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Mensaje |
pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Buenas, tengo el siguiente ejercicio:
Las ecuaciones
f(u,v)=0
u= xy
v = raiz cuadrada de [x^2 + z^2]
definen una superficie en R3. Hallar un vector normal a esa superficie en el punto (1, 1, raiz de 3) si se sabe que: deriv. f/u (1,2) = 1 , deriv. f/v (1,2)=1
Disculpen la improlijidad, no se escribir en latex y no me voy a tomar la molestia de aprender por un simple ejercicio.
Me gustaría que no me chanten la resolución de una porque no tiene sentido, sino que me ayuden a razonar un poco. ¿Qué quiere decir que 'defina una superficie'? ¿Es de nivel, hay algo definido implícitamente? Yo por inercia planteé una composición
¿R3 ---g---> R2 ----f----> 0 ? Si llamo g a la funcion vectorial
g(x,y,z)= (xy,raiz cuadrada de [x^2 + z^2])
pero no sé donde estaría mi famosa superficie...
agradecería pistas muchachos
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ñsdlgkfjdñflgjañdlfga
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Así es, amigo pankreas. Esa composición que hiciste está muy bien.
La g(x,y,z) = 0 es la que define una superficie.
Ahora lo que te falta es grad(g) en el punto que te piden. Ese sería el vector normal.
Podés derivar esa g por regla de la cadena y evaluar (x,y,z) = (1,1,raizde3) y (u,v) = (1,2).
Ojalá te haya servido. Saludos.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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Ah, no. Te entendí mal.
A esa g la tenés que componer con la f, es decir obtener
h(x,y,z) = fog = f(xy,(x^2+y^2)^0.5)
Y h(x,y,z) = 0 define una superficie.
y grad(h) sería el vector normal
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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Claro entiendo, gracias
vos decís encontrar el gradiente de esa función escalar h(xyz)=0 (R3 -> 0)
derivando con cadena
h'x = f'u.u'x + f'v.v'x
h'y = f'u.u'y + f'v.v'y
h'z = f'u.u'z + f'v.v'z
Pero a ver, esa superficie composición que me quedó tiene que ser de nivel, porque el gradiente de una funcion no es su vector normal ¿de nivel de que? osea el procedimiento del ejercicio ya lo entiendo, pero me quedo ese cabo suelto conceptualmente.
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eugenio
Nivel 7
Edad: 47
Registrado: 11 Jun 2005
Mensajes: 305
Carrera: Química
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| Si el dominio de la función h es un abierto de R^3 entonces h(x,y,z) = 0 define una superficie en R^3. Eso es así siempre. Si quiero conocer el vector normal a esa superficie tengo que calcular grad(h) como lo hiciste en el post. Lo que hiciste ahi es precisamente lo que pedían.
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