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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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Hola, tengo la siguiente ecuacion diferencial
A.t + B/t = (dy(t)/dt)^n
La derivada esta potenciada a la n, NO ES UNA DERIVADA n-ESIMA. A y B son constantes.
¿Como puedo resolverla?
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Media pileta che, no cuesta nada escribirla bien. La ED es ![[tex]At + \frac{B}{t} = \left[y^{\prime}(t) \right]^{n}[/tex]](images/latex/3f41240221f529ac928fa902dd7f039cef3f3094_0.png "[tex]At + \frac{B}{t} = \left[y^{\prime}(t) \right]^{n}[/tex]") . Si jugas un poco con la expresión y aplicas logaritmo natural en ambos miembros, queda ![[tex]\ln\left( At^{2} + B \right) = n \ln \left[ y^{\prime}(t)\right] + \ln(t)[/tex]](images/latex/8d641663776a39595d3fa4702ad59f63d44c0bd1_0.png "[tex]\ln\left( At^{2} + B \right) = n \ln \left[ y^{\prime}(t)\right] + \ln(t)[/tex]") .
Derivando m.a.m. queda ![[tex]\frac{2t}{At^{2} + B} = \frac{1}{t} + n \frac{y^{\prime \prime}(t)}{y^{\prime}(t)} \Leftrightarrow n y^{\prime \prime}(t) - \left[\frac{t^{2}(2-A) - B}{At^{3} + Bt}\right]y^{\prime}(t) = 0[/tex]](images/latex/ec15c0a676002dcbc263b1c47b48e1832f0e5646_0.png "[tex]\frac{2t}{At^{2} + B} = \frac{1}{t} + n \frac{y^{\prime \prime}(t)}{y^{\prime}(t)} \Leftrightarrow n y^{\prime \prime}(t) - \left[\frac{t^{2}(2-A) - B}{At^{3} + Bt}\right]y^{\prime}(t) = 0[/tex]") y eso es una EDO lineal de segundo orden a coeficientes variables. Si mal no recuerdo, sale con un factor integrante o algo por el estilo, ¿no?. Buscate en Google algo de información sobre esto, pero estoy casi seguro que hay transformaciones que la llevan a una EDO de coeficientes constantes.
Obviamente que para llegar a esto hay un montón de supuestos que no escribí, pero que creo se entienden.
PD: ¿De dónde sacaste este ejercicio?.
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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| Uhhh muchas gracias chabon! El ejercicio me lo propuso un ayudante de la practica! Ni idea de donde lo habrá sacado él.
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kyle_k
Nivel 3
Registrado: 06 Oct 2010
Mensajes: 30
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| Creo que se resuelve por teorema de Fuchs lo que te queda
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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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| Puede ser, la verdad no sé. Conozco el teorema pero jamás lo aplique para hallar una solución, así que no conozco la mecánica de cómo se usa.
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