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juanisank
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 29 Ago 2007
Mensajes: 18
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Hace unos cuatrimestres me tomaron este ejercio de extremos la verdad hasta el dia de hoy que no se como se resuelve. Parece una boludez pero cuando te pones a hacerlo no sale. Les dejo el desafio a ver a quien le sale..Cuando lo tomaron no le salio a nadie de 100 personas.
EJ) Hallar y clasificar extremos de la funcion
z = x^2(x-y)
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lalosoft
Nivel 5
Edad: 37
Registrado: 31 Ago 2007
Mensajes: 145
Ubicación: Buenos Aires
Carrera: Sistemas
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| como punto critico me da el (0,0)...y despues por el hessiano no se puede...es asi el enunciado? no hay ninguna restriccion??...
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CrisJ
Colaborador
Edad: 34
Registrado: 05 Abr 2008
Mensajes: 3807
Ubicación: Recoleta - un poco menos burgués que Cornell
Carrera: Civil
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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No lo hice entero, pero si el único punto crítico es el que dijo lalosoft (despúes lo pienso bien) es una boludez. Es un punto silla.
Acercate por la direccion ![[tex] (h , {-h}) [/tex]](images/latex/401fc143084540c6086e2b8d6498c12aed26b872_0.png "[tex] (h , {-h}) [/tex]") y te quéda que la función vale ![[tex] 2{h^3} [/tex]](images/latex/b1637c14dda398be71c04d51a3229a083567b16c_0.png "[tex] 2{h^3} [/tex]") Lo cuál dependiendo del signo de h te da positivo o negativo y en el (0,0) da 0.
Despúes lo hago bien con condición necesaria de extremos locales y criterio de los autovalores y posteo.
Saludos
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Leidenschaft
Nivel 9
Registrado: 23 May 2009
Mensajes: 1417
Carrera: No especificada
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| a mi tmb me dio q el punto critico es p=(0,0), y el hessiano dio 0. mmmmm graficando F'x=0 y F'y=0 entorno al punto (0,0) me aprece que da un punto silla. puede ser¿?
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Si la función es la que interpreté yo, el (0,0) es un punto silla, yo interpreté
![[tex]x^2 (x-y)[/tex]](images/latex/45470b4b8153bfbae1dbb60f8afc9a702eee31f6_0.png "[tex]x^2 (x-y)[/tex]") aunque capaz que quiso escribir ![[tex] x^{2 (x-y)} [/tex]](images/latex/aba74be2256bb48f69db86222c9ad9c917b3e4e6_0.png "[tex] x^{2 (x-y)} [/tex]") .
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juanisank
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 29 Ago 2007
Mensajes: 18
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| si perdon es z = (x^2)(x-y), con respecto a la respuesta P= (0,0) yo lo puse como respuesta y me pusieron no es el unico punto critico. Tiene sentido ya que con x= 0, hace cero a las dos derivadas parciales, osea con x=0, hay infinitos "y" que cumplen como punto critico. osea que sobre la recta (0,y) hay un minimo de ahi, abria que tirar mas rectas que pasen por ahi y probar que hay o no minimos. Yo pienso que la funcion debe tener la pinta de y=x^2(en 3d) que esta funcion tiene un minimo a lo largo de todo x=0.
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ale_vans
Nivel 7
Edad: 35
Registrado: 22 May 2008
Mensajes: 304
Ubicación: Vte. Lopez
Carrera: No especificada
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| No estoy muy en tema, pero recuerdo que si la gráfica de la función tiene la forma de una canaleta por ejemplo...en que los puntos mínimos o máximos se ubican en una recta el Hessiano da cero y no se puede resolver por ese método. Hay que analizar la funcion con otros metodos
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Bueno como prometí me puse a hacerlo bien en el intervalo de mi cursada de Análisis II hoy a la mañana. Obtuve lo siguiente.
Los puntos críticos son los puntos de la forma ![[tex] (0,y) \forall y \in \mathbf R[/tex]](images/latex/e6602be5d0b59ab39fdb5e62b606459b62e0c375_0.png "[tex] (0,y) \forall y \in \mathbf R[/tex]") , púes ![[tex] \nabla f(x,y)=(3x^2-2xy,-x^2)[/tex]](images/latex/b079513ab3d5df7017533236dc7cb63ae40d944b_0.png "[tex] \nabla f(x,y)=(3x^2-2xy,-x^2)[/tex]") . El 0 es un punto silla, como ya probé arriba, pués incremento en h la componente x (para aproximarme linealmente al punto) y tengo:
![[tex]f(h,y) = h^3 - h^2y = h^2 (h-y) [/tex]](images/latex/3e84dd1789626035437d1a6272e1a37803ee7ed4_0.png "[tex]f(h,y) = h^3 - h^2y = h^2 (h-y) [/tex]") de donde tengo que si ![[tex]y=0[/tex]](images/latex/9671b51013841d9048e911bf02bf1ae6b965a342_0.png "[tex]y=0[/tex]") entonces el signo de la función depende de si el incremento es positivo o negativo ya que ![[tex]h^2[/tex]](images/latex/cb564b9565fa793f132722af8885f7b8ac5c639e_0.png "[tex]h^2[/tex]") es siempre positivo y [/tex]](images/latex/b326652b20dfc71f9d32df5aaefa255f9ab31dab_0.png "[tex](h-0)[/tex]") depende del signo de h. Ahora cuando me queda que si ![[tex]y>0 \Longrightarrow f(h,y) <0[/tex]](images/latex/abd9ffa8dba4414c2b9a9ab80a3beb4a0d61b2d8_0.png "[tex]y>0 \Longrightarrow f(h,y) <0[/tex]") por lo que sería un mínimo local y al revéz si ![[tex]y<0[/tex]](images/latex/54947f7d90545cab6bdba7c4832e3a8d6ef71cf2_0.png "[tex]y<0[/tex]") .
Esto no prueba que sean mínimos ni máximos locales, solo que lo son cuando me acerco de esa forma, el problema es que intenté 5 caminos más (parabola, incremento lineal en ambas componentes, incremento positivo en x , negativo en y y viceversa, raíz cuadrada, raíz cúbica y algún otro más probé y no le pude encontrar la forma que me quéde punto silla) y si son mínimos y máximos locales hay que probarlo acotando y no encontré ninguna acotación que me lo demuestre  .
Espero que alguien lo resuelva, ahora tengo la intriga, Don Equis pasate por aca 
Saludos
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juanisank
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 29 Ago 2007
Mensajes: 18
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| jaja viste que no era tan boludo el ejercicio!...En cuanto pueda me lo pongo a resolver a ver si se me ocurre algo nuevo..O tambien se podria hacer trampa con algun graficador y ver que pinta tiene la funcion.. Yo tambien probe aproximar la funcion por diferentes funciones y no obtube nada!!
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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| En ningún momento aproximé nada yo
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Hola.
¿Y qué tal plantearlo de esta forma?
Tenemos que la función es ![[tex]f(x,y) = x^3 - yx^2[/tex]](images/latex/648f25f73cbc78dc988ce2ceb6b2f8d965b6a570_0.png "[tex]f(x,y) = x^3 - yx^2[/tex]")
De donde ![[tex]\nabla f (x,y) = (3x^2 - 2yx, -x^2)[/tex]](images/latex/c950762aab1cd3e164f3fcf7e22167bb81c34cd5_0.png "[tex]\nabla f (x,y) = (3x^2 - 2yx, -x^2)[/tex]")
Por lo que ![[tex]\nabla f (x,y) = (0,0) \mbox{ sii } x=0[/tex]](images/latex/173a22081c13a81bf45f08bbc169413a04d02cfc_0.png "[tex]\nabla f (x,y) = (0,0) \mbox{ sii } x=0[/tex]")
Como bien señaló Sabian.
Estudiando la función sobre la recta , obtenemos que ![[tex]f(x,0) = x^3[/tex]](images/latex/c3ba76297bf97fde98acf66c6142cd3e6186dd4f_0.png "[tex]f(x,0) = x^3[/tex]") , que no tiene extremos.
Saludos.
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Uhh, qué pelotudez la que dije. Esto de entrar con fiebre a los foros me está matando. Dije ![[tex]x=0[/tex]](images/latex/78e432e755209ec9b76d88d2343a181739cb28db_0.png "[tex]x=0[/tex]") y después me mandé con quién sabe por qué (aunque eso nos permite eliminar el origen).
Para el resto de los puntos se puede ver así. Fijamos ![[tex]y[/tex]](images/latex/9ee4e6ba8781d42ee434379ac570532e425e7b55_0.png "[tex]y[/tex]") para estudiar ![[tex]f(x,y) = x^2(x-y)[/tex]](images/latex/86e6f458d02bb74f958e85fc664cd0b48b29139c_0.png "[tex]f(x,y) = x^2(x-y)[/tex]") alrededor de . Si es negativo, entonces [/tex]](images/latex/19d498c878e73f6d7f65926cacebf9e37caec1e2_0.png "[tex](x-y)[/tex]") es positivo en un entorno en el que ![[tex]|x|<|y|[/tex]](images/latex/d00773ab7889d9112e667b3ef321706204ded258_0.png "[tex]|x|<|y|[/tex]") y, por lo tanto, ![[tex]f[/tex]](images/latex/228663427166fa0dd8911ea5e0d4c3ddfd5ded79_0.png "[tex]f[/tex]") resulta ser positiva. Y como es positiva y en toma el valor ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]") , entonces hay mínimo local. Análogamente cuando ![[tex]0<y[/tex]](images/latex/5ecf6613a904ef144c08e2caae74e65592ae6746_0.png "[tex]0<y[/tex]") .
Ahora creo que sí estamos.
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Don Equis
Nivel 2
Edad: 36
Registrado: 31 May 2009
Mensajes: 16
Carrera: No especificada
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Otra cosa que uno puede hacer, es ver que ![[tex]f(x,y) = 0[/tex]](images/latex/fb65423e9b85618a9214509eead5e72129d0e825_0.png "[tex]f(x,y) = 0[/tex]") sólo si ó ![[tex]y=x[/tex]](images/latex/9ade6d8f702c509f43e524f6d4e30c085f6a1695_0.png "[tex]y=x[/tex]") . Por lo que basta evaluar en seis puntos para conocer los signos que toma la función en todo su dominio (ya que es continua ¿no?).
Se puede armar un argumento quizás más sencillo que el anterior por ese lado.
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sabian
Nivel 3
Edad: 34
Registrado: 04 May 2009
Mensajes: 37
Carrera: No especificada
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Yo sabía que se comportaba de esa forma, pero no lo podía probar (probar extremos suele ser mucho más dificil que probar puntos silla así que puse mis esfuerzos en probar que era punto silla, violando mi intuición ).
Gracias Don Equis.
Saludos
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