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Mensaje |
Aab1010
Nivel 5
Registrado: 11 Abr 2009
Mensajes: 190
Carrera: Electricista y Industrial
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Hola, tengo un par de dudas con 3 ejercicios, acá van.
I) 4. 07/12/2011
Cierto alambre tiene fallas distribuidas según un proceso de Poisson de intensidad dos por metro. Las fallas pueden ser del tipo I o II. La probabilidad de que una falla sea de tipo I es el doble de la que sea de tipo II. Si en los primeros 10 metros de alambre se hallaron exactamente 15 fallas de tipo I, hallar la probabilidad que haya exactamente 1 falla (de cualquier tipo) en el primero de esos 10 metros de alambre.
Se explica una resolución acá:
http://www.foros-fiuba.com.ar/viewtopic.php?t=19424
| superMauri escribió:
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A ver... lo primero que haría es establecer las probabilidades de los tipos de falla T-I y T-II. Segun el enunciado P(T-I) = 2P(T-II). El enunciado tambien dice que las fallas pueden ser I u II, descartando cualquier otro tipo de falla. Lo que sugiere que P(T-I) + P(T-II) = 1. De esta manera la única combinación que cumple es:
P(T-I) = 2/3 y
P(T-II) = 1/3
Ahora defino los eventos:
A: { 1 Falla de cualquier tipo en primer metro de los 10 metros } (donde aparecieron las 15 fallas Tipo 1)
B: { 15 Fallas de Tipo 1 en 10 metros }
T1: { Fallas de Tipo 1 }
T2: { Fallas de Tipo 2 }
T1 U T2 = E (Todo el espacio muestral)
Con estos eventos definidos la probabilidad que nos piden es:
P(A/B) = P ( A ∩ B ) / P (B)
P ( A ∩ B ) / P (B) =
Usando la propiedad A ∩ E = A --> A ∩ B = A ∩ B ∩ E
P ( A ∩ B ∩ E ) / P (B) =
Con E = T1 U T2
P ( A ∩ B ∩ (T1 U T2) ) / P (B)
P ( (A ∩ B ∩ T1) U (A ∩ B ∩ T2) ) / P (B)
{P (A ∩ T1 / B)P(B) + P(A ∩ T2 / B).P(B)} / P (B) =
P (A ∩ T1 / B) + P(A ∩ T2 / B) =
P (A ∩ T1 / B) : Fallas tipo I en primer metro cuando hubieron 15 fallas T1 en 10 metros.
Esto es una binomial. Dado que en todos los intervalos es igualmente probable que ocurra
un evento de Poisson, queda la binomial con p: 1/10 y n=15, donde pedimos un exito.
P (A ∩ T2 / B) : Fallas tipo II en primer metro cuando hubieron 15 fallas T1 en 10 metros
Por el teorema de refinamiento que explica como se comportan los procesos resultantes de
refinar (redundancia mediante) el proceso original mediante un proceso Bernoulli (fallas
tipo I o II) es independiente lo que suceda con las fallas te Tipo 1 de lo que suceda con
las fallas de tipo 2. Por esto P (A ∩ T2 / B) = P (A ∩ T2), que es la probabilidad de 1 falla
tipo 2 en un metro de continuo.
También por el teorema de refinamiento las intensidades de los procesos I y II resultan:
λ1 = P(T-I)λ = 2/3 * 2 = 4/3
λ2 = P(T-II)λ = 1/3 * 2 = 2/3
(15 C 1).(1/10).{(9/10)^14} + e^(-2/3).{(2/3)^1} = 0.6854...
(15 C 1): 15 combinados de a 1
e^(-2/3): e a la menos 2/3
Con este no estoy 100 por 100 seguro. Me suena bastante lógico lo que planteo acá, pero si alguien lo ve y lo avala o corrige, seria ideal.
También espero se entienda.
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Pero no termino de entender qué hace, y si está bien (me dio otra cosa).
Esta es mi resolución:
https://www.dropbox.com/s/jj5ij06x6gh5vnp/2013-02-20%2019.56.38.jpg
II) 4. 28/07/2011
Se arroja una moneda equilibrada N veces, donde N es una variable aleatoria con distribución Poisson de media 10. Sean X e Y las cantidades de caras y cecas observadas respectivamente. Calcular cov(X,Y).
Mi resolución:
https://www.dropbox.com/s/ysi35q4igjxqv91/2013-02-20%2019.57.04.jpg
¿Cómo hallo la esperanza de X.Y? La deliré un poco pero no llegué a nada concreto que me guste... Me trabé en la E(Y|X)... es igual a N-X?
Suponiendo que esto fuera así, cómo hallo la Var(X)? :\
Edit. Me trabé de nuevo.
Var(X)=E(Var(X|N))+Var(E(X|N))
Var(X|N)= ¿?
III) 2. del 01/03/2012
Una carpintería recibe la misma cantidad de tablas de dos aserraderos A y B. La longitud (en metros) de las tablas provenientes del aserradero A se distribuye como una normal de media 3 y desvío estándar 0.1 mientras que la longitud de las provenientes del aserradero B lo hacen como una normal de media 2.9 y desvío estándar 0.2. Cuando se guardan en el depósito no es posible saber de qué aserradero proviene cada tabla. Se toma al azar una tabla del depósito y resulta que mide 3.15 metros de largo, ¿cuál es la probabilidad de que provenga del aserradero B?
Resolución:
https://www.dropbox.com/s/krm86z16m21wjtd/2013-02-20%2019.57.26.jpg
Para estos casos tengo anotado que se debe que usar la fórmula de "Bayes para la mezcla / para el continuo", en lugar de hacer una marginal que puede ser complicada (y armar la mezcla, etc.)
Ahora, el valor 3,15 está más sigmas cerca de B que de A, no debería ser mayor que 0,5 la probabilidad de que sea de B teniendo en cuenta esa longitud. ¿Hay algo que estoy haciendo mal, o se me pasó algo?
Si alguien me puede tirar alguna luz en alguno de ellos, muchas gracias!
Saludos.
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Andrés.
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Espina
Nivel 3
Registrado: 29 Sep 2011
Mensajes: 29
Carrera: Industrial
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hola
tambien tuve problemas con el 4
bueno te digo lo que hice
A=1 falla de cualquier tipo en el 1er metro
B=en 10 metros tengo 15 fallas del tipo I
P(A/B) = P ( A ∩ B ) / P (B)
La P (B) es facil de calcular pq es una poisson como pusiste en tu planteo
te da 0,0926
ahora el problema es la de la interseccion
pero solo hay 2 casos
que en 1 metro tengo una falla de tipo II y que a patir de ese metro hasta el decimo tengo las otras 15 fallas de tipo I( como los procesos son indep se multiplican las prob)
y que en el primer metro no tenga fallas de tipo II y que solo tenga una del tipo I y las otras 14 fallas distribuidas en los 9 metros restantes
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