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andrea_r
Nivel 5


Edad: 29
Registrado: 25 Feb 2011
Mensajes: 138

Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Sab Nov 26, 2011 3:04 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

graaaciaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas loonatic, genia! Very Happy

el segundo llegué a la conclusión de que está bien Smile y del primero hay una cosa que todavía no me cierra acá:

loonatic escribió:
[tex](z-3)^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]

Entonces, nos quedaría algo asi:

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}-\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]

Y pasando las constantes a la derecha:

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}+(z-\frac{3}{2})^{2}\geq 8 [/tex]



yo soy un DESASTRE con las cuentas, pero hay un signo menos que me parece que no va (y para mí es lo que hace que el ejercicio pierda sentido), rehaciéndolo me queda:

[tex](z-3)^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]

y eso habría que ponerlo directamente en la ecuación "general":

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]

o sea, la constante que queda del lado izquierdo es positiva y pasa al otro lado restando, y por eso es que el lado derecho me queda negativo y ahí ya no entiendo nada Neutral

por otro lado, hay un par de ejercicios de coordenadas esféricas que tampoco me salieron (por más pelotudeces, casi seguro) Sad de la guía 8 también, dos ítems del 10 (se nota que la estoy sufriendo esa guía, jaja)

b. [tex]|x|\leq y[/tex]
c. [tex] x^{2}+y^{2}+3z^{2}\leq 1 [/tex]

el primero entiendo que es un prisma triangular (?) limitado por los planos [tex]x=y[/tex] y [tex]x=-y[/tex].

considerando:
[tex]x=sin(\varphi)cos(\theta)y=sin(\varphi)sin(\theta)[/tex]

usé las dos ecuaciones por separado porque era un módulo y me pareció lo más razonable (?):

[tex] rsin(\varphi)cos(\theta) \leq rsin(\varphi)sin(\theta) \rightarrow r \leq tan(\theta)[/tex] (si [tex] sin(\varphi) \not= 0[/tex])

y lo mismo con la otra:

[tex] -rsin(\varphi)cos(\theta) \leq rsin(\varphi)sin(\theta) \rightarrow -r \leq tan(\theta)[/tex] (si [tex] sin(\varphi) \not= 0[/tex])

entonces describí la cosa (?) como la unión de tres regiones:

[tex] B=P \cup Q \cup R P: 0 \leq (\varphi) < \pi, r \leq tan(\varphi), \pi/4 \leq \theta < \pi/2[/tex]


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andrea_r
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Edad: 29
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MensajePublicado: Sab Nov 26, 2011 5:03 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

(apreté enviar por error Oops termino de escribir lo que hice para el primer ítem)

[tex] Q: 0 < \varphi < \pi , r \geq -tan(\theta) , \pi/2 < \theta \leq 3\pi/4. [/tex]

[tex]R: 0 < \varphi < \pi , \theta = \pi/2 , r \geq 0  [/tex]

una cosa, en el mensaje de arriba en la última línea va:

[tex] B=P \cup Q \cup R [/tex]

[tex]P: 0 \leq (\varphi) < \pi, r \leq tan(\varphi), \pi/4 \leq \theta < \pi/2[/tex]


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andrea_r
Nivel 5


Edad: 29
Registrado: 25 Feb 2011
Mensajes: 138

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MensajePublicado: Sab Nov 26, 2011 5:31 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

me autoquoteo para comentar lo que no entiendo del segundo:

andrea_r escribió:
c. [tex] x^{2}+y^{2}+3z^{2}\leq 1 [/tex]


el gráfico de esa inecuación en el espacio es un balón de rugby/un huevo acostado sobre el eje y. el problema que tengo es básicamente una cuestión de cuentas, creo (?). lo primero que hice fue tratar de obtener algo como:

[tex]x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 [/tex]

acomodando un poco la primera expresión obtuve:

[tex] x^{2}+y^{2}+ \frac{z^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\leq 1 [/tex]

y reemplazando ahí con el cambio de coordenadas de siempre:

[tex]x=rsin(\varphi)cos(\theta)[/tex]
[tex]y=rsin(\varphi)sin(\theta)[/tex]
[tex]z=rcos(\varphi)[/tex]

(me acabo de dar cuenta que en el primer mensaje no puse los "r". lo aclaro acá, igual recién pedí permiso para editar mensajes)

al final me queda:

[tex] r^{2}sin^{2}(\varphi)+\frac{r^{2}cos^{2}(\varphi)}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\leq 1 [/tex]

y bueno, yo sé que es muy bobo pero ahí no se me ocurre qué más hacer, no puedo sacarle factor común para que se vayan el seno y el coseno así que se me ocurre que alguna parte de mi desarrollo algebraico (?) inicial debe estar mal. hago todo eso porque quiero encontrarle los límites al radio. los de los ángulos son bastante claros:

[tex]0\leq \varphi \leq \pi[/tex]
[tex]0\leq \theta \leq 2\pi [/tex]

agradezco cualquier ayuda Rolling Eyes

PD: soy feliz porque al fin estoy aprendiendo a usar [tex]LATEX[/tex] Mago


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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
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MensajePublicado: Dom Nov 27, 2011 3:23 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

andrea_r escribió:
[...] del primero hay una cosa que todavía no me cierra acá:

loonatic escribió:
[tex](z-3)^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]

Entonces, nos quedaría algo asi:

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}-\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]

Y pasando las constantes a la derecha:

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}+(z-\frac{3}{2})^{2}\geq 8 [/tex]

yo soy un DESASTRE con las cuentas, pero hay un signo menos que me parece que no va (y para mí es lo que hace que el ejercicio pierda sentido), rehaciéndolo me queda:

[tex](z-3)^{2}+3z=z^{2}-6z+9+3z=z^{2}-3z+9=(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4} [/tex]

y eso habría que ponerlo directamente en la ecuación "general":

[tex](x-1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{4}+(z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4}\geq 1 [/tex]

o sea, la constante que queda del lado izquierdo es positiva y pasa al otro lado restando, y por eso es que el lado derecho me queda negativo y ahí ya no entiendo nada Neutral

¡Es cierto eso! Surprised Queda [tex]\textstyle (x - 1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (z - \frac{3}{2})^2 \geq -\frac{11}{2}[/tex], que se cumple siempre. O sea, para todo [tex]\textstyle (x, y, z) \in R^3[/tex].

andrea_r escribió:
b. [tex]|x|\leq y[/tex]
c. [tex] x^{2}+y^{2}+3z^{2}\leq 1 [/tex]

el primero entiendo que es un prisma triangular (?) limitado por los planos [tex]x=y[/tex] y [tex]x=-y[/tex].

Un ángulo diedro Smile

andrea_r escribió:
usé las dos ecuaciones por separado porque era un módulo y me pareció lo más razonable (?)

Sí, hay que separar, pero teniendo en cuenta cuándo vale cada caso. x ≤ y vale cuando x ≥ 0. Y x > 0, dado que x = rcosθsenφ, r > 0 y senφ > 0, vale cuando cosθ > 0. Análogamente, -x ≤ y vale cuando x < 0, que a su vez vale cuando cosθ < 0.

andrea_r escribió:
[tex] rsin(\varphi)cos(\theta) \leq rsin(\varphi)sin(\theta) \rightarrow r \leq tan(\theta)[/tex] (si [tex] sin(\varphi) \not= 0[/tex])

Fijate que no sólo senφ está en los dos miembros, sino que r también, así que se cancelan ambos. Excluyendo el caso rsenφ = 0, como rsenφ > 0 el sentido de la desigualdad no cambia cuando los cancelás, y te queda cosθ ≤ senθ. Dividiendo por cosθ, que es mayor que cero dado que estás en el caso x > 0:
[tex]\tg \theta \geq 1 \Rightarrow \theta \geq \frac{\pi}{4}[/tex]

andrea_r escribió:
y lo mismo con la otra:

[tex] -rsin(\varphi)cos(\theta) \leq rsin(\varphi)sin(\theta) \rightarrow -r \leq tan(\theta)[/tex] (si [tex] sin(\varphi) \not= 0[/tex])

Acá lo mismo, pero además, como es el caso x < 0, cosθ < 0, así que cambia el sentido de la desigualdad al dividir, y queda:
[tex]\tg \theta \leq -1 \Rightarrow \theta \leq \frac{3 \pi}{4}[/tex]

Así que la región completa queda expresada como [tex]\textstyle \frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{3\pi}{4}[/tex]

andrea_r escribió:
me autoquoteo para comentar lo que no entiendo del segundo:

andrea_r escribió:
c. [tex] x^{2}+y^{2}+3z^{2}\leq 1 [/tex]

[...] al final me queda:

[tex] r^{2}sin^{2}(\varphi)+\frac{r^{2}cos^{2}(\varphi)}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}\leq 1 [/tex]

y bueno, yo sé que es muy bobo pero ahí no se me ocurre qué más hacer [...]

No hace falta hacer mucho más, sacando factor común r²:
[tex]r^2(\sen^2 \varphi + 3\cos^2 \varphi) \leq 1[/tex]

Didiviendo por [tex]\textstyle \sen^2 \varphi + 3\cos^2 \varphi[/tex], que es siempre positivo, y sacando raíz cuadrada, queda:
[tex]r \leq \sqrt{\frac{1}{\sen^2 \varphi + 3\cos^2 \varphi}}[/tex]

Y eso es todo.

andrea_r escribió:
[...] los de los ángulos son bastante claros:

[tex]0\leq \varphi \leq \pi[/tex]
[tex]0\leq \theta \leq 2\pi [/tex]

Así es.

andrea_r escribió:
PD: soy feliz porque al fin estoy aprendiendo a usar [tex]LATEX[/tex] Mago

Aplauso
EDIT: Raíz cuadrada faltante.

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Martin92989
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MensajePublicado: Jue Dic 01, 2011 11:32 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Hola, tengo una problema con el ejercicio 1. c. de la guía IX (integrales de superficie) Dice: "calcular el área de.."

x^2 +y^2 = 2 a y con x^2 + y^2 + z^2 <4>0)

No logro conseguir una buena expresión del integrando.

Parametrizando con cilíndricas tengo el rango de Z queda:
0<= Z <= a Raíz[ 3 - a^2 - 2 a Sen[t] ]

Y si defino F(x,y,z) = x^2 + (y-a)^2 -a^2 con x=f(y,z)
Obtengo en ultima instancia el integrando:
ArcCos[ 1 + 2 a - z^2/(2 a) ]

Ni Mathematica (programa que uso) puede resolverlo. Si alguien pensó en otra forma se lo agradeceré.

Si alguien tiene una idea


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MensajePublicado: Jue Dic 01, 2011 11:50 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Martin92989 escribió:
Hola, tengo una problema con el ejercicio 1. c. de la guía IX (integrales de superficie) Dice: "calcular el área de.."

x^2 +y^2 = 2 a y con x^2 + y^2 + z^2 <4>0)

No logro conseguir una buena expresión del integrando.

Parametrizando con cilíndricas tengo el rango de Z queda:
0<= Z <= a Raíz[ 3 - a^2 - 2 a Sen[t] ]


¿Como aplicaste la parametrizacion? ¿Por que tu z va de 0 hasta la raíz esa? y la parte de abajo de la esfera?

Si mal no recuerdo había aplicado cilíndricas, luego lo metía en la ecuación de la esfera para despejar el rango de z, después buscaba el vector normal y hacia las integrales. Me voy a fijar bien.

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Educ
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MensajePublicado: Vie Dic 02, 2011 12:53 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Mira, vos tenes [tex]x^{2}+y^{2}=2ay[/tex] con [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4a^{2}, (a>0)[/tex]

Entonces usando coordenadas cilindricas podes definir:

[tex]T(u,v)=\left\{\begin{matrix}x=a\ cos(u) \\y=a\ sen(u)+a \\z=v\end{matrix}\right.[/tex]

Para sacar [tex]v[/tex] metes [tex]x, y, z[/tex] en la ecuación de la esfera.

Por lo tanto te queda [tex]a^{2}\ cos^{2}(u)+a^{2}\ sen^{2}(u)+2a^{2}\ sen(u)+a^{2}+v^{2}\leq 4a^{2}[/tex]

Trabajando esa expresión vas a llegar a: [tex]-a\sqrt{2-2sen(u)}\leq v\leq a\sqrt{2-2sen(u)}[/tex]

Definis [tex]R_{uv}\ tal\ que\ 0\leq u\leq 2\pi\  \wedge\ -a\sqrt{2-2sen(u)}\leq v\leq a\sqrt{2-2sen(u)}[/tex]

Bueno después buscas la norma del vector normal.

[tex]T'_{u}=(-a\ sen(u),a\ cos(u), 0)[/tex]
[tex]T'_{v}=(0,0,1) [/tex]

Haciendo el producto vectorial, encontras n y al aplicarle la norma te queda [tex]a[/tex]

Por ultimo planteas las integrales:
[tex]area\ S=\iint_{s}ds=\iint_{R_{uv}}\left \| n \right \|\ dudv=\int_{0}^{2\pi}\int_{-a\sqrt{2-2sen(u)}}^{a\sqrt{2-2sen(u)}}a\ dvdu=...continuar...[/tex]

Espero que se entienda y que este bien jaja.

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Jackson666
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MensajePublicado: Vie Dic 02, 2011 1:38 am  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Si no me equivoco, es el área de la bóveda de Viviani. Acero lo tomó y lo resolvió unas mil veces en los finales. Fijate en la página de AMII, en algún final viejo tiene que estar.


Aries Género:Masculino Gato OfflineGalería Personal de Jackson666Ver perfil de usuarioEnviar mensaje privado
Educ
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MensajePublicado: Vie Dic 02, 2011 3:22 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Tiene razón Jackson, acá lo encontré http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/viviani/area-cil-esf.html

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Martin92989
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MensajePublicado: Vie Dic 02, 2011 3:56 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Educ escribió:


Por ultimo planteas las integrales:
[tex]area\ S=\iint_{s}ds=\iint_{R_{uv}}\left \| n \right \|\ dudv=\int_{0}^{2\pi}\int_{-a\sqrt{2-2sen(u)}}^{a\sqrt{2-2sen(u)}}a\ dvdu=...continuar...[/tex]



A eso me refería que es difícil de integrar.

Y muchas gracias por el link, no lo encontraba.


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Franzl
Nivel 7


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Carrera: Mecánica
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MensajePublicado: Vie Dic 02, 2011 4:11 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Jackson666 escribió:
Si no me equivoco, es el área de la bóveda de Viviani. Acero lo tomó y lo resolvió unas mil veces en los finales. Fijate en la página de AMII, en algún final viejo tiene que estar.


Sí.. está, pero atenti que tiene un par de errores

EDIT: Me refiero al ejercicio del cálculo del volumen de la bóveda de Viviana Viviani.. pero es análogo ¬¬


Capricornio Género:Masculino Caballo OcultoGalería Personal de FranzlVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
andrea_r
Nivel 5


Edad: 29
Registrado: 25 Feb 2011
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Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Vie Dic 09, 2011 8:18 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

tengo problemas con el ítem e del ejercicio 13 de la guía 7. es una ecuación diferencial que hay que convertir en una total exacta por factor integrante.

dice así:

e. solución tal que y(2)=2 de:

[tex] (\frac{y}{x-1})dx + dy = 0  [/tex]

primero busqué las derivadas para chequear que no era total exacta:

[tex] Q'x = 0 \not= P'y = \frac{1}{x-1}[/tex]

las "fórmulas" que nos dio el profesor de la práctica para encontrar el factor integrante son:

[tex] u(x)=e^{\int \frac{P'y-Q'x}{Q} dx} [/tex]

y

[tex] u(y)=e^{\int \frac{Q'x-P'y}{P} dy} [/tex]

usando la primera llego a que el factor integrante es [tex] (x-1) [/tex] y al multiplicar por él la ecuación inicial obtengo:

[tex] ydx + (x-1)dy = 0  [/tex]

luego planteo el sistema:

(1) [tex] \phi'x = y [/tex]
(2) [tex] \phi'y = x-1 [/tex]

integrando (1) respecto a x:

[tex] \phi(x,y)= xy + \alpha(y) [/tex]

derivando (2) respecto a y:

[tex] \alpha(y)= -y [/tex]

y finalmente:

[tex] \phi(x,y)= xy-y=2 [/tex] (usando la condición que me dan de y(2)=2)

mi duda nace de ver que tanto como en el resuelto (de esos de EEUU) como acá: https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&srcid=0BzBPA-DF5ifTZDg1YjdhOWQtYmRkMi00YjRhLWI5OWMtOTRhNTNjZWUzZWY5&hl=es (página 11) les da una respuesta distinta Rolling Eyes

además, no sé cómo comprobar si la función a la que llegué cumple la ecuación Pestaneo ni siquiera para decir "bueno, una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones distintas, lo importante es que esta anda..."

ayuda Sad


Libra Género:Femenino Gallo OcultoGalería Personal de andrea_rVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
koreano
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MensajePublicado: Vie Dic 09, 2011 8:30 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

No se puede re-escribir como [tex]\frac{y}{x-1} = -y'[/tex] eso?


   OcultoGalería Personal de koreanoVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
andrea_r
Nivel 5


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Carrera: Industrial
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MensajePublicado: Vie Dic 09, 2011 8:34 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

koreano escribió:
No se puede re-escribir como [tex]\frac{y}{x-1} = -y'[/tex] eso?


sí, claro, y puede tratarse como ED lineal u homogénea, pero la idea del ejercicio es hacerlo con factor integrante Rolling Eyes


Libra Género:Femenino Gallo OcultoGalería Personal de andrea_rVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
koreano
Nivel 9



Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796

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MensajePublicado: Vie Dic 09, 2011 9:55 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Podés resolver la EDO esa con factor integrante o_O

[tex]\frac{y}{x-1} = -y'[/tex]

[tex]y' + \frac{y}{x-1} = 0[/tex]

[tex]P(x) = \frac{1}{x-1}[/tex]
[tex]Q(x) = 0[/tex]

El factor integrante es [tex]M(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\ln(x-1)} = (x-1)[/tex]

Multiplicás ambos miembros por el factor integrante:

[tex](x-1)y' + y = 0[/tex]

[tex]((x-1)y)' = 0[/tex]

Integrás ambos miembros:

[tex](x-1)y = c[/tex]

[tex]y(x) = \frac{c}{x-1}[/tex]

Como [tex]y(2) = 2 \rightarrow c = 2[/tex] y la solución es:

[tex]y(x) = \frac{2}{x-1}[/tex]



BTw, podés verificar tranquilamente que tu solución es correcta, solo tenés que enchufarla en la EDO original y hacer las derivadas, verificando que se cumpla la igualdad.


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