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Mensaje |
Mathias20
Nivel 2
Registrado: 21 Ene 2014
Mensajes: 13
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Hola, estoy haciendo exámenes de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR de Uruguay, en este caso el de Julio del 2010:
http://imerl.fing.edu.uy/Gal1/curso%202010/mainexamendic.pdf
El ejercicio uno dice así:
Sea ![[tex]A_{nxn}[/tex]](images/latex/99524d98a3d2dbc9e194e8ee1e0f8a9adab1df8e_0.png "[tex]A_{nxn}[/tex]") una matriz cualquiera de reales que cumple: ![[tex]2A^3+3A = A^2+I[/tex]](images/latex/035ea59821204f493fb8da473073039c6281f8a7_0.png "[tex]2A^3+3A = A^2+I[/tex]") con ![[tex]det(A^2+I-3A) = 54[/tex]](images/latex/c4c1d7e19bd8a4277ba0b42b816188e400f85805_0.png "[tex]det(A^2+I-3A) = 54[/tex]") . Se consideran las siguientes afirmaciones:
I) ![[tex]rango(A) = n[/tex]](images/latex/c3ff040ebbf262975d25b3b19433f33474018c61_0.png "[tex]rango(A) = n[/tex]")
II) ![[tex]det(A) = 3[/tex]](images/latex/6f1806e5c35af961cd3d2ded5ff6753a9b09e102_0.png "[tex]det(A) = 3[/tex]")
III) ![[tex]A^2 + I[/tex]](images/latex/2f01d83c35f8197efbf89d74287dc0337f1879f3_0.png "[tex]A^2 + I[/tex]") es invertible
No se me ocurre que hacer, ¿alguna idea?
Había pensado en que podría aplicar determinante en ambos lados de la igualdad. Pero, ¿se cumpliría esa igualdad?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Fijate que ![[tex]\text{det}(A^2+I-3A) = \text{det}(2A^3)[/tex]](images/latex/753417102d0f824a0e439ee6732261b5a186a9b2_0.png "[tex]\text{det}(A^2+I-3A) = \text{det}(2A^3)[/tex]") .
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Granada
Nivel 9
Edad: 31
Registrado: 16 Ago 2011
Mensajes: 1325
Carrera: Química
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| Despues de lo de jackson, sale con propiedades de determinantes. Ese 2 puede salir afuera y el cubo tambien...
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| koreano escribió:
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Una de las mentiras mas grandes: "si pasás el CBC, el resto es barranca abajo".
Después es "cuando aprobás AlgebraII/AnalisisII es barranca abajo".
Después es "después de FísicaII es cuestión de tiempo nomás".
No te dejes engañar, ES UNA PAJA ESTO Y CADA VEZ PEOR
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![[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]](images/latex/13b8d7c5145650bf52e1ab2f2b452a407c64bb37_0.png "[tex]\mathit{Noventa}\ \mathit{y}\ \mathit{dos}\ \mathit{coma}\ \mathit{nueve}\ \mathit{}\ \mathit{}[/tex]")
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Mathias20
Nivel 2
Registrado: 21 Ene 2014
Mensajes: 13
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Obtuve que ![[tex]det(A)=54^{3/2}/2^{n/3}[/tex]](images/latex/30bfeb9d865f660dd2e50053ca59e09d32963f3a_0.png "[tex]det(A)=54^{3/2}/2^{n/3}[/tex]") Lo que ya descarta la segunda opción. De ahí supongo que podría sacar la I) y de la I) la III) aunque no sé como a partir de ese dato podría concluir que el rango de ![[tex]A[/tex]](images/latex/734ef645c78704dbe5a136258a49d8425298f623_0.png "[tex]A[/tex]") es ![[tex]n[/tex]](images/latex/8c7447db63092942e0a39cfe01d3d94174a89707_0.png "[tex]n[/tex]")
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Mathias20
Nivel 2
Registrado: 21 Ene 2014
Mensajes: 13
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| Claro, si el rango no es creo, es porque las filas son linealmente independientes, por lo tanto, el rango será la cantidad de filas, n.
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Mathias20
Nivel 2
Registrado: 21 Ene 2014
Mensajes: 13
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Y para saber que no es invertible, yo apuntaría a que la determinante tiene que ser ![[tex]0[/tex]](images/latex/cd18b8378b63fe64b1accfa94a1abaf6069863ff_0.png "[tex]0[/tex]") ¿Cómo podría llegar a eso? teniendo el dato de que ![[tex]det(A^2+I-3A)=54[/tex]](images/latex/63f4c66253c0fa917c77744decdd3426deae9724_0.png "[tex]det(A^2+I-3A)=54[/tex]") más el valor de la determinante de 
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