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Autor Mensaje
Polito!
Nivel 7


Edad: 34
Registrado: 09 Feb 2010
Mensajes: 332

Carrera: Mecánica
argentina.gif
MensajePublicado: Vie Jul 26, 2013 4:41 pm  Asunto:  ejercicio diferenciabilidad por definicio Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Hola gente! tengo el siguiente ejercicio de parcial. Hice todo los puntos pero tengo duda con el item c)
El ejercicio es el siguiente:

[tex]f (x,y) = \frac{(x-1)^2 sen(5y)}{(x-1)^2+y^2}[/tex] si [tex](x,y)\not=(1.0) [/tex]

y [tex]f (x,y) = 0 [/tex] si [tex](x,y)=(1.0) [/tex]


a)analizar la continuidad de f en (1.0)
b)analizar la existencia de derivadas direccionales en (1.0)
c)estudiar la diferenciabilidad en (1.0) APLICANDO LA DEFINICION
d)la grafica de f ¿admite plano tangente en el punto (1.0.0)? Justificar la respuesta.

a) es continua en (1.0)
b) existen todas las derivadas direccionales en (1.0)

c) para este punto planteo lo siguiente. Uds me diran si esta bien o mal. Igual no lo termino de entender y estoy trabado en este punto

por definicion tengo...

[tex]f(x,y)+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})+r(h_{1};h_{2})[/tex]

no termino de entender como analizar el termino

[tex]r(h_{1};h_{2})[/tex]

si alguien me puede dar una mano lo agradeceria

Slds!

_________________
Riquelme esta felí

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Elmo Lesto
Nivel 8


Edad: 32
Registrado: 02 Ene 2010
Mensajes: 809
Ubicación: Subsuelo
Carrera: Mecánica
CARRERA.mecanica.3.jpg
MensajePublicado: Sab Jul 27, 2013 2:23 am  Asunto:  Re: ejercicio diferenciabilidad por definicio Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Polito! escribió:
por definicion tengo [tex]f(x,y)+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})+r(h_{1};h_{2})[/tex]

... Lo que no pusiste es qué es ese bodoque, jaja
Me refresqué la memoria con esto: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciable

Es diferenciable cuando [tex]f(x_0,y_0) = f(x,y)+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})+r(\vec{h})[/tex], y lo que tiene que cumplir [tex]r(\vec{h})[/tex] es que [tex] \lim_{\lVert \vec{h} \rVert \to 0} \frac {\lVert r(\vec{h}) \rVert} { \lVert \vec{h} \rVert} = 0 [/tex]

De esa definición, podrías como "despejar" [tex]r(\vec{h})[/tex] (donde si mal no recuerdo [tex]\vec{h}[/tex] es [tex](x,y)-(x_0,y_0)[/tex] ) y te quedaría que la condición de diferenciabilidad es que
[tex]\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)- f(x_0,y_0)+f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})}{ \lVert (x,y)-(x_0,y_0) \lVert } = 0  [/tex]
O en términos de h, que creo que siempre se hace más fácil,
[tex] \lim_{\lVert \vec{h} \rVert \to 0} \frac{f((x_0,y_0)+\vec{h})- f(x_0,y_0)+\left( f_x,f_y \right) \cdot \vec{h}}{ \lVert \vec{h} \lVert } = 0  [/tex]
Creo que para poder hacerlo posta más fácil, decías que [tex]\vec{h} = h \hat{v}[/tex], con [tex]\hat{v}=(v_1,v_2) [/tex] un versor genérico, entonces lo que tiende a cero es el h ese escalar, como cuando calculaste derivadas direccionales, creo.

Así que tendrías que hacer todo ese quilombo con esa función de ahí. Espero haber aclarado más de lo que oscurecí, la verdad hace mucho que no veo este tema.
Cualquier cosa corrijan los/as demás, chiflá si no se entiende algo

_________________
[tex] \mbox{Si tu viejo es zapatero, sarpale la lata} [/tex]

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