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magicum
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Para un gas ideal con capacidades caloríficas constantes, demuestre que:
a) Para un cambio de temperatura T1 a T2 el cambio de entropia del gas es mayor cuando el cambio ocurre a presión constante que cuando ocurre a volumen constante.
b) Para un cambio de presión de P1 a P2, el signo de ∆S para un cambio isotérmico es opuesto al de un cambio a volumen constante.
No comprendo bien esta deducción ¿alguna manita por favor?
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Franzl
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Por definición la entropía está definida en forma diferencial como ![[tex]dS=\frac {\delta Q}{T}[/tex]](images/latex/dd1a76c409ad7bb6eca3376c22bebfb3d405deb6_0.png "[tex]dS=\frac {\delta Q}{T}[/tex]") , y la clave está en explicitar el calor como ![[tex]\delta Q = m\cdot c \cdot dT[/tex]](images/latex/84ff9c8292281ba6210198b833972f89b5e61c1c_0.png "[tex]\delta Q = m\cdot c \cdot dT[/tex]") (por ser un gas ideal), donde ![[tex]c[/tex]](images/latex/be9c3d50f54aca031d819fbe4d05ca6feeac5106_0.png "[tex]c[/tex]") es una capacidad calorífica genérica.
Cuando la transformación ocurre en una isobara tendrás una capacidad calorífica propia de ese gas (![[tex]c_p[/tex]](images/latex/b8b70cd38e45a51842bc45cdeae841c7e87aeba6_0.png "[tex]c_p[/tex]") ), y lo mismo pasa para una isocora (![[tex]c_v[/tex]](images/latex/844e7e5c4642ef66bf6a2e7d39207f7246a30005_0.png "[tex]c_v[/tex]") ). Las mismas están tabuladaas según el tipo de gas que utilizás.
Entonces te queda calcular la variación entropía para cada una de las transformaciones y compararlas.
Por ejemplo, la de la isobara:
![[tex]\Delta S_p=\int\limits_{1 \rightarrow 2} \frac {\delta Q}{T} = \int\limits_{1 \rightarrow 2} m\cdot c_p \cdot \frac {dT}{T}=m\cdot c_p \cdot ln \begin{pmatrix}\frac{T_2}{T_1} \end{pmatrix}[/tex]](images/latex/aa76a1d4ddeea2c721aba5ff8d4b7898d577e23c_0.png "[tex]\Delta S_p=\int\limits_{1 \rightarrow 2} \frac {\delta Q}{T} = \int\limits_{1 \rightarrow 2} m\cdot c_p \cdot \frac {dT}{T}=m\cdot c_p \cdot ln \begin{pmatrix}\frac{T_2}{T_1} \end{pmatrix}[/tex]")
Para el caso de la isocora queda igual, salvo por la capacidad calorífica. Luego la capacidad calorífica a presión constante es mayor que la que ocurre a presión constante y, por consiguiente, su variación de entropía también lo será.
En el caso de realizar un proceso isotérmico sería un error decir que ![[tex]\delta Q = m\cdot c \cdot dT = 0 [/tex]](images/latex/996188f777d8b012d88700862e27270cf9e53dc7_0.png "[tex]\delta Q = m\cdot c \cdot dT = 0 [/tex]") , porque no varía su temperatura.
Lo que es cierto es que *![[tex]d U = m\cdot c_v \cdot dT = 0 [/tex]](images/latex/7a57fafbb6c4f9768e486b0e4dcb5551dc0a2a31_0.png "[tex]d U = m\cdot c_v \cdot dT = 0 [/tex]") ya que la ecuación vale siempre que sea gas ideal. Entonces, por el primer principio ![[tex]\delta Q - \delta W= dU[/tex]](images/latex/9562eeec0e4225a631efbd9c2fe8c35f7ee32f50_0.png "[tex]\delta Q - \delta W= dU[/tex]") y por ser una transformación isotérmica ![[tex]\delta Q = \delta W[/tex]](images/latex/5245b05aad340ec8fe817430310daa8b09440106_0.png "[tex]\delta Q = \delta W[/tex]") .
Tratá de pensarlo y cualquier cosa volvés a consultar.
Saludos
*EDIT
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Última edición por Franzl el Mie Oct 17, 2012 7:23 pm, editado 1 vez
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magicum
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Franzl Gracias por tu ayuda...
Sabes nunca he sido buena en las deducciones de verdad muchas gracias por la ayuda.
Dejeme analizarlo mejor. Este es el problema 5.11 del Smith Van Ness pero en el solucionario no viene ja ja ja ja ja (Quizas por ser deduccion) pero me encantaria saber mas de como llegar mejor a lo planteado.
POSDATA: Gracias por pasar por mi post.
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Franzl
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| Qué es lo que te gustaría saber? cómo se llega a, por ejemplo, ?
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magicum
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No es por ser grocera pero... Quisiera saber como hacer esas dos deducciones paso por paso para demostrarlas.
Es la primera vez que veo Entropia y por eso no se nada del asunto. Sorry pero lo que escribiste estoy segura que esta bien... pero como deducir eso apartir de algo?
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magicum
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Bueno después de verlo si me gustaría saber como llegar a
esa expresión después de todo eso explicaría la deducción a) cierto?
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Franzl
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Para fines prácticos, el calor intercambiado puede medirse si se conoce la capacidad calorífica [/tex]](images/latex/523447fd8ae4fdcd46884e2d1ae8fd5d8cabed7f_0.png "[tex](C)[/tex]") del sistema. Esta capacidad calorífica es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura del sistema un grado, en ese caso:
![[tex]C= \frac{ \delta Q} {dT}[/tex]](images/latex/7b2816148f76a14a2e5bc9bf4f50afae37fdc71b_0.png "[tex]C= \frac{ \delta Q} {dT}[/tex]")
Pero resulta más cómo trabajar con la capacidad calorífica específica [/tex]](images/latex/80dd51e16c02a9d2a3cc44b0f41dc65d4c0f9a40_0.png "[tex](c)[/tex]") , la cual es la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de 1g de sustancia.
En ese caso, si yo conozco experimentalmente las capacidades caloríficas específicas puedo calcular la cantidad de calor intercambiado, osea:
![[tex] \delta Q = m \cdot c \cdot dT[/tex]](images/latex/0430c25796ae9a4216a16b3a2b1cc5f1222477d3_0.png "[tex] \delta Q = m \cdot c \cdot dT[/tex]")
Esto se verifica experimentalmente.
Ahora bien, la energía interna, como función será una función de los parámetros utilizados para describir el estado. Estos parámetros pueden ser presión, volumen y temperatura; pero además, por la ecuación de los gases ideales podrías escribir una en función de las otras dos, por lo tanto podés tomar como parámetros dos de ellas.
Si por ejemplo tomamos temperatura y volumen:
![[tex]U=f(T,V)[/tex]](images/latex/e693a48328cdd8c7b1e641850df89c3678b17421_0.png "[tex]U=f(T,V)[/tex]")
y si diferenciamos:
![[tex]dU= \frac{\partial U}{ \partial T} dT + \frac{\partial U}{ \partial V} dV[/tex]](images/latex/67e428e54e236724fe2f412ee8aa20fc3d16ab3b_0.png "[tex]dU= \frac{\partial U}{ \partial T} dT + \frac{\partial U}{ \partial V} dV[/tex]")
Ahora supongamos que tratamos un sistema termoelástico cerrado, el cual solo puede variar su volumen por variación de temperatura o presión. En este caso solo puedo intercambiar trabajo con el medio por variación de volumen, y si el proceso se realiza a volumen constante tendremos
![[tex]\delta Q = dU[/tex]](images/latex/1e0deabf460173069a4d17fdfe89272659ee2156_0.png "[tex]\delta Q = dU[/tex]") ya que ![[tex]\delta W = 0[/tex]](images/latex/806d89715f67b0c0414cff701e20d52bf0d88b2a_0.png "[tex]\delta W = 0[/tex]") porque realizamos un proceso isocórico.
volviendo a la ecuación, vamos a tener que el segundo sumando se anula por ser un proceso isocórico:
![[tex]d U_v = \frac{\partial U}{ \partial T} dT[/tex]](images/latex/054606815d54b5fa6bf55cf2c5dd5ce50bba8d88_0.png "[tex]d U_v = \frac{\partial U}{ \partial T} dT[/tex]")
pero como
![[tex]\delta Q_v = \frac{\partial U}{ \partial T} dT[/tex]](images/latex/25f94414943a3bf239927a6267502dbf03c757ee_0.png "[tex]\delta Q_v = \frac{\partial U}{ \partial T} dT[/tex]")
o sea:
![[tex]\frac {\delta Q_v}{dT} = \frac{\partial U}{ \partial T} [/tex]](images/latex/2fb49d4a69505a58341ba7ac133cc94b8c7726a3_0.png "[tex]\frac {\delta Q_v}{dT} = \frac{\partial U}{ \partial T} [/tex]")
Pero recordando lo que te escribí al principio
![[tex]C_v= \frac{ \delta Q_v} {dT}[/tex]](images/latex/49142e0d637cf24fab67257b3a4135d468f39d9f_0.png "[tex]C_v= \frac{ \delta Q_v} {dT}[/tex]")
Lo que conduce a que
![[tex]C_v= \frac{dU} {dT}[/tex]](images/latex/831f8e1578a084fe9b6a17e868b9fad0562bed5f_0.png "[tex]C_v= \frac{dU} {dT}[/tex]")
Y, en conclusión, reemplanzando ![[tex]c=\frac{C}{m}[/tex]](images/latex/44128c2f99e3c424e0563e575cf7de9d3a80bf64_0.png "[tex]c=\frac{C}{m}[/tex]") :
![[tex]dU = m \cdot c_v \cdot dT[/tex]](images/latex/8f7a317472ef4bd61d60b0016d2813e1afe587ae_0.png "[tex]dU = m \cdot c_v \cdot dT[/tex]")
Hasta acá este calculo se podía realizar siempre y cuando se trate de un gas ideal en un sistema cerrado al cual se le realiza una transformación isocórica.
Luego, un tipo llamado Joule realizó un experimento, en el cual utilizó un recipiente con un gas comunicado con una válvula con otro recipiente vació. Se sumergen ambos recipientes en agua con un termómetro y un calorímetro y, como las paredes no son adiabáticas, el agua tendrá la misma temperatura que el gas (y si así no fuera se produce un intercambio de calor hasta alcanzar el equilibrio térmico). Al abrir la válvula el gas se expande y consecuentemente disminuye su presión. Si el gas que se colocó es un "gas perfecto" se observa que el termómetro no cambia, por lo tanto no hubo variación en la temperatura del gas, y que tampoco se produjo transferencia de calor entre el agua del calorímetro.
Es decir que ![[tex]Q=0[/tex]](images/latex/9ec82b91bd5ea6db6f9b8b39c42e26e73ca0c05c_0.png "[tex]Q=0[/tex]") y ![[tex]Q= \Delta U + W = 0[/tex]](images/latex/a05cf10d0e2ace1f563e1dc55467eb5469f0bda0_0.png "[tex]Q= \Delta U + W = 0[/tex]")
Pero tampoco hubo trabajo ya que no cedió energía mecánica ni tampoco la recibió.
Entonces ![[tex]W=0[/tex]](images/latex/faa8d03f6da56cf33fd9ae6457ee38aef38d5a8a_0.png "[tex]W=0[/tex]") y ![[tex]\Delta U = 0[/tex]](images/latex/d169a05a6e234d892a10f35e8de633ce95e293bd_0.png "[tex]\Delta U = 0[/tex]")
En definitiva se puede concluir que la energía interna solo depende de la temperatura porque fue el único parámetro que no sufrió modificaciones. Si la energía interna dependiera de la temperatura y del volumen, al variar su volumen tendría que variar su temperatura de forma tal que la energía interna se mantenga constante.
Por lo tanto ![[tex]U= f ( T )[/tex]](images/latex/5525e8828c4c828702d0eb3a710b750165d86457_0.png "[tex]U= f ( T )[/tex]")
y para un gas ideal se cumple siempre
![[tex]dU= m \cdot c_v \cdot dT[/tex]](images/latex/5b23518953a8544b6426266d8670ef1ab556a045_0.png "[tex]dU= m \cdot c_v \cdot dT[/tex]")
Para tener en cuenta: la experiencia de Joule podría no ser del todo cierta debido a que la capacidad calorífica del agua es mucho mayor que la capacidad calorífica del gas, y como se tiene mayor masa de agua que del gas podría haber ocurrido una transferencia de calor del agua al gas o viceversa, que provocaría una variación de temperatura en el agua muy pequeña que no es medible por el termómetro. Igualmente el resultado es correcto y se puede confirmar con la experiencia de Joule-Thompson y las consecuencias del segundo principio de la Termodinámica.
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