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Mensaje |
Alaneta
Nivel 2
Registrado: 15 Mar 2013
Mensajes: 6
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Hola, tengo una pequeña duda sobre este ejercicio:
f(X,Y)= X^2 + Y^2 ; Po=(1,1)
y piden:
-Justificar que las funciones dadas son diferenciables en los puntos indicados (Po).
-¿Esas funciones son diferenciables en sus dominios?
Mi duda es como saber que la funcion sera diferenciable en todo su dominio porque para el punto dado solo tengo que fijarme si las derivadas parciales son continuas y listo ahi sabre si sera diferenciable en ese punto (lo es) pero despues para el resto de su dominio no se como analizarlo.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Extendiendo la idea, La función va a ser diferenciable en todo punto donde sus derivadas parciales de primer orden sean continuas.
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 182
Carrera: Civil
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| claro deberias hacer las parciales para un x,y generico y ver si te quedan condicionadas por algun punto que tengas que excluir.
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_________________
Aguante Civil!!!
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sylvina64
Nivel 2
Edad: 59
Registrado: 22 Sep 2012
Mensajes: 9
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Por ejemplo, en el 1) a) la derivada direccional en X es 2x, es un polinomio, o sea, continua para todo R2. La derivada direccional en Y es 2y... ocurre lo mismo, o sea, podés asegurar que es diferenciable para todo su dominio.
En el 1)b) el dominio de f es X^2 + Y^2 < o igual que 4 (porque es la raíz cuadrada de 4 - X^2 - Y^2 ). Al hacer las derivadas parciales, esta raíz te queda en el denominador, y puede anularse si X^2 + Y^2 = 4... o sea, en parte de su dominio.
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Alaneta
Nivel 2
Registrado: 15 Mar 2013
Mensajes: 6
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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Extendiendo la idea, La función va a ser diferenciable en todo punto donde sus derivadas parciales de primer orden sean continuas.
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No. La función va a ser diferenciable si verifica la definición de diferenciabilidad, esto es:
![[tex] \lim_{\vec h \to \vec 0} \frac {\vec f (\vec x_0 + \vec h) - \vec f (\vec x_0) - J (\vec x_0) . \vec h} {||\vec h||} = \vec {0} [/tex]](images/latex/4dc42b0e9bb8c6ed97e8d68701accb8881688e13_0.png "[tex] \lim_{\vec h \to \vec 0} \frac {\vec f (\vec x_0 + \vec h) - \vec f (\vec x_0) - J (\vec x_0) . \vec h} {||\vec h||} = \vec {0} [/tex]")
En Análisis II uno suele estar acostumbrado a funciones escalares cuando ve el tema, quedando, análogamente
![[tex] \lim_{\vec h \to \vec 0} \frac { f (\vec x_0 + \vec h) - f (\vec x_0) - \vec {\nabla f} (\vec x_0) . \vec h} {||\vec h||} = 0 [/tex]](images/latex/3fe6e4d914be7d141d76cb96e2ef21a0d7e81a75_0.png "[tex] \lim_{\vec h \to \vec 0} \frac { f (\vec x_0 + \vec h) - f (\vec x_0) - \vec {\nabla f} (\vec x_0) . \vec h} {||\vec h||} = 0 [/tex]")
La idea es la misma y es que, en un entorno del punto, la función admita una "buena" aproximación lineal, donde la formalización de "buena" es que se acerque más rápido a la función de que el desplazamiento a cero. Además debe admitir dicha aproximación en todas las direcciones. Es por este concepto de linealidad que a uno rápidamente le introducen la idea de diferenciable = plano tangente, en ![[tex]\mathbf {R}^3[/tex]](images/latex/455e910a0f7846258192a0843e77179ae5c273ff_0.png "[tex]\mathbf {R}^3[/tex]")
La función f entonces, no debe ser ![[tex]\mathbf {C}^1[/tex]](images/latex/02ef09a93ff25ef007c57d1fe4bc7dbad3d23505_0.png "[tex]\mathbf {C}^1[/tex]") . Lo que se puede probar es que todas las funciones que pertenecen a ese conjunto son diferenciables, es decir, es una condición suficiente. En los libros de cálculo hay muchisimos ejemplos de funciones cuyas derivadas parciales tienen comportamientos "extraños" y, sin embargo, son diferenciables.
También hay una condición necesaria para la diferenciabilidad y es que las derivadas (o la matriz jacobiana) de f tiene que existir en el punto.
Resumiendo entonces con vistas al ejercicio. Cuando uno debe estudiar diferenciabilidad lo primero que debe hacer es verificar la existencia de las derivadas primeras, sea en un punto particular o en todo el dominio, según pida el ejercicio. Si esto no sucede, la función no es diferenciable allí (si no existen en un punto, no es diferenciable en ese punto, si no existen en ningún lado, no es diferenciable en el dominio).
Suponiendo que la función es buena y tiene derivadas, la próxima pregunta es... ¿Son continuas en ese punto/en el dominio? Si la respuesta es sí, listo, hay diferenciabilidad en el punto/dominio. Si la respuesta es no, hay que analizarla por definición, esto es, resolver el límite que escribí más arriba. O bien probar que hay un camino por el cual la igualdad no se cumple (no existencia del límite) o probar que para todos los caminos la igualdad se verifica (bastante engorroso).
Sería raro que te den una función cuyas derivadas no sean continuas en ningun lado. Generalmente, el panorama más oscuro es que en algunos pocos puntos eso no suceda y sólo hay que analizar el límite para esos puntos y no para un ![[tex]\vec x_0[/tex]](images/latex/5400ca80b1dcd51d89f2df51cb53b10b155eeac7_0.png "[tex]\vec x_0[/tex]") genérico, lo que facilita bastante la tarea.
Por último recordá que la suma/resta/multiplicación de funciones diferenciables en un punto/dominio, también es diferenciable en el punto/dominio. En el caso de cocientes, sólo hay que tener cuidado dónde se anula el denominador.
Saludos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Hacete coger Sabian, para este ejercicio basta ver la continuidad de las derivadas parciales y listo.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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Hacete coger Sabian, para este ejercicio basta ver la continuidad de las derivadas parciales y listo.
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Entonces, al menos, escribí bien, pancho. Usando tus mismas palabras.
"En todo punto donde las derivadas parciales sean contínuas, la función va a ser diferenciable."
P.D: Puto.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Pedazo de come travas, diferenciate las nalgas catador de pibe crudo.
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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| Andá yendo que estás llegando tarde a tu laburo de inspector de bultos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Te equivocas, llegué primero gil. Anda vos, chimichurri.
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