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Caps
Nivel 2
Registrado: 05 Nov 2014
Mensajes: 5
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Hola, ¿cómo les va?
Miren, les cuento que desaprobé el último parcial de proba por un solo ejercicio. La persona que me corrigió me dice que lo hice mal y que no entiendo nada;
yo realmente no veo porqué lo que propongo está mal; de hecho me parece perfectamente razonable.
Igualmente, antes de ir a pedir una segunda opinión al departamento de matemática, me gustaría saber que opina la gente de por aquí que la tenga clara, sobre mi resolución;
si el consenso que está mal, me la mando a guardar y no voy a ir a quitarle su tiempo a los profesores. Si resulta que está bien, me gustaría saber a quien tendría que consultar específicamente para que me aprueben el parcial.
OK, el problema es este (el enunciado era más o menos esto):
Pasajeros arriban a un andén según un proceso Poisson de intesidad 30 por minuto. Los pasajeros comienzan a llegar a las 4:00 hs. Calcular la esperanza del tiempo perdido por el total de los pasajeros (es decir, el total de los tiempos de espera) si el tren sale a las 4:15 hs.
La persona que me corrigió me dijo que usando la Gamma sale. Concuerdo, solo que prefiero usar un método que no consuma dos hojas. Si alguien lo hizo bien (sin error de cuentas) usando la Gamma y le da distinto que a mi, por favor dígame así ya descarto la posiblidad de haberlo hecho bien. En cualquier caso, acá les pongo mi resolución:
Sea ![[tex]T_i[/tex]](images/latex/2000a79f40d61e2bc291020acaef38c2ef40e099_0.png "[tex]T_i[/tex]") el tiempo de arribo del i-ésimo pasajero, en minutos desde las 4:00.
Sea ![[tex]T[/tex]](images/latex/d2e04dadb5f6870434e79813f5ee568b1864df29_0.png "[tex]T[/tex]") el tiempo total perdido por los pasajeros.
Sea ![[tex]N[/tex]](images/latex/9448f45ac6411fffcdd92e407160ba4cbe13ce63_0.png "[tex]N[/tex]") la cantidad total de arribos en los 15 minutos de espera.
Sabemos que...
![[tex]T = \sum^N_{i = 1} (15 - T_i)[/tex]](images/latex/a192d09c3bee697253cf7ba2447a452860590b32_0.png "[tex]T = \sum^N_{i = 1} (15 - T_i)[/tex]")
Por supuesto, es una variable aleatoria que sigue una Poisson de intensidad 30, evaluada en ![[tex]t = 15[/tex]](images/latex/cd174cff6c525550bcd2b1c3a3da5b515ca2cfbd_0.png "[tex]t = 15[/tex]") .
Lo que propuse yo, que aparentemente está mal, es lo siguiente:
condiciono por ![[tex]N = n[/tex]](images/latex/920a4467df6528862e55f65e934d644058eb6504_0.png "[tex]N = n[/tex]") y planteo que...
![[tex]E[T] = E[E[T | N = n]] = E[E[ \sum^N_{i = 1} (15 - T_i) | N =n ]][/tex]](images/latex/2edd800d7cd8ad9bc1e9ff9b703cb4e47486fc60_0.png "[tex]E[T] = E[E[T | N = n]] = E[E[ \sum^N_{i = 1} (15 - T_i) | N =n ]][/tex]")
Supuestamente, esto no es correcto porque en el enunciado no dice que la cantidad de arribos sea conocida; sin embargo, el resultado final que obtengo no depende de ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]") , y no veo porqué esta igualdad va a dejar de valer porque en el enunciado no diga que se conoce la cantidad de arribos. Si esto está bien, lo que sigue es fácil.
Ahora uso un teorema de los apuntes de Grynberg sobre el proceso Poisson, que dice explícitamente que sabido que en un intervalo de tiempo [0, t] ocurren n arribos de un proceso Poisson, cada uno de los tiempos de arribo es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0, t]. Aplicando ésto, la última ecuación se reduce a...
![[tex]E[T] = E[N(15 - E[T_i])] = E[N(15 - 7,5)] = 7,5 E[N][/tex]](images/latex/c1e213e00bb1a2f4ca3367eb45b8f8c0390fd17c_0.png "[tex]E[T] = E[N(15 - E[T_i])] = E[N(15 - 7,5)] = 7,5 E[N][/tex]")
Como ya dije, es la cantidad de arribos de un proceso Poisson de intensidad 30 por minuto, en 15 minutos, entonces...
![[tex]E[T] = 7,5 E[N] = 7,5 \times 30 \times 15 = 3375[/tex]](images/latex/1b76c8a6094ca4fc9dd44b342a6a6f66c436cfb9_0.png "[tex]E[T] = 7,5 E[N] = 7,5 \times 30 \times 15 = 3375[/tex]")
... y ese es el resultado final, que no depende de .
También me parece razonable.... si en promedio llegan 30 monos por minuto, y cada uno espera en promedio 7,5 minutos porque los arribos son totalmente independientes y ningún intervalo de tiempo es preferible a otro, en promedio el tiempo total de espera debe ser 15 x 30 x 7,5 min.
Así que nada, lo dejo al criterio de los que saben más que yo. ¿Debería ir a quitarle su tiempo a algún profesor en el departamento de matemática para que arregle todo este quilombo, o realmente lo hice mal? Si lo hice mal, agradecería que me iluminen, porque no veo porqué mi lógica es erronea.
Disculpen por hacerlos leer semejante choclo y corregir mis boludeces.
Muchísimas gracias y saludos.
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Caps
Nivel 2
Registrado: 05 Nov 2014
Mensajes: 5
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| Bien, pregunté en el Stack Exchange de matemática y aparentemente el método y el resultado obtenido son ambos correctos, a pesar de que la notación es algo imprecisa. Igual supongo que no me van a cambiar la nota.
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pankreas
Nivel 9
Edad: 33
Registrado: 24 Feb 2009
Mensajes: 1513
Ubicación: The Ballesfield
Carrera: Industrial
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No tengo tiempo de ponerme a hacer todo en latex, pero te cuento las observaciones que hice.
La distribución Ti tiene distribución Exponencial truncada, no se si en algún momento la truncaste, está definida solo entre las 4:00 y las 4:15.
El planteo de la función T y la función N, tal como está definido, es correcto y válido, por supuesto bajo aclaración de que cada pasajero (cada término de la suma) es independiente de los demás.
Esto te ayuda a definir una bidimensional mixta (T,N).
N es discreta y entera entre 0 y + infinito, T es contínua entre 0 y + infinito.
Para cada N=n tenés una función de densidad condicional T/N=n.
Podés definir entonces la función de regresión, cuya imagen contiene todas las esperanzas de las respectivas funciones de densidad condicional T/N=n.
E(T/N) = n*15 - n*E(Ti) (con n entero entre 0 y +inf).
Calcular E(T) entonces puede hacerse como E(E(T/N)), es decir obtener la esperanza matemática de las infinitas esperanzas matemáticas de las infinitas funciones de densidad condicional T/N=n.
En definitiva E(E(T/N)) es una suma en 'n'.
E(T) = suma de n= 0 a + infinito ( (n*15 - n*E(Ti) )*P(N=n))
Como es una suma a infinito, te convendría truncarla en determinado momento, dejar un residuo despreciable y dar eso como resultado, depende de como puedas plantear la sumatoria en tu calculadora (O resolver la serie).
Algunas observaciones de esto,
E(Ti) es la esperanza de la exponencial truncada, es decir 1/lambda dividido por P(Ti < 15).
P(N=n) se obtiene con la expresion correspondiente a la distribución Poisson que definiste, para cada 'n' de la suma.
Con eso deberías llegar. Lo pense todo medio a las apuradas, decime si se entiende, si ves en que podes haberte equivocado, si te cierra.
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ñsdlgkfjdñflgjañdlfga
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Gilby
Nivel 2
Registrado: 02 Sep 2009
Mensajes: 5
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| Caps, te pido un favor, podrías subir el parcial? Mil gracias.
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Caps
Nivel 2
Registrado: 05 Nov 2014
Mensajes: 5
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Hola, gracias por las respuestas (mil años después).
Al final me terminaron cambiando la nota y aprobé. La notación que usé creo que es medio dudosa y da a entender otra cosa, pero el concepto está bien y me terminaron aprobando.
Y Gilby, disculpá, no tengo el parcial (ni ahora ni antes). Lo que posteé es de lo que me acordaba en el momento. Igual supongo que ya debe ser medio tarde para lo que lo necesitaras; disculpá, me colgué.
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| jajajaja bien ahí ganándole al sistema!
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91,67%
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