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Mensaje |
pmviva
Nivel 3
Edad: 40
Registrado: 28 Feb 2008
Mensajes: 36
Ubicación: Capital Federal
Carrera: Sistemas
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Buenas gente, tengo una duda de un ejercicio que tomaron en un final. El problema era asi:
Encontrar un intervalo I en el cual las funciones f(x) = X^5, g(x) = |x|^5 y h(x) = -1 sean linearmente independientes (LI), y luego encontrar un sub intervalo de I para el cual dichas funciones son linearmente dependientes (LD)
Segun tengo entendido para verificar dependencia lineal entre funciones se usa el wronskiano, si en I en algun punto el wronskiano de esas funciones da distionto de 0, son LI (independientes), si en todos los puntos da 0, no se puede determinar si es o no LD(dependientes)...
Ahora bien...
la funcion g(x) es una funcion definida a trozos
g(x) = x si x >=0
-x si x < 0 y no es derivable en el punto 0
Si tomo X positivos el wronskiano me queda
W(f,g,h) = -1 * [ (5x^4*20x^3) - (5x^4*20x^3)] = 0 para todo X
Ahora si tomo X negativos g(x) pasa a ser (-x)^5 y sus derivadas -5x^4 y -20x^3
El wronskiano me queda
-1 * [(5x^4*-20x^3) - (-5x^4*20x^3)] = 0 para todo x
Con lo cual no puedo afirmar nada sobre la dependencia o independencia lineal de las funciones...
En concreto, como puedo encontrar dichos intervalos?
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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En un intervalo I, las funciones f, g y h son linealmente dependientes si es posible encontrar 3 números reales a, b y c, no todos nulos, tales que para todo ![[tex]x \in I[/tex]](images/latex/594119886b93b7c7266f624a392f9628f1b267a0_0.png "[tex]x \in I[/tex]") , af(x) + bg(x) + ch(x) = 0. Si la única forma de cumplir eso es a = b = c = 0, son linealmente independientes.
Este ejercicio se puede hacer viendo que para x > 0: ![[tex]|x|^5 = x^5[/tex]](images/latex/69ebc431a0e8c8ace354596d78e8a107dd2b16f7_0.png "[tex]|x|^5 = x^5[/tex]") , por lo cual, en cualquier intervalo de números reales positivos g(x) = f(x), y significa que g es combinación lineal de f y h. Entonces, f, g y h serían linealmente dependientes en un intervalo de todos positivos.
Algo parecido ocurre para x < 0: ![[tex]|x|^5 = (-x)^5 = -x^5[/tex]](images/latex/5d23adcccc2c428e0050c363aec339f6cb1f03f8_0.png "[tex]|x|^5 = (-x)^5 = -x^5[/tex]") , con lo cual, en cualquier intervalo de números reales negativos g(x) = -f(x), y significa que g es combinación lineal de f y h. Entonces, f, g y h serían también linealmente dependientes en un intervalo de todos negativos.
Pero en un intervalo que tenga parte números negativos y parte números positivos, la combinación lineal de f(x) y h(x) que produce g(x) no es la misma para todos los x del intervalo. Entonces, con estas ideas en mente se puede hacer la resolución formal del ejercicio.
Respuesta (una posible): en el intervalo I = [-3, 3] las funciones son linealmente independientes, pero en el subintervalo I' = [-2, -1] incluido en I son linealmente dependientes. Los números concretos (acá -3, 3, -2, -1) pueden ser varios, lo importante es usar un I que agarre números positivos y negativos, y que el subintervalo I' sea de sólo negativos, o de sólo positivos.
Prueba de dependencia lineal en I' = [-2, -1]:
Para todo ![[tex]x \in I'[/tex]](images/latex/c5e120169280e7b4ccf95ae42476e8b8f365831a_0.png "[tex]x \in I'[/tex]") , x < 0 por lo tanto ![[tex]|x|^5 = (-x)^5 = -x^5 \Rightarrow g(x) = -f(x)[/tex]](images/latex/5f7e73507f6af8c7d7543db3cee530714548787f_0.png "[tex]|x|^5 = (-x)^5 = -x^5 \Rightarrow g(x) = -f(x)[/tex]") . Entonces, si a = b = 1 y c = 0, af(x) + bg(x) + ch(x) = 0 para todo ![[tex]x \in [-2, -1][/tex]](images/latex/120bbeb10b6475e4bc51d5ab065cae4ab8d9c4de_0.png "[tex]x \in [-2, -1][/tex]") . Dado que a y b no son nulos, f, g y h son linealmente dependientes en I'.
Prueba de independencia lineal en I = [-3, 3]:
Supongamos que existen tres reales a, b, y c, no todos nulos, tales que af(x) + bg(x) + ch(x) = 0 para todo . Dado que ![[tex]-1 \in I[/tex]](images/latex/ee27509656ebb3923e24a4c7bf3a1c4ab00bc0df_0.png "[tex]-1 \in I[/tex]") , ![[tex]0 \in I[/tex]](images/latex/bf87970b12da840e894c9b621b6b7b3dfb9ef618_0.png "[tex]0 \in I[/tex]") y ![[tex]1 \in I[/tex]](images/latex/4b0bfdb40d300271afa066a5945e4af07965b270_0.png "[tex]1 \in I[/tex]") , en particular se tiene que cumplir para esos tres valores.
![[tex]\left \{ \begin{array}{lclcl}af(-1) + bg(-1) + ch(-1) & = & a(-1)^5 + b|-1|^5 + c(-1) & = & -a + b - c = 0 \\af(0) + bg(0) + ch(0) & = & a \cdot 0^5 + b|0|^5 + c(-1) & = & -c = 0 \\af(1) + bg(1) + ch(1) & = & a \cdot 1^5 + b|1|^5 + c(-1) & = & a + b - c = 0\end{array} \right .[/tex]](images/latex/0f9aba54ee257139886e9431cb26a180567901b0_0.png "[tex]\left \{ \begin{array}{lclcl}af(-1) + bg(-1) + ch(-1) & = & a(-1)^5 + b|-1|^5 + c(-1) & = & -a + b - c = 0 \\af(0) + bg(0) + ch(0) & = & a \cdot 0^5 + b|0|^5 + c(-1) & = & -c = 0 \\af(1) + bg(1) + ch(1) & = & a \cdot 1^5 + b|1|^5 + c(-1) & = & a + b - c = 0\end{array} \right .[/tex]")
Las tres ecuaciones sólo se cumplen simultáneamente si a = b = c = 0 (es decir, la solución al sistema de 3 ecuaciones), que contradice la hipótesis de que no son todos nulos. Entonces f, g y h son linealmente independientes en I.
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Última edición por Huey 7 el Jue Ago 07, 2014 8:36 pm, editado 1 vez
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pmviva
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