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Mensaje |
eltesso10
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 10 Ago 2009
Mensajes: 268
Ubicación: MERCEDES
Carrera: Informática
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yo con sirne lo hizo asi y me dijo que estaba bien..
llamo G(x,y,z)=0 que define implicitamente a z=f(x,y), entonces si calculamos el grad(G) en el punto nos va a dar un vector paralelo a la normal del plano, y aplicando Cauchy-Dini, podemos asegurar que
n=1/G´z(-G´x,-G´y,-G´z) entonces se me cancela la ultima coordenada y me queda -1 y de ahi saque la normal...
yo sinceramente pense que estaba mal explicada pero sirne me dijo que hsta explique demas
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PODRAN IMITARNOS, IGUALARNOS..JAMAS!
Jdor Nº12
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gedefet
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 06 May 2008
Mensajes: 936
Carrera: Electrónica
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Mira, eso de "extender" el gradiente no está del todo bien...primero porque lo estas razonando mal y segundo xq no siempre es verdad. Suponete que, como fue tu caso, tenes una funcion g:R2->R, z=g(x,y). A vos te piden el plano tg al grafico de g en P=(1,1,g(1,1)). Por propiedades del gradiente, vos sabes que el gradiente de g(x0,y0) es perpendicular al conjunto (curva, en este caso) de nivel que pasa por (x0,y0), en (x0,y0) (la demostracion de esto creo que es que como la direccion del gradiente de una funcion en un punto es la direccion de la derivada direccional maxima en ese punto, es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto, en ese punto porque es la direccion en la que menos "tarda" en tocar la siguiente curva de nivel). Al margen de esto, a vos te piden un plano tg al grafico de g. Entonces, suponete que vos definis una funcion "mas grande" phi:R3->R / Phi(x,y,z)=g(x,y)-z, de tal forma que el grafico de g esté incluido en el conjunto de nivel 0 de phi (esto hay que aclararlo). Como el grafico de g pertencece al dominio de phi, y como g es diferenciable, phi es diferenciable, entonces podes calcular el gradiente de phi en P=(1,1,g(1,1)). Por propiedades del gradiente, vos sabés que este vector gradiente de phi en (1,1,g(1,1)), es perpendicular al conjunto de nivel que pasa por ese punto, en ese punto; es decir, es perpendicular al grafico de g en P. Ahora bien, por la forma en que definiste tu funcion phi, fijate que siempre en la componente z te va a dar -1, pero esto es solo por la forma de definirla. Si yo hubiese querido calcularle la normal a una superficie S cualquiera de ecuacion, digamos 4x^4+2x+2yx^8+3z^3=457y^2, me hubiese generado una funcion phi(x,y,z)=4x^4+2x+2yx^8+3z^3-457y^2, de tal forma que la superficie este incluida en el conjunto de nivel 0 de phi. Procediendo de la misma manera, le calcularia el gradiente a phi en P0, y se que va a ser perpendicular a la superficie S en P0 (si P0 pertenece a S, obviamente). Fijate que en este caso en la componente z del gradiente te queda 9z^2, nada que ver con un -1. Igualmente, como te piden el plano tg al grafico de g, directamente podes usar la formulita. Distinto es el caso de la superficie S, que no es grafico de ninguna funcion g:R2->R y te pidan el plano tg, ahi en este caso tenes que usar todo lo anterior, o bien parametrizarla y hacer un producto vectorial entre los vectores tg al punto en cuestion, en general es mas facil definiendo tu funcion phi. Espero que todo esto te haya servido, cualquier cosa escirbi aca o mandame un PM. Saludos.
PD: La diferenciabilidad se define en un punto o en un conjunto, siempre que decis que una funcion es diferenciable tenes que indicar dónde. Acá basta decir que phi es diferenciable en (1,1,g(1,1)) para poder calcular su gradiente y todo eso.
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gira
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 13 Ago 2007
Mensajes: 2166
Carrera: Industrial
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Coincido con gedefet... no siempre se cumple eso de extender.... solo es válido cuando te dan de dato una función en R2 g(x,y) ,y vos decidis que g(x,y) sea la coordenada z, entonces la despejas quedando algo como h(x,y,z) = g(x,y) - z = 0 ,
luego calculas el gradiente de h(x,y,z) y la 3ra coordenada te dara -1.
Ahora si de dato te dan una Q(x,y,z) cualquiera no necesariamente te dara -1 la 3ra coordenada del gradiente. Por ejemplo nose Q(x,y,z) = z^2 ....
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