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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Buenas!
El ejercicio es el siguiente:
Estudiar para qué beta converge ![[tex] \int_{0}^{\infty} \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} dz [/tex]](images/latex/af244b1c3773c19aeb353b8d5b4351db81c59fc2_0.png "[tex] \int_{0}^{\infty} \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} dz [/tex]")
Lo que plantee es:
![[tex]-1 =< cos(x) =< 1 [/tex]](images/latex/9643ce1e61f0511e02026236ddccbb262459dca2_0.png "[tex]-1 =< cos(x) =< 1 [/tex]")
![[tex]-\frac{x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{x^{beta}}{x^2+1}[/tex]](images/latex/74afca82986a2e31c1590d36c81da57aa3258f80_0.png "[tex]-\frac{x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{x^{beta}}{x^2+1}[/tex]")
![[tex]-\frac{x^{beta}}{x^2} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{x^{beta}}{x^2}[/tex]](images/latex/b79ef17e5ab3ae0c769ce65ccdb8f62e11cc605d_0.png "[tex]-\frac{x^{beta}}{x^2} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{x^{beta}}{x^2}[/tex]")
![[tex]-\frac{1}{x^{2-beta}} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{1}{x^{2-beta}}[/tex]](images/latex/ba1445c45e0267a6ae289657e59245ce7c9518dc_0.png "[tex]-\frac{1}{x^{2-beta}} =< \frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1} =< \frac{1}{x^{2-beta}}[/tex]")
Entonces sé que si ![[tex]\frac{1}{x^{2-beta}}[/tex]](images/latex/48050898256e4a06bd92faa7786467c464e98c2c_0.png "[tex]\frac{1}{x^{2-beta}}[/tex]") converge, ![[tex]\frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1}[/tex]](images/latex/3b47097ea188a24863cca3d9139a70c2f20ce3dd_0.png "[tex]\frac{cos(x) x^{beta}}{x^2+1}[/tex]") también.
Mi consulta es cómo demostrar que converge jajaja.
Gracias por su tiempo!
edit:
Tengo un polo en z=0 ... podría usar: ![[tex] \int_{C}^{} f(z) dz = \pi i Res[f(z),0] [/tex]](images/latex/e49c6e7c70e76982ce9e48899e2fb316e3bb27e7_0.png "[tex] \int_{C}^{} f(z) dz = \pi i Res[f(z),0] [/tex]") ??
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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la integral entre 0 y infinito de cos(x) está acotada. Buscá para que beta, x^beta/x^2+1 tiende a 0 y por el criterio magico del chabon cuyo nombre me olvidé, la integral converge.
edit: el antedicho chabón es Dirichlet
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![[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]](images/latex/99f2e51931163431f7feb4825fc711ebccd99981_0.png "[tex] \nabla ^u \nabla_u \phi = g^{ij} \Big( \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma^{k}_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x^k} \Big)\\\\\frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^i} + \sigma^{kj} \Gamma^i _{ki} + \sigma^{ik} \Gamma^j _{ki} = 0[/tex]")
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Buenísimo, ahí salió. Gracias!
Como ![[tex] \int_{0}^{\infty} cos(x) dz \, acotada [/tex]](images/latex/782fd6cccec135f78ff4daff5cdeaa76eeb875fc_0.png "[tex] \int_{0}^{\infty} cos(x) dz \, acotada [/tex]") , busco beta tal que el límite de ![[tex]\frac{ x^{beta}}{x^2+1}[/tex]](images/latex/78c848560c5c5d204c185a0bfca2281cb30f0543_0.png "[tex]\frac{ x^{beta}}{x^2+1}[/tex]") se anule para x > infinito.
Me queda que la condición es que beta < 2.
El punto b) pide elegir un beta y calcular la integral.
Elegí beta = 0... pero me da ![[tex]\pi * cos(i) / 2 = \frac{\pi * (1/e + e)}{ 4}[/tex]](images/latex/bd29458e5eba47c368c71b9fee8d9936bdffbe61_0.png "[tex]\pi * cos(i) / 2 = \frac{\pi * (1/e + e)}{ 4}[/tex]") ... el wolframalpha dice que da ![[tex]\frac{\pi}{ 2*e }[/tex]](images/latex/f2dc5cd056d4f36cdc3ff8986813c48527c6b013_0.png "[tex]\frac{\pi}{ 2*e }[/tex]")
Pero buen, no sé en qué le chingué
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df
Nivel 9
Edad: 32
Registrado: 15 May 2010
Mensajes: 2298
Carrera: Civil
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Primero con beta=1, te queda un integrando par, asi que podes calcular directamente
![[tex]\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(x)}{x^2+1} dx [/tex]](images/latex/8efd092b2313c409914122c082dfd0586fbdfbc9_0.png "[tex]\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{cos(x)}{x^2+1} dx [/tex]")
o sea la parte real de
![[tex]\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx [/tex]](images/latex/a9a14688d43848027222b718e093221da97da948_0.png "[tex]\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx [/tex]")
que es (teoremas y cosas varias mediante)
![[tex]\frac{1}{2}Re( 2 \pi i Res( \frac{e^{iz}}{z^2+1}, i))[/tex]](images/latex/38d08a13d8272877bd6796178884553877383994_0.png "[tex]\frac{1}{2}Re( 2 \pi i Res( \frac{e^{iz}}{z^2+1}, i))[/tex]")
(los residuos correspondientes a las singularidades en Im(z) > 0)
ooo sea
![[tex]\pi i \frac{e^{-1}}{2 i} = \frac{\pi}{2 e}[/tex]](images/latex/b254175a7125d0365cd3361f21b9cb6ba0c55a63_0.png "[tex]\pi i \frac{e^{-1}}{2 i} = \frac{\pi}{2 e}[/tex]")
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Fijate que tiene polos simples en ![[tex]i[/tex]](images/latex/a4c1c5aa2403f597f891e4ee97abe072c60a5117_0.png "[tex]i[/tex]") y ![[tex]-i[/tex]](images/latex/dc95cf330f49dfc8e2576ee0b7a4dcd4799ebaa8_0.png "[tex]-i[/tex]") y cuanto te da los residuos en cada uno. Por ejemplo, para ![[tex]z=i[/tex]](images/latex/116137986ce690c10fcb40752553bd599272e8b6_0.png "[tex]z=i[/tex]") , que sería si elegís hacer la integral por el plano donde ![[tex]Im(z) >= 0[/tex]](images/latex/8a79680edc1c29f21b70816e55b179a67a4fc497_0.png "[tex]Im(z) >= 0[/tex]") te queda:
![[tex]f(z) = \frac{e^{iz}}{(z+i)(z-i)}[/tex]](images/latex/4258e88cf270bd8516a674dbd05240e7d3dcbd6b_0.png "[tex]f(z) = \frac{e^{iz}}{(z+i)(z-i)}[/tex]")
Para sacar el residuo, por ser polo simple, multiplicás por [/tex]](images/latex/fd1ec9791bbd4a068e2de6e507de6738b7c429e5_0.png "[tex](z-i)[/tex]") y hacés tender ![[tex]z \rightarrow +i[/tex]](images/latex/97c35523f978749bd5bffaff455add1d84135d25_0.png "[tex]z \rightarrow +i[/tex]") . Entonces te queda:
![[tex]Res_{z=i} = \lim_{z \rightarrow i} (z-i) \frac{e^{iz}}{(z+i)(z-i)}[/tex]](images/latex/a8b765cb9c031201012395c7b58cc2ab247cf06b_0.png "[tex]Res_{z=i} = \lim_{z \rightarrow i} (z-i) \frac{e^{iz}}{(z+i)(z-i)}[/tex]")
![[tex]Res_{z=i} = \lim_{z \rightarrow i} \frac{e^{iz}}{z+i} = \frac{1}{2ie}[/tex]](images/latex/3ac420f97e1bc60db969937320ce6b0fc3b3a83a_0.png "[tex]Res_{z=i} = \lim_{z \rightarrow i} \frac{e^{iz}}{z+i} = \frac{1}{2ie}[/tex]")
La otra manera de obtener el residuo cuando tenes un polo simple es derivar el denominador y evaluar la función en el polo:
![[tex]Res_{z=i} = \frac{e^{iz}}{2z} |_{z=i} = \frac{1}{2ie}[/tex]](images/latex/b2df2b381fa568968a766963a396d75c7070ce7a_0.png "[tex]Res_{z=i} = \frac{e^{iz}}{2z} |_{z=i} = \frac{1}{2ie}[/tex]")
Como la integral es igual a ![[tex]\sum \text{Res} \cdot 2\pi i[/tex]](images/latex/00fd2b5e37fc00cacb57b6e14476ea5ba44e87ff_0.png "[tex]\sum \text{Res} \cdot 2\pi i[/tex]") , te queda:
![[tex]\int_{-\infty}^\infty f(z) dx = \frac{\pi}{e}[/tex]](images/latex/54d570170df33cb5978b8aa8cc8b7fe0dd4a8cfd_0.png "[tex]\int_{-\infty}^\infty f(z) dx = \frac{\pi}{e}[/tex]") .
Como tu integral cubre la mitad del dominio y es simétrica respecto del eje y (es par), entonces el valor de la integral es la mitad que el valor en el dominio entero. Como yapa, obtenés que la integral con seno en vez de coseno en el numerador es 0 (sería la parte imaginaria del resultado, que en este caso es 0). También podes darte cuenta que es 0 por ser función impar.
EDIT: me cago en df
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
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Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Sigo escribió:
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Como ...
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Esa integral no converge. Lo que es acotado es el coseno. Y la integral es respecto de x, no de z. Te digo porque no creo que el que te corrije vea muy bien que escribas que esa integral es acotada  .
Lo que estas usando constantemente es que el módulo de una integral es menor o igual a la integral del módulo del integrando.
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| Les agradezco a los 3, me quedó claro ahora, gracias!
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