| Autor |
Mensaje |
Elmo Lesto
Nivel 8
Edad: 33
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
|
|
Creo que la que dijo Spike es la definición de que un conjunto sea convexo, la nombraron en la primera clase de Análisis II pero nunca más la utilizamos. Por eso puede ser que la tenga en mente.
Lo de Sabian, óptimo.
|
|
|
|
_________________
![[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]](images/latex/227de1ab21cbbce128227d57c9bf8e569c47dad2_0.png "[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]")
|
|
   |
      |
|
Spike Spiegel
Nivel 9
Edad: 36
Registrado: 10 Ago 2007
Mensajes: 1507
Carrera: Informática
|
|
| Sí, efectivamente es la definición de convexo
|
|
|
|
_________________
![[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]](images/latex/8abc5691357a123d82fd07cae688fd7767bf6633_0.png "[tex]\mbox{Detrás de todo 'tengo hambre' hay un gran 'comete esta'}[/tex]")
|
|
  |
   |
|
Yankey
Nivel 5
Edad: 33
Registrado: 02 Abr 2010
Mensajes: 181
Carrera: Electricista
|
|
Hago un aporte para que le sirva a alguno con las dudas del tema de los conjuntos y lo de los campos conservativos en "regiones no simplemente conexas" (??) :
Antes de comenzar hacemos un re-contra breve resumen de las formas diferenciales. Aunque para interpretaciones físicas conviene considerar las integrales curvilíneas en términos de campos vectorial, sin embargo, desde el punto de vista de esto que escribo tienen ventaja las integrales curvilíneas expresadas en términos de formas diferenciales. Es la que nos conviene emplear para hablar de estas cosas de conjuntos y demás:
-------------------
A un campo de vectores F : Ω → R^n se le asocia la forma diferencial ω cuyas funciones coordenadas respecto a la base canónica de L(R^n,R) son las componentes del campo F.
Por ejemplo el campo vectorial asociado a la forma diferencial df es el gradiente, ∇f : Ω → R^n.
Por ejemplo, una forma diferencial sería
ω(x)= sen(x + z) dx + z(x^2)(y^3) dy + sen x dz.
El campo vectorial asociado a esta forma diferencial sería:
F: R^3-->R^3: F(x,y,z)=(sen(x+z), z(x^2)(y^3), sen x)
Del mismo modo, si ω=P(x,y)dx+Q(xy)dy y F es el campo vectorial asociado a la forma diferencial ω, entonces es equivalente:
∫ ω = P(x,y)dx+Q(xy)dy = ∫ Fx dx + Fy dy = ∫ F(x,y) . dl
En este caso dl=(dx,dy)
que es la notación que conocemos.
Si ω es una forma diferencial en un abierto Ω ⊂ R^n
y existe una función diferenciable f : Ω → R, tal que ω = df se dice que la forma diferencial ω es exacta y que f es una primitiva de ω. Si para cada a ∈ Ω existe una bola abierta B(a, r) ⊂ Ω tal que ω|B(a,r) es exacta se dice que ω es una forma diferencial cerrada
¿Cuando podemos hablar de formas diferenciales exactas?
Si ω es una forma diferencial continua, de grado 1, definida en un abierto Ω ⊂ R^n son equivalentes
a) ω es exacta.
b)∫c ω = 0 para cada camino cerrado y regular a trozos c en Ω.
-------------------
Ahora vamos a lo que nos interesa. La relación entre el teorema de Green los campos conservativos es la siguiente:
Como sabemos y solo para hacer más claras las cosas, las hipótesis para la validez del Teorema de Green son las naturales para que tengan sentido las integrales que figuran en ella: Por una parte M ⊂ R^2 es un compacto medible Jordan cuya frontera ∂M es una curva cerrada simple, regular a trozos. En la integral curvilínea de la derecha se supone que la frontera ∂M está orientada positivamente (es decir, en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj). Por otra parte, para asegurar la existencia de las integrales involucradas, se supone que P y Q son funciones continuas en un abierto Ω ⊃ M donde existen y son continuas las derivadas parciales D1Q, D2P.
Ahora en particular sea ω(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy una forma diferencial definida y continua en un abierto Ω ⊂ R^2 tal que en todo punto (x, y) ∈ Ω las derivadas parciales D2P(x, y), D1Q(x, y) existen y son continuas. Entonces son equivalentes:
a) D2P(x, y) = D1Q(x, y) para todo (x, y) ∈ Ω.
b)∫∂R ω = 0 para cada rectángulo R ⊂ Ω.
c) ω es cerrada.
Si Ω es simplemente conexo, también es equivalente
d) ω es exacta
En consecuencia y diremos que el campo vectorial F al cual está asociada la forma diferencial exacta ω es un campo conservativo o de gradiente. (Recordemos F = ∇f).
Observemos que la deducción es la misma para conjuntos abiertos simplemente conexos, y para convexos Ω:
Acerca de conjuntos abiertos conexos (terminología formal)
Las siguientes propiedades de un abierto conexo Ω ⊂ R^2
son equivalentes:
a) Ω es homeomorfo al disco D(0, 1). (Es decir existe una aplicación o una función que lleva de Ω a D(0,1) y existe su inversa -concepto análogo al isomorfismo pero para espacios topológicos, es decir uno es válido para el planeta tierra, este es válido para el universo)
b) Ω es simplemente conexo. (cada camino cerrado γ en Ω es Ω-homotópico a un camino constante -lo que habla sabian al referirse de como se deforma-)
c) Toda pareja de caminos en Ω con los mismos extremos, son Ω-homotópicos como caminos con extremos fijos.
d) Para toda curva cerrada simple (curva de Jordan) C en Ω la región interior a C está contenida en Ω.
Si la forma diferencial ω asociada a un campo de vectores F es exacta y ω = df entonces el campo es un gradiente, F = ∇f, y se dice que f es una función potencial del campo F.
Ahora sea ω = P(x, y)dx+Q(x, y)dy una forma diferencial continua en
un abierto simplemente conexo Ω ⊂ R^2, se verifica:
a)∫c ω = 0 para cada camino cerrado y regular a trozos c en Ω (una forma diferencial exacta)
b)∫co ω =∫c1 ω para cada par de caminos c0, c1 en Ω regulares a trozos y con los mismos extremos.
Cuando P,Q son de clase C1 (Ω) también es equivalente
c) D2P(x, y) = D1Q(x, y) para todo (x, y) ∈ Ω
Se dice que un campo es conservativo si su integral curvilínea no depende
del camino, es decir el trabajo que realizan a lo largo de un camino solo depende de los extremos del camino.
Acerca de conjuntos estrellados (todo conjunto convexo es estrellado):
Un abierto Ω de R^n se dice que es estrellado si hay un punto
a ∈ Ω tal que para cada x ∈ Ω el segmento [a, x] está contenido en Ω.
En particular:
Si ω(x) = Σ Fj(x)dxj es una forma diferencial de clase C1
definida en un abierto estrellado Ω ⊂ R^n, son equivalentes:
i) ω es exacta.
ii) DiFj(x) = DjFi(x) para cada i, j ∈ {1, 2,... n} y cada x ∈ Ω.
OBS: Cabe destacar, todo conjunto estrellado - o un conjunto convexo- es simplemente conexo, por lo que esto es solo un caso particular de un ASC y no nos modifica nada.
Es requisito que el campo vectorial esté definido en un ASC para decir que sea conservativo por estos tres medios que ustedes mencionan:
-Independencia de caminos.
-Rotacional nulo.
-Existencia de función potencial.
En realidad si nos salimos de regiones ASC y queremos hablar de campos conservativos justificándolo por estos medios, creo que estamos complicados. 
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
loonatic
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 16 May 2009
Mensajes: 1256
Carrera: Sistemas
|
|
| Yankey escribió:
|
Hago un aporte para que le sirva a alguno con las dudas del tema de los conjuntos y lo de los campos conservativos en "regiones no simplemente conexas" (??) :
|
Che no quiero ofenderte pero eso que pusiste habla sobre cosas que no se ven en Analisis II, eso de formas y no se qué... no aclares porque oscurece 
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
|
|
Che no se de que libro lo sacaste (si no armaste vos realmente te felicito), pero tiene una formalidad que excede demasiado a cualquier carrera de exactas que no sea matemática te diría (a mi parecer).
Hace muy complicado lo que, hasta análisis 2, es muy simple. Parece algo más bien orientado a alguna materia de Topología.
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
|
|
Ir a página Anterior 1, 2
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
