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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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Buenas.
Quisiera saber cómo se resuelven las ecuaciones del calor:
![[tex]u _t - k u_{xx} = 0[/tex]](images/latex/8161af2c6459903e5b54fcf3445359d2a7e0c581_0.png "[tex]u _t - k u_{xx} = 0[/tex]") con las condiciones usuales, y sabiendo que u(x,0)=f(x) , con f dato.
Para no parecer un boludo que no fue ni a clases, en los apuntes que tengo lo resuelven por separación de variables, pero la resolución es gigantezca. Mucho después en la materia lo resuelven por transformada de Fourier, y yo creyendo que la transformada es de lo más útil en estos casos, decido aprender este método, que es masomenos como aparece en esta página:
RESOLUCIÓN EC. CALOR
(en realidad es igual pero con distinta notación)
Pero hay cosas que no me cierran, por ejemplo, ¿de dónde sale la función tal que su fourier es: ![[tex]e^{-k w^2 t}[/tex]](images/latex/5f9c72389c753da0f7324bba827e0f0133b6a3f3_0.png "[tex]e^{-k w^2 t}[/tex]")
Parece sacada de tablas, pero no encontré nada en las tablas. Así que simplemente memoricé el resultado (por cierto me parece una estupidez tener que memorizar la antitransformada, especialmente porque es bastante grande, pero bue) , pero me gustaría saber por qué vale lo que vale.
Finalmente, aún teniendo la convolución que es la respuesta al problema genérico, no soy capaz de resolver para el caso particular f= exp[- (x^2)] que dieron como ejemplo en clases, o sea, cómo se resuelve esa integral impropia?
La "convolución respuesta" o integral impropia para el caso genérico termina quedando:
![[tex]u(x,t)= \frac{1}{{( 4kt\pi )}^{0.5}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{\frac{-(x-y)^2}{4kt}} dy [/tex]](images/latex/ae11cbdd5e48eecbc901ee3ad335dd3843513a87_0.png "[tex]u(x,t)= \frac{1}{{( 4kt\pi )}^{0.5}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) e^{\frac{-(x-y)^2}{4kt}} dy [/tex]")
Saludos.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
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| anon.123 escribió:
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Pero hay cosas que no me cierran, por ejemplo, ¿de dónde sale la función tal que su fourier es:
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La TF de cualquier Gaussiana es una Gaussiana. Buscala en una tabla, la demostración es medio tediosa.
| anon.123 escribió:
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Finalmente, aún teniendo la convolución que es la respuesta al problema genérico, no soy capaz de resolver para el caso particular f= exp[- (x^2)] que dieron como ejemplo en clases, o sea, cómo se resuelve esa integral impropia?
La "convolución respuesta" o integral impropia para el caso genérico termina quedando:
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Ta feucha esa convolución che. La estuve intentando y no salio, si se me ocurre algo te digo después.
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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Ta feucha esa convolución che. La estuve intentando y no salio, si se me ocurre algo te digo después.
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Pregunta, para el examen final se consideraría suficiente con dejarlo expresado como convolución? Es decir, sin resolver la integral impropia.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Yo te diría que sí, de hecho, si mal no recuerdo es lo que yo hice en su momento.
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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Yo te diría que sí, de hecho, si mal no recuerdo es lo que yo hice en su momento.
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Ok. Gracias, ya me siento mejor. Además comparado con los otros problemas (resolución genérica de ec. de laplace y de ondas, incluso las ec. integro diferenciales) este estaba mucho más jodido.
Saludos.
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Si, en algunos casos si. Si te queda la antitransformada de una función que realmente es muy facil y sale o por residuos o integrando a manopla, no les va a caer muy bien que digas u(x,t)=antitransformada de algo, porque se te está evaluando también si sabés calcular integrales impropias.
En ese caso, si, lo dejás expresado como una integral y fue.
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| anon.123 escribió:
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Finalmente, aún teniendo la convolución que es la respuesta al problema genérico, no soy capaz de resolver para el caso particular f= exp[- (x^2)] que dieron como ejemplo en clases, o sea, cómo se resuelve esa integral impropia?
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Pero, siendo ese caso particular una gaussiana, y sabiendo que la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana, no necesitás hacer el producto de convolución.
![[tex]f(x) = e^{-x^2}[/tex]](images/latex/652b05d3352126722679baa7501b1f385034ecbf_0.png "[tex]f(x) = e^{-x^2}[/tex]")
![[tex]F(k) = \sqrt{\pi}e^{-k^2/4}[/tex]](images/latex/cabe64ec4615c193ef856e86ba5140ba1c28b59f_0.png "[tex]F(k) = \sqrt{\pi}e^{-k^2/4}[/tex]")
![[tex]U(k, t) = F(k)e^{-\alpha k^2t} = \sqrt{\pi}e^{-k^2/4}e^{-\alpha k^2t} = \sqrt{\pi}e^{-(1 + 4\alpha t)k^2/4} = \sqrt{\beta(t)}\sqrt{\frac{\pi}{\beta(t)}}e^{-k^2/4\beta(t)}[/tex]](images/latex/94e4f8174b35cbaeb64b34198af0e692d13eed3e_0.png "[tex]U(k, t) = F(k)e^{-\alpha k^2t} = \sqrt{\pi}e^{-k^2/4}e^{-\alpha k^2t} = \sqrt{\pi}e^{-(1 + 4\alpha t)k^2/4} = \sqrt{\beta(t)}\sqrt{\frac{\pi}{\beta(t)}}e^{-k^2/4\beta(t)}[/tex]")
Con ![[tex]\beta(t) = \frac{1}{1 + 4\alpha t}[/tex]](images/latex/15375c2c143f3c65d68037c903208ecd8dfd3ef1_0.png "[tex]\beta(t) = \frac{1}{1 + 4\alpha t}[/tex]") . Que es otra gaussiana (en k), posible de antitransformar:
![[tex]u(x, t) = \sqrt{\beta(t)}e^{-\beta(t)x^2} = \sqrt{\frac{1}{1 + 4\alpha t}} \exp \left ( - \frac{x^2}{1 + 4\alpha t} \right)[/tex]](images/latex/d8aa43ca93448958ca73105978585580dbc29c01_0.png "[tex]u(x, t) = \sqrt{\beta(t)}e^{-\beta(t)x^2} = \sqrt{\frac{1}{1 + 4\alpha t}} \exp \left ( - \frac{x^2}{1 + 4\alpha t} \right)[/tex]")
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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| Este pibe la tiene re clarinete loco.
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
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Carrera: No especificada
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Shit, yo ni sé que es una gaussiana.
La superficie donde se calcula el flujo por ley de gauss?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
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Una Gaussiana es una función de la forma ![[tex]f(x) = a \exp\left[-\frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2}\right][/tex]](images/latex/216419e331dbd91d5a2382943ba316ff0f055980_0.png "[tex]f(x) = a \exp\left[-\frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2}\right][/tex]") , en donde ![[tex]a,b,c[/tex]](images/latex/b8fc92a88e712fba2596202b9c5e32bf51f58c3c_0.png "[tex]a,b,c[/tex]") son números reales.
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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Estuve viendo ejercicios de ecuación de calor y la mayoría parecen ser imposibles de resolver mediante transformada de Fourier:
-Los que tienen condiciones de borde en 0 y ![[tex]\pi[/tex]](images/latex/a66520914b4c74136c2f22f2bf167c0c63378abf_0.png "[tex]\pi[/tex]") , ![[tex]2 \pi[/tex]](images/latex/6a899ad42288dcccfb9a11813609b2ff687ca19b_0.png "[tex]2 \pi[/tex]") y demás.
-Los que no son homogéneas.
Estos se resolverían mediante separación de variables + series de Fourier.
Por favor que alguien me confirme esta información pues he desperdiciado memoria de mi cerebro en saberme el método según transformada y sólo aplica para pocos finales de AMIII.
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| ¿Estás estudiando de memoria?
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anon.123
Nivel 3
Registrado: 11 Dic 2012
Mensajes: 57
Carrera: No especificada
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| Jackson666 escribió:
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¿Estás estudiando de memoria?
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No. Quise decir que los ej. suelen ser muy "mecanizables". Hacés un par y los demás salen fácilmente.
Con ese fin me aprendí el método de resolución en este tema, pero encuentro que muy pocos ejercicios de condución del calor se resuelven de esta forma; en la mayoría optan por separación de variables + series de Fourier. ¿significa esto que esos casos no son resolubles mediante transformadas de Fourier?
Actualmente, para no hablar al aire, estoy haciendo el ej 3 de este final: EJ 3
que vos mismo resolviste. Usando transformada de Fourier se llega a algo medio absurdo.
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fed55
Nivel 2
Registrado: 12 Ene 2013
Mensajes: 19
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| anon.123 escribió:
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| Jackson666 escribió:
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¿Estás estudiando de memoria?
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No. Quise decir que los ej. suelen ser muy "mecanizables". Hacés un par y los demás salen fácilmente.
Con ese fin me aprendí el método de resolución en este tema, pero encuentro que muy pocos ejercicios de condución del calor se resuelven de esta forma; en la mayoría optan por separación de variables + series de Fourier. ¿significa esto que esos casos no son resolubles mediante transformadas de Fourier?
Actualmente, para no hablar al aire, estoy haciendo el ej 3 de este final: EJ 3
que vos mismo resolviste. Usando transformada de Fourier se llega a algo medio absurdo.
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cuando tenes recintos finitos: separacion d variables + (casi siempre) series de fourier
cuando tenes recintos infinitos: separacion d variables y dsp t tendria q qedar expresada como una integral en vez d una serie la solucion, o tmb cuando tenes recintos infinitos podes usar TF o si tens barras o cuerdas semi-infinitas (TF senos o cosenos dependiendo el dato)
al menos asi los hago yo jaja 
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