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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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A ver si me ayudan un poco con el tema de extremos ligados que lo tengo perdido por ahí muy lejos en mi memoria, este es un ejercicion de coloquio tomado el 10/02/2009
Hallar los extremos de la función
![[tex] f(x,y,z)= x^2 + y^2 + z^2 [/tex]](images/latex/5a3933e0525449239c13bb51ad2f3e4568fdd18e_0.png "[tex] f(x,y,z)= x^2 + y^2 + z^2 [/tex]")
Restringida a la curva C: ![[tex] \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}5=1[/tex]](images/latex/af226b631a71ff5e665d10c5e742c81f98860c2f_0.png "[tex] \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}5=1[/tex]") ; ![[tex]x+2z = 3[/tex]](images/latex/df5ee40e70363f16cdc73698b7339d9989602bcf_0.png "[tex]x+2z = 3[/tex]")
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
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Carrera: Química
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Primero hago el siguiente despeje:
![[tex]y^2=1-\frac{5(x-1)^2}{4};z=\frac{3}{2}-\frac{x}{2}[/tex]](images/latex/cd453c8d43e841cdd07803e8cbbb95cf596e3c35_0.png "[tex]y^2=1-\frac{5(x-1)^2}{4};z=\frac{3}{2}-\frac{x}{2}[/tex]")
Para lo cual debe pedirse que
![[tex]1-\frac{5(x-1)^2}{4}[/tex]](images/latex/cd301834cbfd9f044bc00fac5d9e880aaad2d9f6_0.png "[tex]1-\frac{5(x-1)^2}{4}[/tex]")
sea mayor que cero.
Remplazando todo esto en ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") te queda una función de una variable y buscás los extremos relativos y absolutos en el dominio que te queda restringido por la relación anterior
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Esta bien lo que decis, es razonable, pero me interesaria saber como es aplicando el metodo del multiplicador de Lagrange. A qué cosa yo le tengo que multiplicar el ![[tex]\lambda[/tex]](images/latex/33cc3f1888c40df430b5eed36b9135bf1507eb13_0.png "[tex]\lambda[/tex]") y sumarselo a la .
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No entiendo como definis la curva, la estás definiendo como la intersección de esas dos superficies???
Si es así lo podés pensar como que son extremos con dos restricciones y aplicas lagrange normalmente gradiente f = lamda1 * restriccion 1 + lamda2 * restriccion 2 (es la forma general del TML, la suma de N restricciones)
Si no estás definiendo la curva de esta forma no me hagas caso jajaja.
Saludos
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
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Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| En el examen esas dos ecuaciones figuraban en una llave, pero no supe como ponerla en latex asi que puse punto y coma
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
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Carrera: Química
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| Si lo querés hacer así planteá lo que escribió sabian. Te quedará un hermoso sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas para resolver. Un verdadero absurdo
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
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Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| Sí bueno es raro, este tema lo dieron en una sola práctica y nos explicaron el método de Lagrange y nada más. De hecho quedo colgado del parcial y es poco probable que lo tomen, pero bue. Gracias igual
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pankreas
Nivel 9
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Carrera: Industrial
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Si ![[tex] y^2=5-\frac{5(x-1)^2}{4}; z=\frac32-\frac{x}{2} [/tex]](images/latex/97f95c3cb360fe187c244fdfd4ef5ec3f48408c6_0.png "[tex] y^2=5-\frac{5(x-1)^2}{4}; z=\frac32-\frac{x}{2} [/tex]")
![[tex]\Rightarrow f(x)=x^2+5-\frac54(x-1)^2+(\frac32-\frac{x}{2})^2=x+6\Rightarrow f'(x)=1[/tex]](images/latex/e043f4e66134fcbddf5def4e28f948938c52eb96_0.png "[tex]\Rightarrow f(x)=x^2+5-\frac54(x-1)^2+(\frac32-\frac{x}{2})^2=x+6\Rightarrow f'(x)=1[/tex]")
Saywhaaat?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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que pusiste ahí? El sistema te queda dado por
![[tex] (2x , 2y , 2z) = \lambda_1 \cdot ( \frac {x-1}{2} ,\frac {2y}{5} , 0 ) + \lambda_2 \cdot (1 , 0 , 2) [/tex]](images/latex/90abaf6e81ed1a3672445c819d82c79a9539c98f_0.png "[tex] (2x , 2y , 2z) = \lambda_1 \cdot ( \frac {x-1}{2} ,\frac {2y}{5} , 0 ) + \lambda_2 \cdot (1 , 0 , 2) [/tex]")
![[tex]\frac{(x-1)^2}{4} + \frac {y^2}{5} - 1 = 0[/tex]](images/latex/715e8fa46dfdb24301b977867621fa50a0407e84_0.png "[tex]\frac{(x-1)^2}{4} + \frac {y^2}{5} - 1 = 0[/tex]")
![[tex]x+2z - 3 = 0[/tex]](images/latex/373d5427096d9c5b8a7963c38737b482187fb861_0.png "[tex]x+2z - 3 = 0[/tex]")
Ahora como resolver ese sistema???? Arreglatelas jajajajajaja, tenes que sacar ![[tex] x , y , z , \lambda_1 , \lambda_2[/tex]](images/latex/32385376d1fddea51e605ed4b62dbf185111a711_0.png "[tex] x , y , z , \lambda_1 , \lambda_2[/tex]") un laburito jaja. Es el gran problema de Lagrange, las ecuaciones 
Saludos
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
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Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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| Gracias, pero ni bien encuentre los puntos críticos de cinco variables, qué hago? Calculo el determinante Hessiano de la misma funcion de cinco variables? No es una locura??? No pueden haber dado algo para resolverlo así los cerdos estos jajaja
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
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Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Buen punto jaja. Los puntos críticos no son de 5 variables, son de 3. La Hessiana orlada, efectivamente, te queda de 5x5, si bien hasta la submatriz de 2x2 es nula, sacar por definición el de 4x4 y 5x5 no es moco de pavo, y los autovalores vas a estar en la misma.
Lo que sí te puedo decir que el primero tiene forma de "cilindro elíptico" (apesto en geometría), porque si te fijas, es una elipse de semiejes 2 y ![[tex]\sqrt{5}[/tex]](images/latex/48964262b26b5bb9064cc073f57c8ab8f39113a4_0.png "[tex]\sqrt{5}[/tex]") , la proyectas por todo z y te queda el cilindro. La intersección de eso con el plano, va a ser una figura cerrada, obviamente. Entonces por el teorema de Chingolo (no me acuerdo el nombre), decís que como la región es acotada y la función contínua, alcanza su máximo y su minimo. Evalúas y te quedas con los valores más grandes y los más chicos. Creo que por ahi puede salir algo, ahora me voy apurado, pero cualquier cosa mañana lo seguimos viendo. Un abrazo.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| Está bien lo de pankreas. Los extremos en ese caso los alcanza en los bordes del intervalo.
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ale_vans
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 304
Ubicación: Vte. Lopez
Carrera: No especificada
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uno asi me tomaron en el final de febrero de este año...
me quedo un super sistema y empece a tirar flechas por todos lados...
llegue a encontrar 2 puntos nomas...me pusieron un regular..pero por suerte aprobe igual
Saludos
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Jorge Pérez
Nivel 6
Registrado: 02 May 2006
Mensajes: 210
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| pankreas escribió:
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Si
Saywhaaat?
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Suponiendo que está todo bien, tenés que tener en cuenta que el dominio de f(x) es [-1,3], con lo cual el máximo está en x=3 y el mínimo en x=-1, pues f es creciente. Si lo mirás geométricamente, la curva es la intersección de un cilindro elíptico con un plano (se puede hacer un dibujo aproximado, lo cual da una curva cerrada, y lo que se está buscando es maximizar o minimizar la distancia al cuadrado de los puntos de la curva al origen.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Gente, lo resolví de otra manera sin usar Lagrange y más o menos está de acuerdo a lo que comentaron, fijense si es coherente:
La curva C describe una elipse 'apoyada' en el plano de ecuación ![[tex]x+2z=3[/tex]](images/latex/6636a3978590423ba3ea90849710d0c33ab1a84b_0.png "[tex]x+2z=3[/tex]") , y la función escalar devuelve como valores el cuadrado de la norma de los vectores posición de los puntos de C.
Una parametrización regular de C es ![[tex]C: \gamma(t)=(2cos(t)+1, \sqrt{5}sen(t), \frac32-cos(t))[/tex]](images/latex/644e94ef4cc10781db9db495f76bc841ebd1cacc_0.png "[tex]C: \gamma(t)=(2cos(t)+1, \sqrt{5}sen(t), \frac32-cos(t))[/tex]") , con ![[tex] t [/tex]](images/latex/747224dfa68d703d2b821ba409c3eac8c47d45f1_0.png "[tex] t [/tex]") en![[tex] (0,2\pi][/tex]](images/latex/26ad48c9f372274ceef693c4891b76e81a30284a_0.png "[tex] (0,2\pi][/tex]")
De manera que se puede armar la composición ![[tex]f(\gamma(t))[/tex]](images/latex/da5a0fc9110c2d69a7f6fc219a49134f474c0cdf_0.png "[tex]f(\gamma(t))[/tex]") que da como resultado la función ![[tex]f(t)=cos(t)+\frac{33}4 ; f'(t)=-sen(t)[/tex]](images/latex/1cc11401ec6266e85b3a088b0c2e814f109cf979_0.png "[tex]f(t)=cos(t)+\frac{33}4 ; f'(t)=-sen(t)[/tex]") que se anula en ![[tex]t=\pi ; t=2\pi[/tex]](images/latex/00d91e15144a9834912de2492a015efba4d38e66_0.png "[tex]t=\pi ; t=2\pi[/tex]") dentro del dominio de la parametrización.
Resulta:
![[tex] \gamma(\pi)=(-1,0,\frac52) \Rightarrow f(-1,0,\frac52) = \frac{29}{4} ; [/tex]](images/latex/7b47cf9cbe2276578b9499929959d37d5b3a5f24_0.png "[tex] \gamma(\pi)=(-1,0,\frac52) \Rightarrow f(-1,0,\frac52) = \frac{29}{4} ; [/tex]")
![[tex] \gamma(2\pi)=(3,0,\frac12) \Rightarrow f(3,0,\frac12) = \frac{33}{4}[/tex]](images/latex/84203ea5ee81066eaa9aecb8e7d38c2b754a1581_0.png "[tex] \gamma(2\pi)=(3,0,\frac12) \Rightarrow f(3,0,\frac12) = \frac{33}{4}[/tex]")
![[tex] \Rightarrow (-1,0,\frac52) [/tex]](images/latex/47fcd0ed5ca4850359d2e936376184c12c21d003_0.png "[tex] \Rightarrow (-1,0,\frac52) [/tex]") mínimo local de ; [/tex]](images/latex/4145bbb7bcd4e108d624710e9f707f43e685f8b6_0.png "[tex](3,0,\frac12)[/tex]") máximo local de
¿Estará bien? ¿Alguna sugerencia para enfatizar más el resultado?
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