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claro!!
el chiste es que el recorrido está ordenado, pero cuando querés acumular por donde empezas? el recorrido de la variable no tiene lo que pide el enunciado...
Pero cual es el problema de que vaya saltando? Aparte no siemrpre salta; sólo al principio, fijate en los ultimos 4 términos que posteo grynberg, y se me hace que es como especie de diente de sierra...se va aproximando a 1, y luego cae prácticamente a cero y asi...
_________________ Problemas con matemática? Llamá gratis al 0-800-3x²±sen(1/n³)∫∆ƒ dx
Pero cual es el problema de que vaya saltando? Aparte no siemrpre salta; sólo al principio, fijate en los ultimos 4 términos que posteo grynberg, y se me hace que es como especie de diente de sierra...se va aproximando a 1, y luego cae prácticamente a cero y asi...
Es cierto che. El tema es que si seguís las instrucciones del libro, la función de distribución acumulada no encuentra nunca un primer valor de probabilidad no nula. No creo que eso signifique que la acumulada (la posta) acumule nunca, de alguna manera se podrá calcular sistemáticamente (capaz se puede reescribir la sucesión mediante alguna fórmula general, o recurrente, y luego calcular algún límite, aunque ni idea cómo hacerlo).
Acá hice un grafiquito de la fdp y la fdpa con los primeros 28 términos de la sucesión, para ver más o menos cómo viene la mano:
_________________
Elmo Lesto wrote:
Bistek wrote:
por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
pankreas, escribí a mano los primeros 28 términos de la sucesión (en la primer columna). Para cada uno de ellos calculé , y , donde . Hice eso hasta un valor finito , encontrando a ojo los porque no sé, a priori, qué poner como argumento de la sumatoria cuando .
Cuando Excel hace un gráfico, acomoda cada valor en su lugar de la recta, los puntos que ves graficados van a seguir siendo los mismos independientemente del orden en que los escribas en la hoja de cálculo.
Eran las 3 de la mañana, no me puse a graficar las partes continuas de la función de distribución.. a usar la imaginación
Decir que no existe una función de distribución o que si existe no acumula nunca (?) me parece raro, pero como no sé tanto de matemática me callo hasta que aparezca alguien con la posta. Si sigo comentando voy a arruinar el tópico.
Saludos!
_________________
Elmo Lesto wrote:
Bistek wrote:
por qué pasa que a veces entro al foro y esta todo en aleman?
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Vuelvo a leer en voz alta:
"Variables aleatorias discretas:
La probabilidad acumulada comienza siendo cero (en ). Sigue siendo cero hasta que encuentra el primer valor con probabilidad no nula. A partir de ese valor, la probabilidad acumulada es la probabilidad de ese primer punto. Dicha probabilidad acumulada se mantiene igual, hasta que llega al segundo punto con probabilidad no nula. A partir de ese punto, la probabilidad acumulada vale la suma de las probabilidades de esos dos puntos. Y así sucesivamente hasta llegar al último valor con probabilidad no nula, a partir del cual la probabilidad acumulada vale uno."
¿Qué tenemos hasta aquí?
Pankreas observó que
1. ''el ultimo valor de probabilidad no nulo a partir del cual la acumulada es uno'' no existe.
2. tampoco hay primer punto... (podríamos agregar, ni segundo, ni tercero, etcétera...)
Luego preguntó: la acumulada no solo no termina de acumular sino que no acumula nunca?? y ofreció la siguiente explicación:
3. La contradicción es que desde la perspectiva de 'la acumulada' que plantea el enunciado NO EXISTE ese primer punto, por más que el recorrido lo tenga y conserve un orden... cuando querés acumular por donde empezas? el recorrido de la variable no tiene lo que pide el enunciado...
Por un lado tenemos un enunciado teórico sobre el comportamiento de la función de distribución de una variable discreta cualquiera. Por otro lado tenemos una variable aleatoria que no puede tratarse con ese enunciado. ¿Qué se hace frente a esta contradicción? La primera conclusión es que ``la receta'' que se describe en el texto citado es inapropiada para tratar con las variables aleatorias discretas.
Al contrario de lo que suponen algunos, la discusión científica está lejos de ser un proceso judicial en el cual hay un imputado y un procurador que, por obligación de oficio, debe demostrar que aquél es culpable y digno de ser quitado de circulación. Lo que interesa es la busqueda de la verdad y el progreso de la ciencia.
En lo que sigue trataremos de comprender las razones que hacen que ``la receta'' sea inapropiada para tratar con las variables aleatorias discretas en general.
``La receta'' presupone que pueden encontrase el primer y el último valor de la variable aleatoria de probabilidad no nula. Esto significa que la variable aleatoria discreta solo puede asumir una cantidad finita de valores. Quedan excluídas todas las variables aleatorias discretas que asumen una cantidad infinita enumerable de valores.
Variables aleatorias discretas que no tienen un último valor de probabilidad no nula aparecen cuando se quiere tratar con tiempos de espera (la más simple es la variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro : , ) o cuando se quiere tratar con situaciones en las que hay una gran cantidad de eventos y cada uno de ellos tiene baja probabilidad de ocurrir (para esto lo más simple es utilizar variables aleatorias con distribución Poisson de intensidad : , .) Al margen, estas dos distribuciones se manifiestan naturalmente cuando se abordan las estadísticas de Bose-Einstein y de Maxwell-Boltzman.
El ejemplo de la variable aleatoria "saltarina" muestra que hay variables aleatorias discretas que no tienen un primer valor.
¿Significa esto que ``la receta'' es inútil para todo servicio? No. Lo que significa es que solo puede prestar servicios en contextos que puedan tratarse adecuadamente con una cantidad finita de valores. La concepción que inspira el texto citado es inapropiada para tratar con variables aleatorias discretas porque sus presupuestos teóricos no son verdaderos en general.
Tal vez sea el momento de citar a Luca, como pide fedapa, y decir ``And it's sad, sad, sad...'' Veamos por qué
¿Qué pasa si se trata de utilizar ``la receta'' en el caso general? Se puede tropezar con la inexistencia del llamado ``primer punto'' y/o del llamado ``último punto''. Como dice Amintoros: cuando uno se topa con el intervalo vininendo desde y quiere ``encontrar el primer valor con probabilidad no nula'', no puede hacerlo.
Aparecen preguntas del tipo: ¿si no hay punto de partida, cómo se acumula la probabilidad? ¿Se trata de una variable aleatoria discreta que no puede acumular probabilidad? ¿Si no hay último punto, no termina núnca de acumular? Parece que esas preguntas están relacionadas con el sentido corriente del verbo acumular, pensado como juntar, amontonar. El significado probabilístico del verbo acumular es otro.
La pregunta es: ¿para cada número real , cuánto vale la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que ? En otras palabras, ¿cómo es la función de distribución, , de la variable aleatoria ? Esa función está bien definida para todo [tex]x\in\mathbb{R}[/tex] y su existencia no depende de que podamos o no podamos aplicar una receta para calcularla.
¿Qué hace Amintoros cuando no puede aplicar la receta? Recurre al buen sentido de su propio criterio y frente a las dificultades reales que presenta ese cálculo concreto recurre a una computadora. Estoy seguro de que si le pedimos que calcule la probabilidad de que nos puede dar una respuesta todo lo precisa que pidamos.
El siguiente programita en Octave da una idea del comportamiento de la función de distribución de :
r=[];
for n=2:11;
for i=1:n-1;
a(i)=gcd(i,n);
end
m=find(a==1);
clear a
q=m/n;
r=[r q];
end
for j=1:1000
F(j)=sum(1./pow2(find(r<=j/1000)));
end
x=(1:1000)/1000;
plot(x, F)
Continuará...
Saludos
S.
p.d. a cargo de Sumo
en el intervalo 4:56-5:08
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No entiendo la parte donde no hay primer punto con probabilidad distinta de 0. ¿No es r1?
Lo que sí está claro es que obviamente no hay último punto, la variable nunca termina de "acumular".
Saludos
_________________
No hay vuelta atrás...
Spike Spiegel wrote:
Por un lado se celebran las hazañas de San Martín, Bolivar y demases, la reforma de 1918, el cordobazo y otras tantas en Argentina, Latinoamérica y el mundo entero. No sé cuántos habrán llorado mirando Braveheart al grito de FREEDOM de Wallace y dicho "cuántos huevos, viejo", tenido ganas de cambiar el mundo cuando terminaron de ver V for Vendetta o celebrado toda la ficcionaria justicia que solía hacer El Zorro.
Y sin embargo...
"Ay, no, violencia no. Ay, no, corte de calle, no. Ay, no, piden democracia pero son antidemocráticos con sus métodos. Ay, no, a la facultad se viene a estudiar"
¡PERO QUÉ MANGA DE PUTOS!
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Dice Torbellino: No entiendo la parte donde no hay primer punto con probabilidad distinta de 0. ¿No es ?
Me parece que el asunto del llamado ``primer punto'' se puede aclarar examinando más de cerca ``la receta'' del texto citado. Volvamos a leerla: ``La probabilidad acumulada comienza siendo cero (en ). Sigue siendo cero hasta que encuentra el primer valor con probabilidad no nula. A partir de ese valor, la probabilidad acumulada es la probabilidad de ese primer punto.'' [sic].
En rigor, ese enunciado es incorrecto. Primero, porque la probabilidad acumulada no comienza en ninguna parte (quien viaja a no tiene retorno). Lo que es correcto es decir que . Segundo, porque el autor del texto está pensando en variables aleatorias discretas con una cantidad de finita de valores ordenados de menor a mayor tales que . Podría haber dicho que para todo y que . En este punto se debería percibir claramente quién es el llamado ``primer valor con probabilidad no nula'': el valor .
Como el enunciado es incorrecto produce confusiones. ¿Cómo se obtiene el ``primer valor con probabilidad no nula'' para variables aleatorias discretas a valores ?. Lo primero que hay que hacer es ordenar los valores de menor a mayor y ese ordenamiento no necesariamente coincide con el orden en que fueron presentados los ``valores de probabilidad no nula''. Tranquilamente, podría pasar que el primer valor de la lista no fuese el menor de todos. (Los valores de un dado equilibrado pueden presentarse en la forma y de otras maneras). El autor del texto presupone que esos valores están ordenados de menor a mayor pero no lo dice. Si se sigue al pie de la letra la receta y los valores no se ordenan de menor a mayor el primer valor de probabilidad no nula que vamos a encontrar en la lista es el .
¿Por qué la simpática y saltarina variable aleatoria discreta definida sobre los racionales del intervalo , , ordenados de la forma en que se presentaron al principio del tópico, no admite el llamado ``primer valor''? Porque ese ``primer valor'' se refiere a la sucesión ordenada de menor a mayor con el orden natural de los números reales y con ese orden el primer número racional mayor que no existe.
Dice Torbellino: Lo que sí está claro es que obviamente no hay último punto, la variable nunca termina de "acumular".
Nuevamente habrá que volver a leer la receta con cuidado y encontrar sus deficiencias teóricas para aclarar este entuerto... y eso queda como ejercicio para el lector.
Saludos
S.
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Vamos grynberg! deci que aprobe proba hace rato y que ni loco la vuelvo a cursar, pero sino, sabes como voy a tus clases! Un docente que escucha sumo no puede equivocarse!
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Ahhh, está bien, r1 es el primer valor presentado, pero no el menor de todos. Y nunca vas a encontrar el menor valor de todos para "empezar a acumular", porque no existe. Para cualquier valor que agarres, siempre va a haber uno menor.
Gracias por la respuesta
edit: ortografía
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Spike Spiegel wrote:
Por un lado se celebran las hazañas de San Martín, Bolivar y demases, la reforma de 1918, el cordobazo y otras tantas en Argentina, Latinoamérica y el mundo entero. No sé cuántos habrán llorado mirando Braveheart al grito de FREEDOM de Wallace y dicho "cuántos huevos, viejo", tenido ganas de cambiar el mundo cuando terminaron de ver V for Vendetta o celebrado toda la ficcionaria justicia que solía hacer El Zorro.
Y sin embargo...
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*****
La hice a partir de 1000 puntos. El gráfico de esta función es un fractal hasta donde yo puedo ver. Lo lindo es hacerle zoom y ver como siguen apareciendo detalles.
Les voy a dejar las cosas que usé para generarla así pueden hacerlo.
plot [0:1][-0.05:1.05] 'saltando.data.txt' with steps title ''
(obviamente tienen que guardar los puntos anteriores en un archivo llamado 'saltando.data.txt' que esté en el mismo directorio desde donde ejecutaron gnuplot)
Si no les deja hace zoom directamente, lo pueden lograr cambiando los límites del dominio en el que se grafica:
Code:
plot [0:1e-5][-0.05:1.05] 'saltando.data.txt' with steps title ''
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Quiero agregar un par de comentarios adicionales sobre la función de distribución de la discreta y "saltarina" variable
1.
Una fórmula para la función de distribución de es donde es una función que vale si y en otro caso.
La contribución del -ésimo racional a esa suma es . De modo que, a efectos de tener una idea aproximada de la función de distribución, basta con conocer los primeros racionales de la lista . Por ejemplo, la lista de los racionales con denominadores menores o iguales que contiene elementos que acumulan una masa total de . Un número que se parece al 1. Usando el primer segmento de la lista se pueden obtener aproximaciones de las probabilidades con errores absolutos menores que ,
Por ejemplo, para aproximar el valor , buscamos en la lista los racionales menores o iguales que , determinamos qué posición ocupan en la lista, en este ejemplo son las posiciones y luego sumamos las contribuciones de cada uno de ellos
2.
4WD dice que: Yo me imaginaba que la curva era más """suave""". O sea, a mí me parece que cerca de 1/2 falta muuuuucha discretización. Parece ser que en este caso la imaginación no coincide con los resultados obtenidos. Este hecho debe ser subrayado, porque la teoría de probabilidades produce una buena cantidad de resultados anti-intuitivos. Que en la función de distribución tenga una discontinuidad abrupta no debería llamar mucho la atención porque . Lo que si me parece más dificil de imaginar es que siendo la función de distribución discontinua en todos los racionales del intervalo resulte ser continua en todos los irracionales del intervalo (Ejercicio).
Saludos
S.
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![[tex]P(X \le r_n )[/tex]](images/latex/5bd277e645f75dbf0d207bef0669a0058db93031_0.png "[tex]P(X \le r_n )[/tex]")
(capaz se puede reescribir la sucesión mediante alguna fórmula general, o recurrente, y luego calcular algún límite, aunque ni idea cómo hacerlo).
![[tex]P(X = r_n ) = 1/2^n[/tex]](images/latex/b29ac42a54b630333553056410cc9faf4cadc045_0.png "[tex]P(X = r_n ) = 1/2^n[/tex]")
, y ![[tex]P(X \le r_n ) = \sum\limits_{j = 1}^J {P(X = r_j )}[/tex]](images/latex/a635d388c4d955085a0a9535eedf8c15a48b5f92_0.png "[tex]P(X \le r_n ) = \sum\limits_{j = 1}^J {P(X = r_j )}[/tex]")
, donde ![[tex]r_j /r_j \le r_n[/tex]](images/latex/ef81db57493c436768ca03dbd1eae55315b867fb_0.png "[tex]r_j /r_j \le r_n[/tex]")
. Hice eso hasta un valor finito ![[tex]J[/tex]](images/latex/9ac41b2b3ad2987580ac4d03cb43ae65f7809bfe_0.png "[tex]J[/tex]")
, encontrando a ojo los ![[tex]r_j[/tex]](images/latex/11bef967db84fa30b9a26831e4def654429903bc_0.png "[tex]r_j[/tex]")
porque no sé, a priori, qué poner como argumento de la sumatoria cuando ![[tex]n \to \infty[/tex]](images/latex/4b76f3f1c5b389fb8b57c32b461fde5072607a5c_0.png "[tex]n \to \infty[/tex]")
.
![[tex]-\infty[/tex]](images/latex/55bcbfeeafc90b4e4047c6f3edb0847b3d7eaa4a_0.png "[tex]-\infty[/tex]")
). Sigue siendo cero hasta que encuentra el primer valor con probabilidad no nula. A partir de ese valor, la probabilidad acumulada es la probabilidad de ese primer punto. Dicha probabilidad acumulada se mantiene igual, hasta que llega al segundo punto con probabilidad no nula. A partir de ese punto, la probabilidad acumulada vale la suma de las probabilidades de esos dos puntos. Y así sucesivamente hasta llegar al último valor con probabilidad no nula, a partir del cual la probabilidad acumulada vale uno."
![[tex]F_X(x)=P(X\leq x)[/tex]](images/latex/56e4ac6e7196862b9ed3816d113890cb96b889aa_0.png "[tex]F_X(x)=P(X\leq x)[/tex]")
de una variable discreta cualquiera. Por otro lado tenemos una variable aleatoria ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]")
que no puede tratarse con ese enunciado. ¿Qué se hace frente a esta contradicción? La primera conclusión es que ``la receta'' que se describe en el texto citado es inapropiada para tratar con las variables aleatorias discretas.
![[tex]N[/tex]](images/latex/9448f45ac6411fffcdd92e407160ba4cbe13ce63_0.png "[tex]N[/tex]")
con distribución geométrica de parámetro ![[tex]p\in(0,1)[/tex]](images/latex/a6ff26ab747541a53c69dcaabb2b604b10231639_0.png "[tex]p\in(0,1)[/tex]")
: ![[tex]P(N=n)=(1-p)^{n-1}p[/tex]](images/latex/2c00eeefdf398c0881117ff0d6ebe5124fb67300_0.png "[tex]P(N=n)=(1-p)^{n-1}p[/tex]")
, ![[tex]n=1,2,\dots[/tex]](images/latex/5140bb075b5246b8ff47fc361455813a221a1d4a_0.png "[tex]n=1,2,\dots[/tex]")
) o cuando se quiere tratar con situaciones en las que hay una gran cantidad de eventos y cada uno de ellos tiene baja probabilidad de ocurrir (para esto lo más simple es utilizar variables aleatorias ![[tex]0<\lambda[/tex]](images/latex/6fd323f6b947fa5ede16f6ede824953a7efee370_0.png "[tex]0<\lambda[/tex]")
: ![[tex]P(N=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}[/tex]](images/latex/daa849e9455ebe9d7f7e87d6b6a9d6f6577287f2_0.png "[tex]P(N=n)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}[/tex]")
, ![[tex]n=0,1,2,\dots[/tex]](images/latex/3e050b66a66a8d6fff00a50111f04a51fc59c1a6_0.png "[tex]n=0,1,2,\dots[/tex]")
.) Al margen, estas dos distribuciones se manifiestan naturalmente cuando se abordan las estadísticas de Bose-Einstein y de Maxwell-Boltzman.
[/tex]](images/latex/a8301e002b7d57542731e64dab36ceae0f88b224_0.png "[tex](0,1)[/tex]")
vininendo desde ![[tex]x[/tex]](images/latex/30b5a07f2a22fcb2626031da734012c71b549782_0.png "[tex]x[/tex]")
, cuánto vale la probabilidad de que la variable aleatoria ![[tex]X\leq 0.378[/tex]](images/latex/25d0ad5d78895012b85af79aa96c7d396abe3161_0.png "[tex]X\leq 0.378[/tex]")
nos puede dar una respuesta todo lo precisa que pidamos.
![[tex]r_1[/tex]](images/latex/1442195180e0dbd3c6869602a1c067d61b06afbe_0.png "[tex]r_1[/tex]")
?![[tex]\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0[/tex]](images/latex/cb6a622471db533cd7d2f19d59211dda759b02b1_0.png "[tex]\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0[/tex]")
. Segundo, porque el autor del texto está pensando en variables aleatorias discretas con una cantidad de finita de valores ordenados de menor a mayor ![[tex]x_1<x_2<\cdots<x_n[/tex]](images/latex/afa0c3f5925a765fd1a8133acba234f5a2421831_0.png "[tex]x_1<x_2<\cdots<x_n[/tex]")
tales que ![[tex]\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)=1[/tex]](images/latex/a7ce8f390a7c1b590370552e47422ada1f8cf3ea_0.png "[tex]\sum_{i=1}^{n}P(X=x_i)=1[/tex]")
. Podría haber dicho que ![[tex]F_X(x)=0[/tex]](images/latex/54016d8a2323eeed0c6e6d3a8d37b81b13f0aa81_0.png "[tex]F_X(x)=0[/tex]")
para todo ![[tex]x<x_1[/tex]](images/latex/d1b376fb67bb5a4c6c07ee10febe157928c6c94b_0.png "[tex]x<x_1[/tex]")
y que ![[tex]F_X(x_1)=P(X=x_1)[/tex]](images/latex/598d1f75e24a02ac9bb4b55535eea79851dc93a0_0.png "[tex]F_X(x_1)=P(X=x_1)[/tex]")
. En este punto se debería percibir claramente quién es el llamado ``primer valor con probabilidad no nula'': el valor ![[tex]x_1[/tex]](images/latex/0b2e62159f73f7cbaf10646ad314da748792b7d3_0.png "[tex]x_1[/tex]")
.
![[tex]x_1,x_2,\dots, x_n[/tex]](images/latex/4410ebcbd56e6ae98d4347b1d81153467fbe4a21_0.png "[tex]x_1,x_2,\dots, x_n[/tex]")
?. Lo primero que hay que hacer es ordenar los valores de menor a mayor y ese ordenamiento no necesariamente coincide con el orden en que fueron presentados los ``valores de probabilidad no nula''. Tranquilamente, podría pasar que el primer valor de la lista ![[tex]x_1, x_2,\dots, x_n[/tex]](images/latex/93c17f41fe61d1881ebc9df228a139584fb12be0_0.png "[tex]x_1, x_2,\dots, x_n[/tex]")
no fuese el menor de todos. (Los valores de un dado equilibrado pueden presentarse en la forma ![[tex]6,5,4,3,2,1[/tex]](images/latex/46e16c3ec97f43d770ea7e73a897e2a521a33fb1_0.png "[tex]6,5,4,3,2,1[/tex]")
y de otras ![[tex]719[/tex]](images/latex/8ffa1f355a6bb39787a1bcb099a6b8e96f7f71e2_0.png "[tex]719[/tex]")
maneras). El autor del texto presupone que esos valores están ordenados de menor a mayor pero no lo dice. Si se sigue al pie de la letra la receta y los valores no se ordenan de menor a mayor el primer valor de probabilidad no nula que vamos a encontrar en la lista ![[tex]6[/tex]](images/latex/035a7dfe9dd744bb3b2b6fb63d8648f327e2a6a5_0.png "[tex]6[/tex]")
.
![[tex]r_1,r_2, \dots, r_n, \dots[/tex]](images/latex/dc2102029c811e5ce6a20a3448e57cba8effbc65_0.png "[tex]r_1,r_2, \dots, r_n, \dots[/tex]")
, ordenados de la forma en que se presentaron al principio del tópico, no admite el llamado ``primer valor''? Porque ese ``primer valor'' se refiere a la sucesión ordenada de menor a mayor con el orden natural de los números reales y con ese orden el primer número racional mayor que ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]")
no existe.
![[tex]F_X(x)=P(X\leq x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\mathbf{1}\{r_n\leq x\},[/tex]](images/latex/1fd7e065fe0000883b304454ebcbd18229aa51fa_0.png "[tex]F_X(x)=P(X\leq x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\mathbf{1}\{r_n\leq x\},[/tex]")
donde ![[tex]\mathbf{1}\{r_n\leq x\}[/tex]](images/latex/57036a02af8a277ceb57ac5bd48a773012bc8ecb_0.png "[tex]\mathbf{1}\{r_n\leq x\}[/tex]")
es una función que vale ![[tex]1[/tex]](images/latex/0d42976238de0a06e86d9145d61c6e5316420b70_0.png "[tex]1[/tex]")
si ![[tex]r_n\leq x[/tex]](images/latex/f78501c5afafb8f1d25a0268e5597f1d383e212f_0.png "[tex]r_n\leq x[/tex]")
y ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]")
-ésimo racional ![[tex]r_n[/tex]](images/latex/734d084a8c079888841ce9551faa8a698c951cf4_0.png "[tex]r_n[/tex]")
a esa suma es ![[tex]\frac{1}{2^n}[/tex]](images/latex/03a06968222f0b727ff3b92ac56bf486f26671d2_0.png "[tex]\frac{1}{2^n}[/tex]")
. De modo que, a efectos de tener una idea aproximada de la función de distribución, basta con conocer los primeros racionales de la lista ![[tex]9[/tex]](images/latex/daa1326a5ef4908303da338fbbd29db23cda666e_0.png "[tex]9[/tex]")
contiene ![[tex]27[/tex]](images/latex/bf08b6d48162f48c8b27e6d8abae22be3a6aff7a_0.png "[tex]27[/tex]")
elementos que acumulan una masa total de ![[tex]1-2^{-27}[/tex]](images/latex/4a75ecd7c7de196f372460b43cb9f2122e33764d_0.png "[tex]1-2^{-27}[/tex]")
. Un número que se parece al 1. Usando el primer segmento de la lista ![[tex]\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{1}{6}, \frac{5}{6},\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{4}{7},\frac{5}{7},\frac{6}{7},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9}[/tex]](images/latex/d0b865bcbdfb98539124bda3baa55f94d05df63a_0.png "[tex]\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{1}{6}, \frac{5}{6},\frac{1}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{4}{7},\frac{5}{7},\frac{6}{7},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{9},\frac{2}{9},\frac{4}{9},\frac{5}{9},\frac{7}{9},\frac{8}{9}[/tex]")
se pueden obtener aproximaciones de las probabilidades ![[tex]P(X\leq x)[/tex]](images/latex/3e2c5ccbef56e52d50538cc1ab882c1bbb80551e_0.png "[tex]P(X\leq x)[/tex]")
con errores absolutos menores que ![[tex]2^{-27}[/tex]](images/latex/46bd5ec026ed88446bb58ec80fd0bfb4c566510e_0.png "[tex]2^{-27}[/tex]")
,
![[tex]F_X(8/13)[/tex]](images/latex/949a58711b37e95aa7a08140874bf1cb8f3306b4_0.png "[tex]F_X(8/13)[/tex]")
, buscamos en la lista los racionales menores o iguales que ![[tex]\frac{8}{13}[/tex]](images/latex/c792390e9240d7bb164b36bcce137d9ed06399a9_0.png "[tex]\frac{8}{13}[/tex]")
, determinamos qué posición ocupan en la lista, en este ejemplo son las posiciones ![[tex]1, 2, 4, 6, 7, 8,10,12,13,14, 15, 18,19, 22, 23, 24, 25[/tex]](images/latex/c6dd2434953ddc340943fccdc9b7c2387b256a71_0.png "[tex]1, 2, 4, 6, 7, 8,10,12,13,14, 15, 18,19, 22, 23, 24, 25[/tex]")
y luego sumamos las contribuciones de cada uno de ellos
![[tex]F_X(8/13)\approx 2^{-1}+2^{-2}+2^{-4}+2^{-6}+\cdots+2^{-22}+2^{-23}+2^{-24}+2^{-25}\approx0.841284245[/tex]](images/latex/c746137652ec7f06c4a56cc4b7040d32c96735c3_0.png "[tex]F_X(8/13)\approx 2^{-1}+2^{-2}+2^{-4}+2^{-6}+\cdots+2^{-22}+2^{-23}+2^{-24}+2^{-25}\approx0.841284245[/tex]")
![[tex]1/2[/tex]](images/latex/97020bfdbc7600a5eefc00bf96def522b63097fd_0.png "[tex]1/2[/tex]")
la función de distribución tenga una discontinuidad abrupta no debería llamar mucho la atención porque ![[tex]P(X=1/2)=1/2[/tex]](images/latex/8dc57406b22c31b3ba1b48c0818459313b78599d_0.png "[tex]P(X=1/2)=1/2[/tex]")
. Lo que si me parece más dificil de imaginar es que siendo la función de distribución discontinua en todos los racionales del intervalo 