
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primero calculamos el gradiente de f(x,y,z):
![[tex]\nabla f(x,y,z) = (2 + z \cdot g'(x - y),1 + z \cdot g'(x - y) \cdot ( - 1),g(x - y))[/tex]](images/latex/b0a36227cd74ae08c35b25297c46cbc939a58af5_0.png "[tex]\nabla f(x,y,z) = (2 + z \cdot g'(x - y),1 + z \cdot g'(x - y) \cdot ( - 1),g(x - y))[/tex]")
g tiene una función compuesta, lo que se hace es regla de cadena.
este será nuestro campo F
El flujo se puede calcular directamente
parametrizo la superficie (llamese S): ![[tex]\varphi (y,z) = (4 - y,y,z)[/tex]](images/latex/7375684fc26cb5e3ccf9bca07efe16f8b9ce5bbb_0.png "[tex]\varphi (y,z) = (4 - y,y,z)[/tex]") con ![[tex]\begin{array}{l} 0 \le y \le 4 \\ 0 \le z \le 8 \\ \end{array}[/tex]](images/latex/5fef227ddfa54816f49599d1425596fa01c8e3df_0.png "[tex]\begin{array}{l} 0 \le y \le 4 \\ 0 \le z \le 8 \\ \end{array}[/tex]")
Calculo la normal: ![[tex]\overline N = {\varphi '_y}(y,z) \times {\varphi '_z}(y,z) = ( - 1,1,0) \times (0,0,1) = (1,1,0)[/tex]](images/latex/52a8d68b9b38ba22f8acb1e6fcece85c645355c1_0.png "[tex]\overline N = {\varphi '_y}(y,z) \times {\varphi '_z}(y,z) = ( - 1,1,0) \times (0,0,1) = (1,1,0)[/tex]")
ahora ya puedo calcular el flujo:
![[tex]\int {\int_S {F \cdot \overline N } } dydz = \int {\int_S {(2 + z \cdot g'(x - y),1 + z \cdot g'(x - y) \cdot ( - 1),g(x - y)) \cdot (1,1,0)} } dydz=\int {\int_S {2 + z \cdot g'(x - y) + 1 - z \cdot g'(x - y)dydz} } = \int {\int_S 3 } dydz[/tex]](images/latex/f5a0a05c28c3b379af6c96aa378dae1b0208d39e_0.png "[tex]\int {\int_S {F \cdot \overline N } } dydz = \int {\int_S {(2 + z \cdot g'(x - y),1 + z \cdot g'(x - y) \cdot ( - 1),g(x - y)) \cdot (1,1,0)} } dydz=\int {\int_S {2 + z \cdot g'(x - y) + 1 - z \cdot g'(x - y)dydz} } = \int {\int_S 3 } dydz[/tex]")
Fijate que queda una integral muy simple y la función g desaparece
Finalmente:
![[tex]3\int\limits_0^4 {dy\int\limits_0^8 {dz = 96} } [/tex]](images/latex/71f5078e0c1698dc8716d07193b816ac795f53cf_0.png "[tex]3\int\limits_0^4 {dy\int\limits_0^8 {dz = 96} } [/tex]")
El flujo de F a travez de S es 96
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Idiota, s. Miembro de una vasta y poderosa tribu cuya influencia en los asuntos humanos ha sido siempre dominante. La actividad del Idiota no se limita a ningún campo especial de pensamiento o acción, sino que “satura y regula el todo”. Siempre tiene la última palabra; su decisión es inapelable. Establece las modas de la opinión y el gusto, dicta las limitaciones del lenguaje y fija las normas de la conducta.
Ambrose Bierce
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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| pero en este caso no tendrias que integrar F(phi(y,z))? yo defini una T talque T(u,v)=(u,4-u,v) 0<=u<=4 , 0<=v<=8., calculo la normal, y me da (-1,-1,0). Cómo se cual de las dos está bien? o al hacer la composicion me queda igual?
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gedefet
Nivel 9
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Carrera: Electrónica
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| lo de la normal es xq si lo hago con la normal que me dio a mi me queda negativo.
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Marian_0090
Nivel 4
Edad: 34
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Mensajes: 63
Carrera: Civil
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| es como decis vos, lo que integro es F(phi(y,z)), pero fijate que queda igual; lo de la normal es a elección, si en el enunciado no te piden una dirección en particular, podes caulcular la integral con cualquiera de las dos normales, el signo, logicamente, va a depender de la dirección elegida, pero en cualquiera de los dos casos esta bien.
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Ambrose Bierce
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gedefet
Nivel 9
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Carrera: Electrónica
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| Pero el flujo no sería unico?
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