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Autor Mensaje
alfred_oh
Nivel 4



Registrado: 20 Feb 2013
Mensajes: 102


austria.gif
MensajePublicado: Mie Feb 20, 2013 3:08 am  Asunto:  Duda de Series Infinitas. Me explican esta sol. del libro? Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

Buenas a todos!
En este ejericio tengo que calcular el Producto de Cauchy de estas series:
Image
El libro propone la siguiente solución:
Image
Y añade una información para explicar el por que de
Image
y así entender el último paso:
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Y allí es donde esta mi pregunta. Como se obtienen las dos ultimas igualdades?
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Alguien me lo puede explicar por favor? Gracias!


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Huey 7
Nivel 6



Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267

Carrera: Electrónica
CARRERA.electronica.5.gif
MensajePublicado: Mie Feb 20, 2013 2:54 pm  Asunto:  (Sin Asunto) Responder citandoFin de la PáginaVolver arriba

En los primeros pasos, se usa una igualdad de números combinatorios. [tex]{a \choose b} = \frac{a!}{b!(a - b)!}[/tex] entonces con a = 2k + 1 y b = 2j + 1:

[tex]{2k+1 \choose 2j + 1} = \frac{(2k+1)!}{(2j+1)!(2k+1-2j-1)!} = \frac{(2k+1)!}{(2j+1)![2(k-j)]!}[/tex]

Con a = 2k + 1 y b = 2(k - j):

[tex]{2k+1 \choose 2(k-j)} = \frac{(2k+1)!}{[2(k-j)]![2k+1-2(k-j)]!} = \frac{(2k+1)!}{[2(k-j)]!(2j+1)!}[/tex]

Ambos son iguales, así que:

[tex]\sum_{j=0}^k {2k+1 \choose 2j+1} =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^k {2k+1 \choose 2(k-j)} + \frac{1}{2}\sum_{j=0}^k {2k+1 \choose 2j+1}[/tex]

La primera suma, con el cambio de índice r = k - j se convierte en:

[tex]\sum_{r=0}^k {2k+1 \choose 2r} = {2k+1 \choose 0} + {2k+1 \choose 2} + {2k+1 \choose 4} + \cdots + {2k+1 \choose 2k}[/tex]

Es decir, la suma de los números combinatorios de la forma [tex]{2k+1 \choose q}[/tex] con q par. La segunda suma es:

[tex]\sum_{j=0}^k {2k+1 \choose 2j+1} = {2k+1 \choose 1} + {2k+1 \choose 3} + {2k+1 \choose 5} + \cdots + {2k+1 \choose 2k+1}[/tex]

Es decir, la suma de los números combinatorios de la forma [tex]{2k+1 \choose q}[/tex] con q impar. Así que sumando ambas están todos los números combinatorios desde [tex]{2k+1 \choose 0}[/tex] hasta [tex]{2k+1 \choose 2k+1}[/tex]:

[tex]\frac{1}{2}\sum_{j=0}^k {2k+1 \choose 2j+1} + \frac{1}{2}\sum_{r=0}^k {2k+1 \choose 2r} =\frac{1}{2}\sum_{j=0}^{2k+1}{2k+1 \choose j}[/tex]

Y por último se usa el teorema del binomio:

[tex](x + y)^n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} x^{n-j}y^j[/tex]

Con x = 1, y = 1 y n = 2k + 1 queda:

[tex]\sum_{j=0}^{2k+1} {2k+1 \choose j} = 2^{2k+1}[/tex]

_________________
Comisión de Estudiantes de Ingeniería Electrónica (ComElec)
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