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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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Creo thread para dudas varias y para no invadir otros th.
Ejercicio 1 del coloquio del 04/08/2012
quería saber cuánto les da f(t) y luego cuánto su transformada.
Yo lo hice pero luego posteo resultados
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Ejercicio 3:
Dice: "Dado el sistema ortonormal en el intervalo [0, ![[tex]\pi: \frac{1}{ 2^{0.5}} , cos 2nx, sen 2nx ] [/tex]](images/latex/f752316b4e3acc47cd5ecea17aa29e0e74371e72_0.png "[tex]\pi: \frac{1}{ 2^{0.5}} , cos 2nx, sen 2nx ] [/tex]") n=1 a oo
y la función f(x)=x^2
si 0 < x < pi diga a que función definida en el eje real converge la serie de Fourier:
i) en el sentido de la convergencia cuadrática
ii) en el sentido de la convergencia puntual
iii) puede asegurar la convergencia uniforme de la serie?
Después pide un desarrollo en cosenos, y vuelve a pedir que diga a qué función converge en el sentido de conv. cuadrática y puntual
Mi duda:
No entiendo bien qué pretende el ejercicio. Yo primero encontraría la serie, que es la serie trigonométrica, pero definida según esa base (distinta de la que se usa siempre, seguro para confundir). Ahora si la función cumple con las condiciones de Dirichlet la convergencia puntual y cuadrática no es la misma? y la uniforme no lo es también?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Revisate algún libro o apunte en PDF, están las condiciones de convergencia bien claras. En el Balanzat están.
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fed55
Nivel 2
Registrado: 12 Ene 2013
Mensajes: 19
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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Una pregunta:
para la ecuación del calor, cómo se resuelven las no- homogéneas?
Ejemplo: http://personal.us.es/contreras/t06edp.pdf
página 25 ej 19.
Lo que vi en muchos libros y pdfs es la solución al problema con las condiciones u(x=0,t)=0=u(x=l,t)
Esto implica usar separación de variables, usar las cond. de borde para ver quien es k, luego dn es coef. de Fourier..
(ej para el que nunca aprendió la resolución: http://www.math.vt.edu/people/russell/m2k_opm_fsolht.pdf )
Pero cuando una de esas condiciones no es 0 qué hago?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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No me puse a pensarlo pero... ¿no se puede escribir a ![[tex]u(x,t)[/tex]](images/latex/d02963933f09ee3e3b9223025d8feb28c11b7cab_0.png "[tex]u(x,t)[/tex]") como combinación lineal de funciones de manera tal que anule las CC? En general salían así si mal no recuerdo.
Igual tampoco recuerdo que las CC no nulas fueran un problema.
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vickyy
Nivel 6
Edad: 35
Registrado: 23 Abr 2008
Mensajes: 230
Carrera: Electrónica, Informática y
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Haces justamente lo que dice Jackson666, dividis tu problema u(x,t) en w(x) + v(x,t)
y lo que planteas es que v(x,t) tiene condiciones como los problemas normales.
Por ejemplo. Suponiendo que tenes
u(x=0,t)=5
u(x=l,t)=7
planteas u(x,t)=w(x) + v(x,t)
v(x=0,t)=0=v(x=l,t)
w(0)=5
w(l)=7
Primero resolves el problema de w(x), que es una ecuacion diferencial comun. La emtes primero en la ecuacion de calor (fijate que como no depende de t, cuando tengas la derivada de w en de t, vas a tener cero. Luego usas las condiciones iniciales de w.
Con esto, ya tenes w(x).
Luego planteas nuevamente tu problema en v. Tenes la ecuacion del calor (que te quedacomo si fuera u), las codiciones iniciales nuevas(que dan cero) y en la ultima ecuacion que tenes: u(x, a)=f(x) (por ejemplo) tenes que acordarte de reemplazar bien. Es decir:
u(x, a)=f(x)
Reemplazando
v(x,a)=f(x)-w(x)
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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Creo que entendí.
Resolución:
Agarré el problema 19 del ej: http://personal.us.es/contreras/t06edp.pdf
![[tex]u(x,t)= w(x) + v(x,t)[/tex]](images/latex/179edb20190438526aae6a336ed381fa00f174da_0.png "[tex]u(x,t)= w(x) + v(x,t)[/tex]")
Pidiendo que w cumpla con la ecuación diferencial(*):
![[tex]w'' = 0[/tex]](images/latex/48e14e361e9622cd524fe8e7078bbd0a0200bbea_0.png "[tex]w'' = 0[/tex]")
Entonces ![[tex]w= ax + b[/tex]](images/latex/4d40f12a754b7896487318be94e9344b5685c1ef_0.png "[tex]w= ax + b[/tex]") cumple que la derivada 2° es 0.
![[tex]w(x)= 10 + \frac{10}{\pi} x[/tex]](images/latex/4fb4b595b74815c44de316eb4388179c530dece6_0.png "[tex]w(x)= 10 + \frac{10}{\pi} x[/tex]")
La función ![[tex]v[/tex]](images/latex/b81f3f1c5372939b80b003266b8b6059980ece93_0.png "[tex]v[/tex]") es tal que en 0 y ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") vale 0.
Ahora, por dato del problema ("posición inicial"):
![[tex]u(x,0)=4 sen(3x)=10 + \frac{10}{\pi} x + v(x,0)[/tex]](images/latex/0b88127123523aa4ff723c76ad92a1bdbd4626d1_0.png "[tex]u(x,0)=4 sen(3x)=10 + \frac{10}{\pi} x + v(x,0)[/tex]")
![[tex]v(x,0)=4 sen(3x)-10 - \frac{10}{\pi} x [/tex]](images/latex/e750ac8fb290b5eece8d381cb7ebe3012c5a0fb6_0.png "[tex]v(x,0)=4 sen(3x)-10 - \frac{10}{\pi} x [/tex]")
Siendo v una función que cumple con la ecuación del calor, tiene valor en los bordes de 0 para todo t, y su posición inicial es dato (sale fácil con series de Fourier en este caso)
Pregunta
(*) por qué tendría que cumplir v con la ecuación de calor?
Tiene todo esto algo que ver con solución particular y homogénea de la ecuación diferencial?
Saludos.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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| u = w+v, w es funcion de x solamente y w''=0, asi que si u=w+v cumple con la ecuacion del calor, necesariamente es porque v lo hace, cuando derivas respecto de t, w se va, cuando derivas 2 veces respecto de x, tambien.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Al margen de lo que dijo df, estás confundiendo las cosas. Que una EDDP tenga CC no nulas, no quiere decir que sea homogénea o no, son cosas distintas.
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