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Neolithing
Nivel 4
Age: 35
Joined: 11 Feb 2010
Posts: 88
Carrera: Informática
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Hola, estaba haciendo este ejercicio y me agarraron un par de dudas:
Primero, se puede hacer la serie de fourier de una funcion con discontinuidades? Por lo que tengo entendido, si se puede. La extiendo par , quedandome como un "modulo de X" con puntos discontinuos en X=0 Y x=pi.
Si asumo que las discontinuidades no me joden para sacar la serie, entocnes procedo normalmente, sacando los Coeficientes de Ao y An ( con Bn = O por extension par , que es lo que me piden , con cosenos ). Me queda que Ao = 2Pi, y An = 0 si n es par y An = -8 / n¨2 * Pi. si n es impar.
Con respecto a la 2 parte, lo que habia pensado es lo siguiente, como para poder hacer integracion m a m desde la serie ya obtenida solo me pide que sea continua a trozos, puedo haceerlo. El tema es el sigueinte, como hacerlo. Lo que pense fue: Integro de 0 a X toda la serie, quedandome la serie de x´2 . el tema es que aca tendria esa serie pero la que me piden es la que converge a LA INTEGRAL DE x¨2, tendria que integrar de la misma manera otra vez para obtener esa serie?. o mande fruta?.
Saludos
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Neolithing
Nivel 4
Age: 35
Joined: 11 Feb 2010
Posts: 88
Carrera: Informática
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| Con respecto a la convergencia que me piden, converge uniformemente a la funcion entre (0 y Pi) y (Pi y 2PI) . converge puntualmente al promedio de f(+x) + f(-x)/2 para los puntos de x=pi, y x=0. y para (-2PI, 0) converge a la funcion extendida.
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koreano
Nivel 9
Joined: 15 Jul 2010
Posts: 1796
Carrera: No especificada
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El a) me queda:
![[tex]\frac{a_0}{2} = \pi[/tex]](images/latex/2c97875039ae9c042c21d617775d51230a978179_0.png "[tex]\frac{a_0}{2} = \pi[/tex]")
![[tex]a_n = \frac{4}{\pi n^2}((-1)^n -1)[/tex]](images/latex/9c76774b549f1134c7b9c0d59caf270d22e20fad_0.png "[tex]a_n = \frac{4}{\pi n^2}((-1)^n -1)[/tex]")
Que es mas o menos lo mismo que vos pero escrito entero. Lo que decís respecto a la convergencia está bien, visto así por encima.
Para el b) mandaste fruta cualquiera. Lo que tenés que usar es la identidad de Parseval. En el caso mas general tenés:
![[tex] \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) [/tex]](images/latex/f2663e8aa49d6b264eb8aab919db7fd253e1b28d_0.png "[tex] \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^2 \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) [/tex]")
Para este caso resulta:
![[tex]\frac{2}{4\pi} \int_{-2\pi}^{2\pi} x^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2[/tex]](images/latex/2ffc925662779d3de34adce4830a7f76087a90d4_0.png "[tex]\frac{2}{4\pi} \int_{-2\pi}^{2\pi} x^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2[/tex]")
Como querés la integral que te pidieron, por paridad de la función podés escribir:
![[tex]\frac{4}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2[/tex]](images/latex/8abb1a1f27cec38688b7384adacabf1b336ee9ea_0.png "[tex]\frac{4}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2[/tex]")
Reemplazando los coeficientes y despejando queda:
![[tex]\int_0^{2\pi} x^2 dx = \pi \left( 2\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{\pi n^2} ((-1)^n - 1) \right)^2 \right) = 2\pi^3 + \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{\pi n^2} ((-1)^n - 1) \right)^2 [/tex]](images/latex/af00671c58d6010a57db176795333c68be885135_0.png "[tex]\int_0^{2\pi} x^2 dx = \pi \left( 2\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{\pi n^2} ((-1)^n - 1) \right)^2 \right) = 2\pi^3 + \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{\pi n^2} ((-1)^n - 1) \right)^2 [/tex]")
Verificación: http://tinyurl.com/6pucz7a
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