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Javier Alvarez Litke
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 04 Mar 2009
Mensajes: 82
Carrera: Mecánica
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tengo un par de dudas que son tontas pero no encuentro por el foro ningun post que tenga las respuestas que busco jaja
la primera es
yo hasta ahora venia poniendo, por ejemplo
la funcion o el campo es diferenciable porque esta formado por una sumatoria de funciones diferenciables
pero se ve que eso no basta jaja que es lo que tengo que poner para que sean felices? hay que hacerlo por definicion?
la otra es
el gradiente de f multiplicado por un versor va a dar la derivada direccional
pero como justifico esto?
tampoco se como justificar que el gradiente dividido su norma es la dirección de máximo crecimiento y que la norma del gradiente por si solo es la pendiente que suelen pedir
osea entiendo lo que son, pero en los parciales siempre me ponen: ¿por qué?
si ya esta explicado en otra parte del foro perdón, no lo pude encontrar jaja
gracias!
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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1) F es diferenciable si tiene derivadas parciales continuas, osea f es C1.
2) Calcular la derivada direccional como "gradiente por versor" es válido siempre que el campo escalar sea diferenciable. De lo contrario tenés que usar la definicion, así que siempre que calcules una derivada direccional parti de demostrar que el campo es diferenciable y te quedás tranquilo.
Por definición el vector gradiente es la dirección de dominio de máximo crecimiento de un campo escalar. Asi que si haces una derivada direccional, el versor de derivada direccional máxima es el mismo gradiente pero unitario. El valor de dicha derivada sería entonces la norma del gradiente.
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ñsdlgkfjdñflgjañdlfga
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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pankreas, estás en un error:
Por empezar, para que F sea ![[tex]C^1[/tex]](images/latex/26878ab3c0c3d82629c5e1eac9e044b7f8c9292a_0.png "[tex]C^1[/tex]") no solo se le pide continuidad de derivadas parciales sino también continuidad a la función en el punto.
Segundo, ser es condición suficiente pero no necesaria. Hay funciones que no lo son y igualmente son diferenciables.
Para decir que la función es diferenciable, podés decir que es porque es suma de funciones diferenciables, pues las funciones diferenciables forman un espacio vectorial. Analogamente con cociente (aunque tenes que ver por separado cuando el denominador se anula) y con composición.
Separa los puntos que traen problemas de intervalo y el resto los justificas de esa forma, no te pueden retrucar nada.
Lo del gradiente por el versor, no se cumple siempre, eso es si y solo si la función es diferenciable.
La dirección no tiene porque ser unitaria. El gradiente es la dirección de máximo crecimiento de por sí. Lo dividís por la norma para mostrar la dirección unitaria, pero por lo general no lo piden, al menos en mi curso de analisis II. La justificación honestamente nunca la ví, es bastante intuitivo (en R^3) que se cumple, pero no recuerdo haber visto alguna demostración.
Saludos
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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| Que el gradiente es la direccion del maximo crecimiento para mi no lo tenes q justificar, lo q si tenes q justificar q el valor d la maxima derivada es el modulo del gradiente...Para eso usas la formula de Grad*n= donde n es el gradiente normalizado...cuando haces el producto te queda el modulo del gradiente como resultado
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MLI + YO
1ra Ley Fundamental de la Fiuba: "In regno caeci, tortus est rex"
Comisión de Estudiantes de Ingeniería civil
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sfunahuel
Nivel 8
Edad: 34
Registrado: 30 Ago 2008
Mensajes: 652
Ubicación: Temperley
Carrera: Química
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2) En verdad se puede demostrar de forma gráfica. Al dibujar el gradiente y el vector (ambos en un mismo punto) podés más o menos ver cómo funciona. Fijate si tus profesores no te lo explicaron! Voy a ver de explicarlo sin un dibujo... Tenés el Gradiente de f evaluado en un punto Po de la curva de nivel K de f. En ese mismo punto tenés el vector de v evaluado en Po. Ahora bien, la derivada direccional sabemos por definición que es Gradiente de F en Po multiplicado por el versor V, gráficamente eso se traduce como la proyección del gradiente sobre V. Entonces imaginate cuándo va a ser mayor ese valor?! Mientras más cerca estén el gradiente de f evaluado en Po y el versor V, ¿no? Entonces si están en paralelo, la cuenta será máxima, es decir, será esa la dirección máxima. Análogamente podés ver cuál es la mínima (Gradiente y versor apuntando en senntidos contrarios pero sobre la misma "linea") y las derivadas nulas (en 2D son dos, ambas perpendiculares al gardiente de f en Po, y por ende, coinciden con la dirección de la recta tangente en dicho punto).
Espero que se haya entendido bien... Cualquier cosa preguntá, y veo de dibujarlo y subirlo, dale?
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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sfunahuel, estás en un error, por definición, la derivada direccional no es el gradiente en el punto multiplicado por el versor de la direccion. La derivada direccional el cociente incremental de la siguiente forma (disculpen la desprolijidad pero escribirlo en latex me llevaría mucho tiempo porque no lo domino mucho todavía)
lim f ( (x , y) + h . v) - f (x , y)
--------------------------------
h-->0 h
Donde h obviamente es un incremento infinitesimal, v es un versor que represente la dirección y lo que hay entre ellos es producto por un escalar. Observar que en particular si v es cualquiera de los vectores canónicos estamos en la definición de derivada parcial, así que no deja de ser una generalización del concepto de derivada.
Saludos
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| bue, cuando postie me junto todo, el limite es cuando h tiende a 0 y el otro h es denominador de la resta de las funciones.
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Javier Alvarez Litke
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 04 Mar 2009
Mensajes: 82
Carrera: Mecánica
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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No entendí una goma ni la pregunta y mucho menos las respuestas que postearon. Pero igual, si me permiten, haré un aporte a la confusión.
¿la pregunta sobre qué es? ¿sobre diferenciabilidad? ¿sobre derivadas direccionales? ¿sobre suma de funciones diferenciables? ¿sobre funciones C-1? ¿sobre cómo hacer feliz al que corrige?
Una función f es diferenciable cuando admite un plano tangente.
Es decir, cuando la hormiguita que tiene su hormiguerito en el punto Po piensa que vive en un plano.
El plano tangente.
Por eso la hormiguita, cuando fué a medir su terrenito, hizo lado por lado. A pesar de que, en realidad está doblado, a la hormiguita el terrenito le parece plano.
Y eso, es porque la superficie es chuavechita (diferenciable).
Y esa superficie, como podrían imaginarse en el caso que fueran hormiguitas, admite tangentes en todas las direcciones en Po. Porque el plano es como infinitas rectas de esas puestas así, como rayitos que salen de Po. Y forman el plano donde la hormiguita cree que vive.
Y, en ese caso, vale la cuenta "gradiente escalar versor".
Y la definición no es ese límite sabio sabian.
Es la derivada de G en To. Siendo G = FoC y C es una función lineal de valores vectoriales que va de R a R-2. La ecuación de la recta.
¿Y que pasa si es C-1?
Mejor. Es como cuando tiene buenas tetas y un orto que es un poema. Una escultura del gran Miguel Angel. Pero, sobre todo, también es copada, no escucha a Arjona, y tiene onda conmigo. ¿Es algo así posible? sólo en las matemáticas, lamentablemente.
Si es C-1 entonces es diferenciable. Y listo. Gradiente por versor y pasemos al otro problema. ¿Para qué complicarse con la oscura disertación necesaria-suficiente?
Si P entonces Q.
P.
Luego Q.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Dos cosas:
Diferenciable no quiere decir que admita plano tangente, puesto que puede admitir plano tangente y que este no sea necesariamente una función en ese espacio-subespacio, como ya te lo explico Don Equis en el tema sobre Desarrollo de Taylor = Plano tangente que crearon hace unas semanas. Mas que nada es diferenciable si admite una buena aproximación lineal en el punto (siendo este concepto un tanto vago, pero se entiende). Por eso el limite que incluye a las derivadas y a la norma.
Segundo, la definición de derivada es esa. La noción de que pasa si incremento infinitesimalmente una componente del vector. Y en el caso de direccional lo generalizas diciendo, bueno incremento un poquito en esa dirección, por eso el h multiplica al vector normalizado que define la dirección y ese incremento final se le suma al vector sobre el que estás evaluando la función.
Por último, eso de sabio sabian me sono un tanto despectivo, así que por las dudas te explico que sabian es una marca de platillos para bateria por eso el nick.
Saludos
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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De ninguna manera despectivo lo de sabio sabian. Es usted una persona que tiene un conocimiento profundo del análisis matemático. Es un gusto y un honor tener discusiones con alguien de su nivel.
Puede ser, y me temo, que tal vez haya visto algún tono de sorna en mi desertación anterior. Nada más alejado. Sólo quería exponer, de forma algo inusual, la noción de comportamiento local de una variedad.
Sobre gustos, no hay nada escrito. Y sobre definiciones tampoco. Mientras sean equivalentes.
Tal vez sería mejor, para que usted y su amigo Don X no me corran con generalidades, hablar sobre variedades diferenciables. Que es un concepto más abarcativo que el de función. Pero este foro es de análisis II y no de geometría diferencial ni de topología.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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No es por tecnisismos puesto que no soy matemático ni mucho menos. Solamente estoy cursando la materia y por ahí el chico que preguntó tiene parcial en estos días. Si va al parcial y le pone que una función es diferenciable porque admite un plano tangente, probablemente le pongan mal. Por ejemplo la función de la circunsferencia como función implicita de x tiene recta tangente en sus dos "cortes" al eje x. Sin embargo la función no es diferenciable/derivable en esos puntos. Análogamente se puede decir algo de raíz cúbica de x, y seguramente estos ejemplos se pueden llevar una dimensión más arriba y encontrar algún ejemplo en el espacio. Eventualmente, la definición algebráica sería lo de menos, lo importante es que entienda lo que hace si esta haciendo ese límite. Basicamente sería, bueno, tengo mi función y le resto mi aproximación lineal (plano tangente) que lo formo con la función en el punto y el gradiente, y eso tiende a 0? Si es así aún no me alcanza, porque yo quiero que se parezca mucho a la función en el punto, por ello lo divido por la norma euclídea. Si sigue tendiendo a 0, es porque estoy en una buena aproximación. Es como el resto de Taylor, que tambien se lo divide por la norma para ver que converge suficientemente rápido.
En fin, nada más lejos de una formalidad que lo que escribo yo, simplemente corrijo con lo que puedo sobre las cosas que estoy viendo en este momento. No es por romper los huevos, sino para tratar de asimilarse más al concepto sobre las cosas que se busca en análisis II, que evidentemente no es el único para tratar ciertos temas.
Saludos
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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No, no , no, sabian. No se venga a hacer ahora el chabacano. Ya todos nos dimos cuenta que usted, al igual que su amigo Don equis a quien siempre defiende, es un talibán del formalismo. No nos quiera engañar!!
Cordiales saludos
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Jajajaja. Para nada, a Don Equis solamente lo respeto por ser un estudiante de Matématica avanzado en su carrera, así que conoce mucho más sobre el tema que yo. Y sin querer ofender, si lo que digo yo le parecen formalisismos, es porque nunca leyo un libro de matemática hecho y derecho, nada más lejos del formalismo matématico que lo que expreso yo, solamente trato de salvar las generalizaciones para no incurrir en sesgamientos intelectuales.
Que tenga usted un buen día.
Lo saluda atentamente, sabian_reloaded (como la matri)
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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| eugenio escribió:
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No, no , no, sabian. No se venga a hacer ahora el chabacano. Ya todos nos dimos cuenta que usted, al igual que su amigo Don equis a quien siempre defiende, es un talibán del formalismo. No nos quiera engañar!!
Cordiales saludos
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Hola.
No pasa por ser formal, pasa por no incurrir en errores. Por ejemplo, la gráfica de la función ![[tex]f(x,y) = \sqrt[3] { \left || (x,y) \right ||}[/tex]](images/latex/f3bb458f567ae82f8111f244e1e2f5e0f5552044_0.png "[tex]f(x,y) = \sqrt[3] { \left || (x,y) \right ||}[/tex]") admite infinitos planos tangentes distintos en el origen y, claramente, no es diferenciable.
Lo que sucede es que en muchos casos este tipo de cosas no nos importan, pero cuando uno comienza a ver superficies en ![[tex]R^3[/tex]](images/latex/26322742eddcb8bec296c9ffe407d50bb2c650fb_0.png "[tex]R^3[/tex]") , tiene que tener cuidado con estos casos para no caer en falacias.
Saludos.
P.D.: ¿Yo avanzado? ¡Con lo que me falta!
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