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Duda expansión en serie de Laurent
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koreano
Nivel 9

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Carrera: No especificada

Posted: Sun Nov 06, 2011 4:53 pm Post subject: Duda expansión en serie de Laurent


Quiero evaluar la integral: $[tex]\oint_C f(z) dz = \oint_C \frac{dz}{(z+2)(z+1/2)}[/tex]$ Donde $[tex]C: \|z\| = 1[/tex]$ recorrida en sentido anti-horario. Me queda algo así, con ROC: $[tex]\frac{1}{2} < \|z\| < 2[/tex]$ : $[tex]f(z) = \frac{1}{3} \sum_{n=-\infty}^0 \frac{2^{(n+1)}}{(-1)^n} z^{(n-1)} -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} z^n[/tex]$ Entonces queda que los residuos son $[tex]\frac{2}{3}[/tex]$ y $[tex]0[/tex]$ respectivamente. Lo que me hace ruido es que el residuo está dando 0 para la segunda. O sea, está bien que de 0 porque no está adentro de la curva el polo $[tex]z=2[/tex]$ pero no sabía que la serie "tenía la información" de no se está incluyendo al polo ese entonces el residuo es 0. La pregunta es, si quiero sacar los residuos de la expansión en serie (ya sé que es mas fácil en este caso con la derivada/fórmula para polos), tengo que asegurarme que la expansión sea convergente en todos los puntos de la curva a través de la que integro? --- Alto fail wolfram: - http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%282z%5E2+%2B5z+%2B+2%29 - http://www.wolframalpha.com/input/?i=residues+1%2F%282z%5E2+%2B5z+%2B+2%29 - http://www.wolframalpha.com/input/?i=residues+1%2F%28%28z%2B2%29%28z%2B1%2F2%29%29

df
Nivel 9

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Carrera: Civil
CARRERA.civil.3.jpg

Posted: Sun Nov 06, 2011 4:58 pm Post subject: (No subject)


No, solo tiene que ser un desarrollo centrado en la singularidad. No entiendo muy bien, con el mismo desarrollo en serie calculaste los residuos en dos puntos distintos? Solo necesitas conocer el residuo en -1/2.

_________________
$[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]$

Jackson666
Nivel 9

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Carrera: Electricista
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Posted: Sun Nov 06, 2011 5:01 pm Post subject: (No subject)

La integral ya sabes cuánto da, porque usas FIC y te queda $[tex]2\pi i \cdot (-1/2 + 2)^{-1} = 4/3 \pi i [/tex]$ .

Además, tené en cuenta lo que te dijo df: si queres calcular el residuo en -1/2 tenes que centrar tu serie en ese punto. Y otra cosa más: tenes una sola singularidad dentro de esa región.

koreano wrote:

La pregunta es, si quiero sacar los residuos de la expansión en serie (ya sé que es mas fácil en este caso con la derivada/fórmula para polos), tengo que asegurarme que la expansión sea convergente en todos los puntos de la curva a través de la que integro?

No entiendo del todo esta pregunta. Pero no podes calcular una integral de línea sobre una curva que pasa por una singularidad de la función; si esa era tu pregunta.

koreano
Nivel 9

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Carrera: No especificada

Posted: Sun Nov 06, 2011 5:26 pm Post subject: (No subject)


Lo que hice fue usar fracciones simples y sacar la serie, todo centrado en $[tex]z=0[/tex]$ . Y sí, la integral me tiene que dar $[tex]2 \pi i \frac{2}{3}[/tex]$ y es justamente lo que me está dando con la serie centrada en $[tex]z=0[/tex]$ (no en ninguna de las singularidades). Lo 'especial' es que la región de convergencia es la que marqué en el gráfico, entre las dos singularidades, entonces todas las curvas cerradas alrededor del 0 que estén en esta región van a encerrar solo a la singularidad cuyo residuo es $[tex]\frac{2}{3}[/tex]$ . Para calcular el residuo pensé que la serie tenía que estar centrada en la singularidad, pero en este caso si te fijás, cuando reemplazás para los $[tex]n[/tex]$ en cada serie tal que te quede el termino $[tex]\frac{1}{z}[/tex]$ te da que la suma es $[tex]\frac{2}{3}[/tex]$ . Por eso pregunto si me perdí algun teorema o algo ya que me está dando bien el resultado sin centrar la serie en la singularidad.

Jackson666
Nivel 9

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Posted: Sun Nov 06, 2011 7:09 pm Post subject: (No subject)


Es pura casualidad que te de bien el número. La serie tiene que estar centrada en la singularidad para calcular el residuo, sino te puede dar cualquier cosa. La definición de residuo dice más o menos así (medio a lo bruto te lo escribo): El residuo de $[tex]f(z)[/tex]$ en $[tex]z_{0}[/tex]$ es el coeficiente $[tex]b_{1}[/tex]$ del desarrollo en serie de Laurent de $[tex]f(z)[/tex]$ centrado en $[tex]z_{0}[/tex]$ .

sabian_reloaded
Nivel 9

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Posted: Sun Nov 06, 2011 8:25 pm Post subject: (No subject)


No comparto con Jackson y Df. Si bien nunca me puse a intentar probarlo, siempre me pareció que el b_1 de la serie de Laurent iba a ser igual a la suma de los residuos de todas las singularidades contenidas en el disco de convergencia. Sé que, un par de veces, numéricamente se cumplió, por eso empecé a intuirlo. De esto hace 2 años igual, debería revisar algún cuaderno a ver bien como venía la mano.

koreano
Nivel 9

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Carrera: No especificada

Posted: Sun Nov 06, 2011 8:42 pm Post subject: (No subject)


Eso es lo que intuyo también, ya que la definición permite: $[tex]Res(f, z=z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_C f(z) \, dz [/tex]$ Donde C es una circunferencia en sentido antihorario que se pueda hacer lo mas chico que uno quiera alrededor de $[tex]z_0[/tex]$ . Ahora bien, si tu C solo puede estar en un anillo cuyos radios internos y externos son 2 singularidades (por la región de convergencia de la expansión de la función), entonces la integral siempre va a dar el residuo de la singularidad "interior" y o casualidad la expansión en serie que tiene ese anillo como ROC da residuo 0 en la singularidad exterior.

Jackson666
Nivel 9

Age: 37
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Posted: Sun Nov 06, 2011 9:59 pm Post subject: (No subject)


Leo, leo pero no entiendo cuál es su idea la verdad. ¿Lo que dicen es que el residuo no cambia si centro la serie en otro punto? Porque si es eso, basta con mostrar un contra ejemplo y listo. @koreano, Es verdad lo que escribiste ahí del residuo. Pero no te olvides que eso es para una única serie y ese es el coeficiente $[tex]b_{1}[/tex]$ para esa serie y para ninguna otra. Es decir, si cambia la ROC, cambia ese coeficiente. De hecho, hay funciones que según donde centres su DSL, tienen parte principal o no.

Franzl
Nivel 7

Age: 33
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Carrera: Mecánica

Posted: Sun Nov 06, 2011 10:17 pm Post subject: (No subject)


igualmente me parece que desarrollar en serie de Laurent es complicar las cosas.. solo necesitas el residuo en z=-1/2

Yankey
Nivel 5

Age: 33
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Posts: 181

Carrera: Electricista

Posted: Mon Nov 07, 2011 1:26 am Post subject: (No subject)

Lo que dice Jackson es en todo momento correcto.
La verdad que no se les entiende bien, y por ello voy a entregar resultados para que ustedes se ayuden a ustedes mismos porque veo mucha confusión en este post.
Aclaro, que más bien que si calculamos la circulación de un campo conservativo en un lazo de Jordan, a menos que haya fuentes o sumideros nos va a dar cero como bien cuenta Cauchy. Si los hay entonces mientras tomemos cualquier lazo que encierre a las mismas fuentes o sumideros de antes, obtenemos lo mismo. Claro, esa es la esencia de los residuos. Y de hecho, podemos dar muchas vueltas alrededor de la fuente y de distintos modos y definimos índice de un ciclo y ya esta. Entonces bueno si yo quiero obtener un desarrollo en serie de Laurent entonces tengo que procurar que la corona de convergencia sea aquella donde la función es holomorfa, de última añadimos el conjunto de singularidades aisladas y la definimos meromorfa, y fue, no?.
Hasta aquí todo bien, pero entonces... si yo desarrollo alrededor de cualquier punto de la corona de convergencia, allí obtengo un conocido desarrollo en serie de potencias. Toda función holomorfa en una corona, y en particular en un vecinal de una singularidad aislada a admite un desarrollo de Laurent alrededor de la misma con una región de convergencia debidamente restringida. Pero OJO, la serie de Laurent es única alrededor de una singularidad, y su corona de convergencia no incluye otras!! por lo que si tenes dos singularidades necesitas dos series de Laurent.

sabian_reloaded wrote:

No comparto con Jackson y Df.

Si bien nunca me puse a intentar probarlo, siempre me pareció que el b_1 de la serie de Laurent iba a ser igual a la suma de los residuos de todas las singularidades contenidas en el disco de convergencia.

No entiendo esto, singularidades contenidas en el disco de convergencia??

-----------------------------

koreano wrote:

Ahora bien, si tu C solo puede estar en un anillo cuyos radios internos y externos son 2 singularidades, entonces la integral siempre va a dar el residuo de la singularidad "interior" y o casualidad la expansión en serie que tiene ese anillo como ROC da residuo 0 en la singularidad exterior.

No entiendo esto, como vas a computar el residuo de una singularidad usando un desarrollo en serie de Laurent alrededor de otra singularidad, si la primera no pertenece a la región de convergencia de tu desarrollo en serie??
El desarrollo no alcanza a tu "segunda singularidad" y por tanto tendrás que conseguir uno nuevo, o usar la función. Los desarrollos en serie "imitan a la función" solo en su región de convergencia, no sirven para cualquier lugar. De hecho se puede muchas veces para estas funciones con cantidad finita de polos en distintos lugares, pero aislados efectuar el desarrollo de Mittag-Leffler cuya serie converge uniformemente sobre compactos y define una función meromorfa en una región.

Bueno, ya que estamos dejo definiciones para que no queden dudas:

Resultado 1:
Primero ya todos sabemos acá que la serie de Laurent define en su corona de convergencia una función holomorfa:
$[tex]f(z)=\sum_{-\infty}^\infty{(z-a)^n} [/tex]$
Pero hay más, y esto ya lo sabemos también:
"Toda función holomorfa en una corona admite un desarrollo de Laurent en la corona"

El siguiente lema debería saciar su apetito gente:

Lema : Sea f una función holomorfa en la corona
$[tex]A:={z :r< \left |{z-a}\right | < R}[/tex]$
Una condición necesaria y suficiente para que f admita un desarrollo de Laurent en A es que exista una función $[tex]f_i[/tex]$ holomorfa en
$[tex]{z : \left |{z-a}\right | < R}[/tex]$ ; y otra $[tex]f_{-1}[/tex]$ holomorfa en la región de radio mayor al radio menor de la corona con $[tex]\displaystyle\lim_{z \to{+}\infty}{f_{-1}(z)=0}[/tex]$ , de modo que:
$[tex]f(z)=f_1 (z) + f_{-1} (z) [/tex]$ si r < |z − a| < R
Las funciones $[tex]f_{1}[/tex]$ y $[tex]f_{-1}[/tex]$ , son únicas bajo las condiciones anteriores

Demostración de unicidad:

Sea f = $[tex]g_{-1}[/tex]$ + $[tex]g_{1}[/tex]$ otra descomposición similar. $[tex]f_{-1}(z)[/tex]$ − $[tex]g_{-1}(z)[/tex]$ ) = $[tex]g_{1}(z)[/tex]$ − $[tex]f_{1}(z)[/tex]$ si r < |z −a| < R y se puede definir h ∈ H(C) por
h(z) = $[tex]f_{-1}(z)[/tex]$ − $[tex]g_{-1}(z)[/tex]$ si el radio de la región centrada en a es mayor al radio interior y
h(z) = $[tex]g_{1}(z)[/tex]$ - $[tex]f_{1}(z)[/tex]$ si |z−a| < R.
Como lím z → ∞ h(z) = límz → ∞( $[tex]f_{-1}(z)[/tex]$ − $[tex]g_{-1}(z)[/tex]$ ) = 0 resulta que h es acotada, y por lo tanto constante en virtud del teorema de Liouville.
Claramente el valor constante de h es 0, lo que significa que $[tex]f_{1}[/tex]$ = $[tex]g_{1}[/tex]$ y que $[tex]f_{-1}[/tex]$ = $[tex]g_{-1}[/tex]$

-------------

Ante esto:

koreano wrote:

pero no sabía que la serie "tenía la información" de no se está incluyendo al polo ese entonces el residuo es 0.

entrego lo siguiente porque pienso que es más instructivo que lo veas con la definición precisa y relaciones lo que sea que cuestionaste de todo este tema por el cual tiraste el post:
Resultado 2:
Definición (Residuos) :Para cualquier aplicación holomorfa f en una región $[tex]\Omega[/tex]$ y singularidad aislada a ∈ C de f, el residuo de f en a no es más que el único $[tex]\alpha\in{C}[/tex]$ que hace que la función $[tex]f(z) - ({\alpha}/{z-a})[/tex]$ tenga primitiva en cada vecinal $[tex] V(a, \rho) \subset \Omega [/tex]$ .

Demostración:

Esto es sencillo de demostrar, habría que tomar la integral sobre un camino regular por tramos de la nueva función $[tex]g(z)=f(z) - ({\alpha}/{z-a})[/tex]$
y debiera darnos cero.
Eso sucede en efecto para nuestro $[tex]\alpha[/tex]$ , y su unicidad sale al toque:
Si no fuera único existiría un $[tex]\beta\in{C}[/tex]$ que tiene la misma propiedad que $[tex]\alpha[/tex]$ por lo que $[tex](\alpha - \beta)/(z-a)[/tex]$ tiene primitiva en $[tex] V(a, r) [/tex]$ y eso ocurre si $[tex]\alpha - \beta =0[/tex]$ nomás.

--------------------------

Ahora me voy de tema:

Ya que estamos en ingeniería y no en matemática, cuento un uso del teorema de los residuos, así salimos un poco de tanto plano complejo.
Antes que nada aclaro para el que no lo sepa, cuando hablo de funciones meromorfas, no son sino las aplicaciones que son holomorfas restringidas al abierto $[tex] \Omega_o := \Omega[/tex]$ \ $[tex]P(f)[/tex]$ con P(f) los puntos $[tex]z\in{\Omega} : f(z)=\infty[/tex]$ siempre y cuando los mismos sean aislados.

Por ejemplo, para electrostática:

Podemos calcular el flujo eléctrico en situaciones bidimensionales bajo la forma del teorema de los residuos identificando en cada caso a las posiciones de las fuentes como los polos y a sus magnitudes (el valor de su carga) como los residuos, respectivamente.
En este caso consideremos los campos bidimensionales asociados a distribuciones uniformes de carga eléctrica en N líneas rectas infinitas paralelas con densidad lineal de carga: $[tex]\lambda_i [/tex]$ que cortan al plano en la posición $[tex]\vec{r'}[/tex]$
$[tex]\vec{E}(\vec{r_i})=\sum_{i=1}^n {\frac {\lambda_i} {2 {\pi}r\epsilon_0}\hat{r}} [/tex]$ o bien $[tex]\vec{E}(\vec{r_i})=\sum_{i=1}^n \frac {2 k \lambda_i} {r} \hat{r} [/tex]$
con $[tex]k=\frac{1} {4 \pi \epsilon_0}[/tex]$ y $[tex]\vec{r}=\vec{r} -{\vec{r'_i}}[/tex]$

El flujo del campo eléctrico lo evaluamos conociendo el diferencial de area de una superficie gaussiana cilíndrica de investigación de altura L con generatrices paralelas a las fuentes y bases transversales a las fuentes, y dR el elemento de desplazamiento tangencial a la curva C de intersección del cilindro con nuestro plano (transversal a las fuentes), que es:
$[tex]\vec{dS}=d\vec{R} \wedge \hat{k} L[/tex]$
y el flujo del campo a través del cilindro se reduce a la integral alrededor
de la curva C, i.e. :
$[tex]\oint_C {\vec{E} \cdot{d\vec{S}}}= k 4\pi \sum_{i\subset{C_i}}{ \lambda_i L}[/tex]$ De acuerdo a lo que te prometí esto es que cada residuo de cada singularidad (usando la función eh, no el desarrollo en serie de laurent alrededor de una de las singularidades y mal extendido, je) es, sumandolos la $[tex]Q_{encerrada total}[/tex]$ por nuestra gaussiana.
Lo que indica que el flujo de la intensidad eléctrica es proporcional a la suma de las cargas $[tex]Q_i=\lambda_i L[/tex]$ contenidas dentro del cilindro.
La ley de Gauss para la situación bidimensional también se puede expresar en la forma del teorema del residuo.
Para esto se hace uso de las correspondencias entre los espacios homeomorfos C y $[tex]R^2[/tex]$ :
$[tex] \vec{r}-{\vec{r'}_i}= \rho \hat{\rho}\Longleftrightarrow{z-z_i=\rho e^{i \varphi_i}} [/tex]$
$[tex]\hat{ \rho}=cos(\varphi_i) \hat{i} + sen(\varphi_i)\hat{j} \Longleftrightarrow{e^{i \varphi_i}} [/tex]$
$[tex]\vec{dr}=d\rho{\hat{\rho}}+ {\rho} d\varphi\hat{\varphi} \Longleftrightarrow{dz=e^{i \varphi_i} d\rho +ie^{i \varphi_i}\rho d \varphi}[/tex]$
$[tex]\hat{\varphi}\Longleftrightarrow{ie^{i \varphi_i }}[/tex]$
$[tex]dr_\perp = \rho d\varphi_i \Longleftrightarrow{dz=ie^{i \varphi_i} \rho d \varphi_i}[/tex]$

Si hacemos la la identificación de la función meromorfa, le damos forma de integral en el plano complejo:

$[tex]\sum_{i=1}^n{\frac{\hat{r}\cdot{\vec{E}(\vec{r})}}{e^{i \varphi_i}}} \Longleftrightarrow{f(z)=\sum_{i=1}^n{\frac{k2 \lambda_i}{z-z_i}}}[/tex]$ reescribiendo nuestro resultado anterior como:
$[tex]\oint_{S_c} \vec{E}(\vec{r})\cdot{\vec{dS}}=\sum_{i=1}^n {k2 \lambda_i L\oint_C{\frac{dz}{i(z-z_i)}}}[/tex]$
$[tex]=(L/i)\oint_C {f(z) dz}=2k\pi \sum_{i\subset{C_i}}2L\lambda_i = 4k\pi \sum_{i\subset{C_i}}L\lambda_i =Q_{enc (gaussiana)}/{\epsilon_0}[/tex]$

con lo que queda probado que está bien hecho!! Smile

sabian_reloaded
Nivel 9

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Posted: Mon Nov 07, 2011 7:59 am Post subject: (No subject)

Yankey wrote:

sabian_reloaded wrote:

No entiendo esto, singularidades contenidas en el disco de convergencia??

Anillo, disculpe.

koreano
Nivel 9

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Carrera: No especificada

Posted: Mon Nov 07, 2011 8:30 am Post subject: (No subject)

Yankey wrote:

Esa es la gracia del post, no estoy calculando EL residuo en ese punto, estoy viendo que si uso el desarrollo en un anillo que no contiene a la singularidad, me da 0 el término de 1/z.

Muy copado lo de electrostática, creo que lo había leído en el Wunsch pero lo había salteado porque estaba buscando otra cosa.

Jackson666
Nivel 9

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Carrera: Electricista
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Posted: Mon Nov 07, 2011 11:09 am Post subject: (No subject)


Pero eso que comentas de 1/z siempre te va a pasar, no es ningún teorema ni nada eso... Sale simplemente de ver que las singularidades son las que limitan las ROC. Igual sigo sin entender por qué decís "... si uso el desarrollo en un anillo que no contiene a la singularidad ...", como si las ROC contuvieran a las singularidades de f(z) en su interior. O sea, nunca dentro de una ROC vas a encontrar una singularidad. De ahí su nombre, ¿no?. Fijate por ejemplo la siguiente integral: $[tex]\oint_{C}{\frac{dz}{z-1}}[/tex]$ , imaginate que C sea una curva de Jordan (una circunferencia por ejemplo) cualquiera centrada en el origen con su radio distinto de 1 y mayor que cero. Uno dice "ah, listo, vale $[tex]2\pi i[/tex]$ por FIC sin importar el radio de C porque la función 1 es analítica donde sea". Pero resulta que el integrando admite primitiva mientras el radio de C sea 0 < r < 1 (alguna rama conveniente del logaritmo por ejemplo). Por el teorema de Cauchy-Goursat, su integral tiene que dar 0 para cualquier curva de esa región (lema de deformación de caminos). Si su integral es 0, es porque la suma de sus residuos es 0. Como dentro de esa región no tiene singularidades (i.e., no tiene parte principal) necesariamente su residuo es 0. Ahora imaginate que estás calculando la integral sobre una curva con r > 1. Si usas el DSL anterior, seguiría admitiendo primitiva la función, ya que su integral daría 0, lo cual no es cierto. EDIT: Agregué aclaración.

Last edited by Jackson666 on Mon Nov 07, 2011 10:00 pm; edited 1 time in total

MartinC
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Carrera: Electrónica
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Posted: Mon Nov 07, 2011 11:15 am Post subject: (No subject)

Yankey wrote:

El siguiente lema debería saciar su apetito gente:

Lema : Sea f una función holomorfa en la corona
$[tex]A:={z :r< \left |{z-a}\right | < R}[/tex]$
Una condición necesaria y suficiente para que f admita un desarrollo de Laurent en A es que exista una función $[tex]f_i[/tex]$ holomorfa en
$[tex]{z : \left |{z-a}\right | < R}[/tex]$ ; y otra $[tex]f_{-1}[/tex]$ holomorfa en la región de radio mayor al radio menor de la corona con $[tex]\displaystyle\lim_{z \to{+}\infty} f_{-1}(z)=0[/tex]$ , de modo que:
$[tex]f(z)=f_1 (z) + f_{-1} (z) [/tex]$ si r < |z − a| < R
Las funciones $[tex]f_{1}[/tex]$ y $[tex]f_{-1}[/tex]$ , son únicas bajo las condiciones anteriores

Eh?

La función $[tex]f(z)=\frac{1}{z}[/tex]$ es holomorfa en cualquier corona centrada en el origen.

Las funciones $[tex]f_{1}(z)=\frac{1}{2z}[/tex]$ y $[tex]f_{-1}(z)=\frac{1}{2z}[/tex]$ cumplen en la corona tu descomposición $[tex]f(z)=f_{1}(z)+f_{-1}(z)[/tex]$ ; con $[tex]\displaystyle\lim_{z \to{+}\infty} f_{-1}(z)=0[/tex]$ , ambas holomorfas en la corona centrada en el origen.

Las funciones $[tex]g_{1}(z)=\frac{1}{3z}[/tex]$ y $[tex]g_{-1}(z)=\frac{2}{3z}[/tex]$ cumplen en la corona tu descomposición $[tex]f(z)=g_{1}(z)+g_{-1}(z)[/tex]$ ; con $[tex]\displaystyle\lim_{z \to{+}\infty} g_{-1}(z)=0[/tex]$ , ambas holomorfas en la corona centrada en el origen.

Yo no veo la unicidad, ni tampoco veo a qué viene todo eso.

_________________

Jackson666
Nivel 9

Age: 37
Joined: 01 Feb 2009
Posts: 1980
Location: Martínez
Carrera: Electricista
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Posted: Mon Nov 07, 2011 11:24 am Post subject: (No subject)


Pero $[tex]1/2z[/tex]$ no es holomorfa en $[tex]\|z\|<R[/tex]$ para ningún R, como pide el lema.

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