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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Dada la siguiente integral en coordenadas polares:
![[tex]\int_0^{\frac{\pi}{4}} \!\!\! \int_0^{\frac{4}{cos\theta+sen\theta}}\rho^4cos\theta d\rho d\theta[/tex]](images/latex/1d40352c7945a5d9e72b181f29057ba59e92bf2f_0.png "[tex]\int_0^{\frac{\pi}{4}} \!\!\! \int_0^{\frac{4}{cos\theta+sen\theta}}\rho^4cos\theta d\rho d\theta[/tex]") , expresar la integral en coordenadas cartesianas y calcularla.
Bueno, el recinto ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") no es dificil de expresar en coordenadas cartesianas:
![[tex]A_1: \lbrace (x,y) \in{\Re^2} \backslash 0 \leq x \leq \frac12 ; 0 \leq y \leq x \rbrace[/tex]](images/latex/16e2be618bc7db0f63d574fb7026334fedaf8ece_0.png "[tex]A_1: \lbrace (x,y) \in{\Re^2} \backslash 0 \leq x \leq \frac12 ; 0 \leq y \leq x \rbrace[/tex]") ;![[tex]A_2: \lbrace (x,y) \in{\Re^2} \backslash \frac12 \leq x \leq 4 ; 0 \leq y \leq 4-x \rbrace[/tex]](images/latex/d3a9cba96553c1aea319f3c958e1ef5de226546a_0.png "[tex]A_2: \lbrace (x,y) \in{\Re^2} \backslash \frac12 \leq x \leq 4 ; 0 \leq y \leq 4-x \rbrace[/tex]") ;![[tex]A=\lbrace A_1 \rbrace U\lbrace A_2 \rbrace[/tex]](images/latex/4b88e7fa6dc6752130fb005ee5d5bc138e706a2f_0.png "[tex]A=\lbrace A_1 \rbrace U\lbrace A_2 \rbrace[/tex]")
Que es un triangulo en el primer cuadrante del plano.
Ahora el tema es el siguiente, ¿como expreso la integral? ¿cual seria la expresión de la transformación polares --> cartesianas? ¿y el jacobiano??
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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mira....sabes q el jacobiano de polares es p, entonces de lo q esta dentro del integral te queda p^3*cos o* p(jacobiano)
p^2 es x^2+y^2
y p* cos o es x
entonces la funcion a integrar es (x^2+y^2)*x si no me equivoco...
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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BL
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 24 Oct 2007
Mensajes: 126
Carrera: No especificada
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A mí el recinto A me da distinto:
De la integral original, se da que ![[tex]0 \le r \le 4/(\cos \theta + sen\theta )[/tex]](images/latex/8247f7d121392be779ce6501c1cd42dc5687fc8c_0.png "[tex]0 \le r \le 4/(\cos \theta + sen\theta )[/tex]") , y que ![[tex]0 \le \theta \le \pi /4[/tex]](images/latex/04de9babc865e77ab6938b651bb8e465815f1466_0.png "[tex]0 \le \theta \le \pi /4[/tex]") . Como ![[tex]r = \sqrt {x^2 + y^2 } [/tex]](images/latex/42e46bc09f50be505ed86e8bf6256d0c8dc13346_0.png "[tex]r = \sqrt {x^2 + y^2 } [/tex]") , y ![[tex]\theta = arctg(y/x)[/tex]](images/latex/d8e8a0133ef8596ddf61fe0e61d84cf81c723448_0.png "[tex]\theta = arctg(y/x)[/tex]") (teniendo en cuenta que se está en el primer cuadrante, x>0, y>=0), entonces:
1) ![[tex]\begin{array}{l} 0 \le \sqrt {x^2 + y^2 } \le \frac{{4\sqrt {x^2 + y^2 } }}{{x + y}} \\ 0 \le 1 \le \frac{4}{{x + y}} \\ 0 \le x + y \le 4 \\ 0 \le y \le 4 - x \\ \end{array}[/tex]](images/latex/735a8e5698eea774c8deabfc2bb77b8733cf3ce4_0.png "[tex]\begin{array}{l} 0 \le \sqrt {x^2 + y^2 } \le \frac{{4\sqrt {x^2 + y^2 } }}{{x + y}} \\ 0 \le 1 \le \frac{4}{{x + y}} \\ 0 \le x + y \le 4 \\ 0 \le y \le 4 - x \\ \end{array}[/tex]")
De ahí la primera condición ![[tex]0 \le y \le 4 - x[/tex]](images/latex/95cefce3053813256d1099f56ffd4ea858604fc3_0.png "[tex]0 \le y \le 4 - x[/tex]") .
2) ![[tex]\begin{array}{l} 0 \le arctg(y/x) \le \pi /4 \\ 0 \le y/x \le 1 \\ 0 \le y \le x \\ \end{array}[/tex]](images/latex/2f72a1bbe213484a00d3865279e0123b2192af92_0.png "[tex]\begin{array}{l} 0 \le arctg(y/x) \le \pi /4 \\ 0 \le y/x \le 1 \\ 0 \le y \le x \\ \end{array}[/tex]")
De ahí la segunda condición ![[tex]0 \le y \le x[/tex]](images/latex/cff6c76d3d51092cd049e8698b3c7506ea88a5b3_0.png "[tex]0 \le y \le x[/tex]") .
Si grafico esa zona me queda:
Y de lo que se ve puedo formar a A como:
![[tex]A_1 = \left\{ {(x,y) \in ^2 /0 \le x \le 2,0 \le y \le x} \right\},A_2 = \left\{ {(x,y) \in ^2 /2 \le x \le 4,0 \le y \le 4 - x} \right\}[/tex]](images/latex/697ba71a91845ca9fb833f6300e0a211d4d9df3d_0.png "[tex]A_1 = \left\{ {(x,y) \in ^2 /0 \le x \le 2,0 \le y \le x} \right\},A_2 = \left\{ {(x,y) \in ^2 /2 \le x \le 4,0 \le y \le 4 - x} \right\}[/tex]") , ![[tex]A = A_1 \cup A_2 [/tex]](images/latex/7ff2a44e6cdf2a874e911bd7960af2b06c53712b_0.png "[tex]A = A_1 \cup A_2 [/tex]") .
Después el integrando me queda como dijeron antes.
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nicotara
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 14 May 2009
Mensajes: 34
Carrera: Industrial
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| Estoy de acuerdo con BL, ese razonamiento es correcto. Te agrego que integrando tanto la de coordenadas polares como x(x²+y²) con los límites propuestos arriba el resultado es 160/3
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| Y pero si estoy usando la inversa de la transformación, no tengo que usar tambien la inversa del jacobiano? El jacobiano [tex]\rho[/tex) no se usa de cartesianas a polares? aca quiero al revés
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s4nti4go
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 04 Oct 2007
Mensajes: 94
Carrera: Química
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| Si, en realidad estas usando la transformacion inversa. Como lo dijo cristian_joaquin esta bien, y es mucho mejor que definir la transformacion inversa y sacar su jacobiano. Estas trabajando con trigonometricas inversas, y como tiene que ser biyectiva, te van a quedar muchos agujeros para remendar. Ni hablar de un rho distinto de 0, lo que llevaria a planteos muy engorrosos.
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pepitoo
Nivel 5
Edad: 73
Registrado: 31 Oct 2008
Mensajes: 163
Ubicación: a raiz(25) Km de Paseo Colon
Carrera: Alimentos
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nO se de donde salio que r debe estar entre (4 (x^2 + y^2)^1/2)/(x+y) si me fijo en los limites de integracion rho va entre 0 y 4/(cos@ + sen@), o sea entre 0 y 4/(x+y), de donde salio ese raiz cuadrada de (x^2 + y^2) q multiplica a 4/(x+y).
Use @ en vez de theeta.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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No pepitooo ![[tex]cos(\theta)+sen(\theta)[/tex]](images/latex/ed877a8e87aa87e18315139c30e10aa09967db4b_0.png "[tex]cos(\theta)+sen(\theta)[/tex]") no es igual a ![[tex]x+y[/tex]](images/latex/9c75656668feb44205a0dc4d45c0caec764bc78f_0.png "[tex]x+y[/tex]") . El razonamiento de BL es correcto pero puede ser más simple. En el primer paso ya se puede multiplicar todo por , ya que ambos son positivos, y escribir
![[tex]0\le rcos(\theta)+rsen(\theta)\le 4[/tex]](images/latex/6d917a7419b35c1325fdfdf48d2ab51bbfd698b0_0.png "[tex]0\le rcos(\theta)+rsen(\theta)\le 4[/tex]")
Tampoco es necesario usar la definición con tanta cuenta complicada ya que si
![[tex]0\le \theta\le \frac{\pi}{4}[/tex]](images/latex/1ccf040b614797fb3fd0bd92fcca51db8421ee74_0.png "[tex]0\le \theta\le \frac{\pi}{4}[/tex]")
entonces
![[tex]0\le sen(\theta)\le cos(\theta)[/tex]](images/latex/e36cee06127f07f24916ef38d8214e26e4bcefba_0.png "[tex]0\le sen(\theta)\le cos(\theta)[/tex]")
lo que implica
![[tex]0\le y\le x[/tex]](images/latex/5f8d148a3a01956ed5a2f29899cb916d45965621_0.png "[tex]0\le y\le x[/tex]")
Y al recinto, listo para meterlo en la integral, lo podría describir así:
\in{\Re^2}:0\le y\le 2; [/tex]](images/latex/dade328dc2f8fa4a5ac9d62ce5017d6b8d35d730_0.png "[tex](x,y)\in{\Re^2}:0\le y\le 2; [/tex]") ![[tex]y\le x\le 4-y[/tex]](images/latex/2808e88f59b2d5f129a5940d0106e841ff5f3bfb_0.png "[tex]y\le x\le 4-y[/tex]")
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Sí, osea yo habia hecho eso, pero me quedó ese 1/2 mal puesto ahi, tipico error pelotudo... Uno siempre se equivoca donde menos lo espera 
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