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matthaus
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Bueno mi duda surgio por lo que me corrijieron en el parcial fue que, dada una funcion en R2 g(xy) me pedian calcular el plano tg al grafico de g en el punto (11,g(11)) que esta en R3.
Uno diria que buscamos el gradiente a g en el pto que va a ser perpendicular a la curva de nivel de g y entonces paralelo a la normal del plano tg.
Que esta mal? como tendria que ser?
Seria que uno busca el gradiente al grafico de g en ves de a g? o busca el gradiente y dp lo "extiende" (con sus justificaciones) a R3?
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santulivelez
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Hay varias maneras de sacar el plano tangente a la superficie.
Si te dan la función g(x,y) podés usar la definición:
g'x(X-Xo)+g'y(Y-Yo)+Zo=Z
O bien podés hacer g(x,y)=z --> g(x,y)-z=0
y definir una función H:R3-->R tal que H(x,y,z)=g(x,y)-z.
Entonces te queda que g(x,y)-z=0 es la superficie de nivel 0 de la función H.
A esa función H ahí sí le calculás el gradiente en el punto que te interesa.
Entonces, como sabés que g(x,y)-z=0 es la superficie de nivel 0 y que el gradiente en un punto es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por ese punto, ese vector gradiente lo podés tomar como normal del plano tangente. (¿Era así esta forma no?)
Sino podés parametrizar la superficie, hacer las derivdadas parciales respecto de cada una de las variables, y hacer el producto vectorial entre los dos vectores que te quedaron para poder sacar un vector normal a la superficie y después lo evaluás en el punto que te interese y ya tenés la normal del plano.
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matthaus
Nivel 9
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Si, "extender" el gradiente se como hacerlo. El problema es la justificacion que habla del grafico de g.
Me pusieron que estaba mal que el gradiente de g en el pto (que es en R2) es paralelo a la normal del plano tg.
Habria que haber puesto que el gradiente AL GRAFICO de g(xy) es paralelo?
Porq me mataron con poner esa introduccion, dp de hecho calcule el plano tg con z=gx+gy etc pero como uso las derivdas parciales (es decir el gradiente) no sabia como mecharlo.
El grafico de una funcion en R2 vive en R3?
Si calculo el gradiente al grafico de R3(es posible?) este si sera perpendicular a la curva de nivel de g?
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santulivelez
Nivel 3
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No podés hablar del gradiente de g como el vector normal al plano tangente, porque el vector normal al plano está en R3 y el gradiente de g es (ag/ax,ag/ay) está en R2.
Si hacés la "extensión" del gradiente, te va a quedar que es perpendicular a la gráfica de la función, pero porque la gráfica esa es la superficie de nivel de la otra función, y por la teoría, el gradiente de esa otra función que te inventaste ahí sí es paralela a la normal del plano tangente.
El tema pasa que el gradiente que usás no es de la función g sino de la otra función que te inventás, que está en R3.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
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Carrera: Industrial
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Si hablase del gradiente al grafico de g seria siendo lo mismo no?
En definitiva para calcular el plano tg al grafico de g, tiene que si o si definir una funcion sup de nivel de g y ahi calcular el gradiente
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santulivelez
Nivel 3
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Perdón, me olvidé de responderte.
El gráfico de esa función es en R3.
La función va de R2 en R.
El gráfico está en R3 porque necesitás 3 dimensiones: la coordenada X, la coordenada Y, y el valor de Z viene dado por g(X,Y). Es por eso que quedan los gráficos en 3D (y feos los míos...)
El gradiente no se lo podés calcular a un gráfico. El gradiente se lo calculás a una función escalar.
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santulivelez
Nivel 3
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No podés hablar del gradiente del gráfico, porque no es nada.
Si lo querés hacer con el gradiente no te queda otra más que crearte esa función de R3-->R tal que g sea su superficie de nivel y ahí sí, el gradiente de esa función que te creaste lo podés usar como normal.
Si te complica mucho usá directamente la formulita para el plano o parametriza la superficie.
La forma de usar el gradiente está buena, pero es la más complicada de justificar bien.
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
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Carrera: Industrial
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Mi problema estuvo en al querer escribir de "mas" escribi algo no del todo correcto como eso, q calculando el gradiente a g R2--R obtenia el plano tg. Pero usando la formula del plano tg Z= y sus derivadas parciales.
Para ver si puedo safar, como podria modificar la idea que puse al principio de que el grad de g (xy) es paralelo a la normal del plano tg? Usando la idea de que se define una funcion antes de R3 en R que incluye a g, o tb usando la formula del plano tg y lo q se calcula es el gradiente para las derivads parciales?
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santulivelez
Nivel 3
Edad: 34
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Y tendrías que definir primero la función de R3 a R y después decir el gradiente de esa función es pararelo a la normal del plano tangente en ese punto. Obvio que si hacés eso tenés que justificar que el gradiente de esa función es paralelo a la normal porque es normal a la superficie de nivel 0 (g(x,y)) y por lo tanto es paralelo a la normal del plano tangente.
Estuve investigando los apuntes y hay una definición de plano tangente con el gradiente de g(x,y) directamente.
El plano tangente al gráfico de g(x,y) en (Xo,Yo.g(Xo,Yo)) se define como:
Z=g(Po)+▼g(Po)*H
Siendo H=(dx,dy)=(X-Xo,Y-Yo)
(la cosita negra significa gradiente, y el * es producto por escalar).
O sea, fijate, cualquiera de esas están bien. Lo que si no las mezclés.
Si desarrollás la última fórmula llegás a que es Z=g'x(X-Xo)+g'y(Y-Yo)+g(Po).
Pero lo de que el gradiente es paralelo a la normal lo podés usar nada más si hacés eso de definir una función de R3 en R y que g sea su superficie de nivel, sino no.
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gira
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 13 Ago 2007
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Carrera: Industrial
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Si tenés una función g(x,y) y te piden hallar el plano tangente en un punto, tenes que imaginarte que g(x,y) puede ser la variable "z", entonces despejando te va a quedar una funcion de x,y,z igualada a algo. Eso que te queda será una figura en 3D, entonces en realidad te piden el plano tangente en el punto (Xo,Yo,Zo) que está en esa función.
El plano es tangente a la figura, entonces el gradiente de la función de x,y,z será paralelo a la normal del plano (claramente)
Entonces tenes la opción de sacar el gradiente y con eso hallar el plano. (No es muy complicado)
Ahora, eso de "extender" el gradiente es una truchada de los resueltos y no recomiendo usarlo nunca en un parcial (además en clase, por lo menos con Prelat, nunca hablan de eso)
Lo que vos hiciste es calcular el gradiente de la función g(x,y). O sea hiciste
![[tex]\overline \nabla g(x,y) = \left( {\frac{{\partial g}}{{\partial x}},\frac{{\partial g}}{{\partial y}}} \right)[/tex]](images/latex/cc22c16495f3eb06e34fdca9a16e75c9377199c8_0.png "[tex]\overline \nabla g(x,y) = \left( {\frac{{\partial g}}{{\partial x}},\frac{{\partial g}}{{\partial y}}} \right)[/tex]")
Esto te da como bien dijeron un vector en R2.
Lo de "extender" no lo entiendo bien, pero creo que le agregaban un -1. Y eso para mi no tiene justificación.
Este vector NO es paralelo a la normal, porque justamente, la normal del plano está en R3!!
En fin, la otra forma, como bien dijeron, es parametrizando:
| Cita:
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Sino podés parametrizar la superficie, hacer las derivdadas parciales respecto de cada una de las variables, y hacer el producto vectorial entre los dos vectores que te quedaron para poder sacar un vector normal a la superficie y después lo evaluás en el punto que te interese y ya tenés la normal del plano.
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Cuanto más complicada parece una situación, más simple es la solución. Eliyahu Goldratt
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santulivelez
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 13 Jun 2008
Mensajes: 58
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Carrera: Informática, Sistemas y
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Tenés razón gira.
Ojo con eso de extender (agregarle el -1).
Me acuerdo que en una de las últimas clases antes del parcial en la teórica de Acero alguien preguntó sobre eso y el tipo le dijo de todo.
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Dx9
Moderador
Edad: 37
Registrado: 03 Ene 2007
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Carrera: Informática
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| santulivelez escribió:
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Ojo con eso de extender (agregarle el -1).
Me acuerdo que en una de las últimas clases antes del parcial en la teórica de Acero alguien preguntó sobre eso y el tipo le dijo de todo.
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Es cierto, no usen siquiera la palabra "extender" , esta mal vista.
El ![[tex]-1[/tex]](images/latex/d9281bed41e359f4b8cb7bb5057eb0cde1d866cc_0.png "[tex]-1[/tex]") sale de igualar ![[tex]f(x,y)=z[/tex]](images/latex/eff94b0fed640b24b710d31ab225ce566c483af3_0.png "[tex]f(x,y)=z[/tex]") y a partir de ella crear una nueva función ![[tex]\phi(x,y) = f(x,y) - z[/tex]](images/latex/dd97e66eb0fc5858f780cee77f2fac70d3639502_0.png "[tex]\phi(x,y) = f(x,y) - z[/tex]") , y por lo tanto ![[tex]\overline \nabla \phi(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, -1 \right)[/tex]](images/latex/1d540b51c6860b216b2c24a2546ca176a5585f09_0.png "[tex]\overline \nabla \phi(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, -1 \right)[/tex]") .
Ojo que hace mil años que hice A2, puedo estar diciendo alguna burrada, pero algo asi es 
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santulivelez
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 13 Jun 2008
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Carrera: Informática, Sistemas y
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| No, no, ta perfecto lo que decís
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Claro, es tal cual dijo Dx9. La ecuación mágica sale de que si vos armas esto
![[tex] f(x,y) - z = 0 [/tex]](images/latex/7f9b229c0607db28ec202431a22d851cb968563c_0.png "[tex] f(x,y) - z = 0 [/tex]") Básicamente estás armandote una superficie de nivel para una función que es de la forma ![[tex] w = f(x,y) - z [/tex]](images/latex/c0432bade4513f15d2adabee2c98eaaa9a064a92_0.png "[tex] w = f(x,y) - z [/tex]") . Se sabe que el gradiente es perpendicular a cualquier curva/superficie de nivel (nunca me lo demostraron ahora que lo pongo a pensar, pero bueno, se da por hecho jaja) entonces ahi tenes un vector normal a tu superficie, nada menos que el gradiente de ![[tex] w [/tex]](images/latex/702e72e9d50b93bc074451d84c17f7c2e923a369_0.png "[tex] w [/tex]") , que es igual a ![[tex] \nabla w (x,y,z) = ( \frac {\delta f} {\delta x} , \frac {\delta f} {\delta y} , -1)[/tex]](images/latex/713dddaa35593cd0b1ed01fa4b443e7db9d13d35_0.png "[tex] \nabla w (x,y,z) = ( \frac {\delta f} {\delta x} , \frac {\delta f} {\delta y} , -1)[/tex]") Entonces lo que acabas de hacer es encontrar un vector perpendicular a tu superficie en ese punto. Ahora te queda usar la ecuación paramétrica de un plano a partir de un vector normal (o algo así se llamaba).
Saludos
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matthaus
Nivel 9
Registrado: 27 Feb 2009
Mensajes: 953
Carrera: Industrial
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Mi problema es ese, mñ tngo q hablar con el q me corrijio que para dar una intro dije q el gradiente de g(xy) en p0 era paralelo a la normal dl plano tg, cuando dp en los calculos formo el plano tg a partir de z=g(p0)+gx(x-x0)+gy(y-y0) osea que lo que sigue esta bien planteado.
Tengo que hacerle entender al corrector que lo q puse como intro fue una confusion pero que los temas estan claros..
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