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Sebacuervo
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Mensajes: 107

Carrera: Informática
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 7:25 pm  Asunto:  Duda resolucion ej Laplace Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenas!

La consulta es sobre la resolución de este ejercicio (coloquio del 18/02/2010). Fíjense si hay alguna boludez escrita (muy probable) y si lo que escribo al final esta ok.

Enunciado:
Resolver mediante la transformada de laplace:
[tex] y''(t)-2y'(t)+5y(t)=f(t) [/tex] siendo:
[tex] f(t) = \left\{ \begin{array}{ll}e^t & 0 \le t \le 1\\\ 0 & t > 1\ \\ \end{array} \right. [/tex]
Con condiciones iniciales nulas en [tex]t=0[/tex]

Resolución:
1. Aplico TL a ambos miembros de la ecuación. Uso linealidad y llego a la expresión de la transformada de la función [tex]y(t)[/tex] buscada.

[tex] L[y''(t)] - 2L[y'(t)] + 5L[y(t)] = L[f(t)] [/tex]

Aplico propiedades de la TL para las derivadas y uso la hipótesis de condiciones iniciales nulas en [tex]y=0[/tex]
(Nota: [tex]Y(s)=L[y(t)][/tex] y [tex]F(s)=L[f(t)][/tex])
[tex] s^2Y(s)-y(0)-y'(0)-2sY(s)-y(0)+5Y(s) = F(s)[/tex]
[tex] s^2Y(s)-2sY(s)+5Y(s) = F(s)[/tex]
[tex] Y(s) = \frac {F(s)}{s^2-2s+5}[/tex]

2. Hallo [tex] F(s)=L[f(t)] [/tex]

Expreso [tex] f(t) [/tex] mediante la funcion escalón unitario:
[tex]f(t)=e^t(H(t)-H(t-1))[/tex]
[tex]L[f(t)]=L[e^t(H(t)-H(t-1))]=L[e^tH(t)] - L[e^tH(t-1)][/tex]
Por un lado
[tex]L[e^tH(t)]= \frac {1}{s-1}[/tex]
Y por el otro: (2do teorema de traslación ( [tex] L[f(t)H(t-a)]=e^{-as}L[f(t+a)] [/tex] )
[tex] L[e^tH(t-1)]=e^{-s}L[e^{t+1}]=\frac {e^{1-s}}{s-1} [/tex]
ya que [tex] L[e^{t+1}]=L[e^t.e^1]=e^1L[e^t][/tex]

Entonces,
[tex]F(s)=\frac {1}{s-1} - \frac {e^{1-s}}{s-1}=\frac{1-e^{1-s}}{s-1}[/tex]

3. Antitransformo Y(s)
[tex] Y(s) = \frac {1-e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)} = \frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)} - \frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]
3.1 Separo el desarrollo en 2:
[tex]Y_1(s)=\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]
[tex]Y_2(s)=\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}[/tex]

3.2 Hallo [tex]y_1(t)[/tex]
Fracciones simples: [tex]\frac {1}{(s^2-2s+5)(s-1)}=\frac{As+B}{(s^2-2s+5)} + \frac{C}{s-1}[/tex]

3.2.1 Multiplico ambos miembros por s-1 y evalúo el límite de s tendiendo a 1, de donde sale que [tex]C=1/4[/tex]
3.2.2 Con el valor de C hallado, doy valores a s y hallo A y B (Con s=0, [tex]B=1/4[/tex] y con s=2 [tex]A=-1/4[/tex])

[tex] y_1(t)=L^{-1}[\frac{-s/4 + 1/4}{s^2-2s+5}] + L^{-1}[\frac{1/4}{s-1}] = -1/4L^{-1}[\frac{s-1}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{1}{s-1}][/tex]

Entonces,
[tex]y_1(t)=-1/4 \cos(2t).e^t + 1/4.e^t=\frac{e^t}{4}(1-\cos(2t))[/tex]


3.3 Hallo [tex]y_2(t)[/tex]
[tex]y_2(t)=L^{-1}[\frac {e^{1-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}]=eL^{-1}[\frac {e^{-s}}{(s^2-2s+5)(s-1)}][/tex]
Acá es donde dudo que ésto este bien: (Uso la misma descomposición en fracciones simples que antes y multiplico por [tex]e^{-s}[/tex]:
[tex] y_2(t)=e[-1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}(s-1)}{(s-1)^2+4}] + 1/4L^{-1}[\frac{e^{-s}}{s-1}]][/tex]
En donde aplicando la inversa del 2do teorema de traslación llego a que:
[tex] y_2(t)=e[\frac{-e^{t}}{4}\cos(2t)H(t-1) + \frac{e^{t}}{4}H(t-1)]=e[\frac{e^{t}}{4}H(t-1)(1-\cos(2t))][/tex]

Finalmente:

[tex]y(t)=\frac{e^t}{4}[(1-\cos(2t))H(t) + e(\cos(2t)-1)H(t-1)][/tex]

Que les parece?

Gracias y perdón por tanta ecuación Sad

Saludos!!

_________________
Seba.

Escorpio Género:Masculino Rata OfflineGalería Personal de SebacuervoVer perfil de usuarioEnviar mensaje privado
df
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 7:29 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
[tex]L(f(t-a)H(t-a))=e^{-a s} F(s)[/tex]
O sea, tenés que escribir [tex]e^t[/tex] como [tex] e^{t-1+1}=e*e^{t-1} [/tex]

_________________
[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]

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Sebacuervo
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 7:38 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

df escribió:
Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
[tex]L(f(t-a)H(t-a))=e^{-a s} F(s)[/tex]
O sea, tenés que escribir [tex]e^t[/tex] como [tex] e^{t-1+1}=e*e^{t-1} [/tex]


Claro, lo que puse lo saqué del Zill 6ta edición como la "forma alternativa" del 2do teorema de traslación (Capítulo 7, página 319)
Ya que yo no dispongo de la forma [tex] L[f(t-a)H(t-a)][/tex] sino de [tex] L[f(t)H(t-a)][/tex]

Ahora reviso si daría lo mismo

gracias!

_________________
Seba.

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Sebacuervo
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 7:56 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Sebacuervo escribió:
df escribió:
Guarda con lo que pusiste del segundo teorema de traslación, es
[tex]L(f(t-a)H(t-a))=e^{-a s} F(s)[/tex]
O sea, tenés que escribir [tex]e^t[/tex] como [tex] e^{t-1+1}=e*e^{t-1} [/tex]


Claro, lo que puse lo saqué del Zill 6ta edición como la "forma alternativa" del 2do teorema de traslación (Capítulo 7, página 319)
Ya que yo no dispongo de la forma [tex] L[f(t-a)H(t-a)][/tex] sino de [tex] L[f(t)H(t-a)][/tex]

Ahora reviso si daría lo mismo

gracias!


Efectivamente, estaba mal (hay una "u" en esa "Forma alternativa que es u=t-a)
De todas formas, sigo obteniendo lo mismo:
[tex] L[e^tH(t-1)]=L[e^{t-1+1}H(t-1)]=L[e^{t-1}e^{1}H(t-1)]=eL[e^{t-1}H(t-1)]=e\frac{e^{-s}}{s-1}=\frac{e^{1-s}}{s-1}[/tex]

Acabo de probarlo en el mathematica y da lo mismo:

Código:
LaplaceTransform[Exp[t] HeavisideTheta[t - 1], t, s]


gracias!

_________________
Seba.

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df
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 8:02 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Ahí me fije, es lo mismo. Para mi está bien. Si lo que te trae duda es la antitransformada de la cosa esa que tiene e^-s, llamá a eso e^-s F(s). Si f(t) es tal que L(f(t))=F(s) entonces la antitransformada de e^-s F(s) es f(t-1)H(t-1), como el coso ese ya lo antitransformaste, ya lo tenés. No lo se hacer con el Mathematica, nunca me puse a entenderlo bien del todo (como darle condiciones de contorno a una EDO y todo eso), pero según el wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%28t%29-2y%27%28t%29%2B5y%28t%29%3De^t+%28H%28t%29-H%28t-1%29%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D0
es el choclo ese que debería reducirse a lo que pusiste.

_________________
[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]

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Sebacuervo
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MensajePublicado: Lun Jul 04, 2011 8:42 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

df escribió:
Ahí me fije, es lo mismo. Para mi está bien. Si lo que te trae duda es la antitransformada de la cosa esa que tiene e^-s, llamá a eso e^-s F(s). Si f(t) es tal que L(f(t))=F(s) entonces la antitransformada de e^-s F(s) es f(t-1)H(t-1), como el coso ese ya lo antitransformaste, ya lo tenés. No lo se hacer con el Mathematica, nunca me puse a entenderlo bien del todo (como darle condiciones de contorno a una EDO y todo eso), pero según el wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%28t%29-2y%27%28t%29%2B5y%28t%29%3De^t+%28H%28t%29-H%28t-1%29%29%2C+y%280%29%3D0%2C+y%27%280%29%3D0
es el choclo ese que debería reducirse a lo que pusiste.


Si, sería aplicar la inversa del 2do teorema de traslación... eso es lo que quise hacer pero no se si lo hice bien jeje gracias capo!

_________________
Seba.

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FrankJScott
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MensajePublicado: Mar Ago 31, 2021 1:08 pm  Asunto:  Keren Slot 777 Toko Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

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FrankJScott
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MensajePublicado: Mar Sep 14, 2021 9:33 pm  Asunto:  Luar Biasa Situs Slot Blog Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

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