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Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
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Porque para parametrizar la superficie ya usaste coordenadas cilíndricas. Al integrar el campo vectorial correspondiente, tenes que proyectar al mismo sobre la normal a la superficie en todo punto. Eso lo logras haciendo el producto escalar del campo (evaluado en tu parametrización) con el versor normal a la superficie, que es el producto vectorial de las derivadas parciales de tu parametrización (sobre su norma, pero que después se simplifica con el elemento diferencial de superficie). En ningún momento necesitas el Jacobiano, porque no hay ningún cambio de coordenadas.
Otra cosa, totalmente distinta, es cuando estás calculando una integral de superficie, flujo, o lo que sea, y pasas de cartesianas a cilíndricas en el medio del cálculo. Al haber un cambio de escala debido a ese cambio (inherente a los distintos sistemas de coordenadas), necesariamente hay que "enchufar" el Jacobiano en el integrando para que el cálculo sea válido y la igualdad se mantenga.
Como "receta" recorda que si parametrizaste la superficie, el Jacobiano NO VA. Sino, sí.
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Franco Spada
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 04 Oct 2010
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Carrera: Electrónica
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El jacobiano va cuando vos haces un cambio de variables después de haber planteado la integral con sus limites y todo.
En el examén yo siempre parametrizaba antes de plantear la integral, nunca puse ningún jacobiano y no tuve problemas con eso.
Pongo un ejemplo por si no queda claro:
Si a vos te dan una superficie representada con una ecuación, por ejemplo
![[tex]x²+y²+z²=9[/tex]](images/latex/8172213631e7ce2270e2500ba70bafc71c371a5c_0.png "[tex]x²+y²+z²=9[/tex]")
vos podes expresar al conjunto de puntos que conforman esa superficie de varias maneras.
Una forma cartesiana podría ser:
![[tex]f(x,y) = (x,y,\sqrt{x²+y²-9})[/tex]](images/latex/6fb717ac85bc8eeb6bb3bf8dc71dde864cab22f3_0.png "[tex]f(x,y) = (x,y,\sqrt{x²+y²-9})[/tex]") con ![[tex]x²+y²<9[/tex]](images/latex/690ae11e2461b7dc3cb3241af6e208aa4abbabce_0.png "[tex]x²+y²<9[/tex]")
Una con coordenadas polares:
![[tex]f(\theta,\rho) = (3cos(\theta)sen(\rho),3sen(\theta)sen(\rho),3cos(\rho))[/tex]](images/latex/e53b443973c1e97de7f9283e5132caf92ed00d4d_0.png "[tex]f(\theta,\rho) = (3cos(\theta)sen(\rho),3sen(\theta)sen(\rho),3cos(\rho))[/tex]") con ![[tex]0\leq\theta\leq2\pi[/tex]](images/latex/93c29f60a72ae7d78f421d73e1cab6c2d6268e47_0.png "[tex]0\leq\theta\leq2\pi[/tex]") y ![[tex]0\leq\rho\leq\pi[/tex]](images/latex/bd9b592297a7f39d8045e7c6d84641f6c9989c7b_0.png "[tex]0\leq\rho\leq\pi[/tex]")
En ninguno de esos dos casos tendrías que agregar jacobiano si planteas la integral con esas parametrizaciones.
Listo, ya aprendí a usar el tex del foro XD
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"¿Como revolucionar a nuestros hermanos,
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Última edición por Franco Spada el Jue Ago 02, 2012 10:39 am, editado 1 vez
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
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Mensajes: 182
Carrera: Civil
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ahi esta el ejercicio, esa es la parte del volumen, ahi hice lo mismo, salvo el error del limite de integracion, yo inclui el jacobiano en la integral y pase a coordenadas cilindricas antes de hacer la integral ese esta bien obviando el error del limite de integracion???
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Franco Spada
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 04 Oct 2010
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Carrera: Electrónica
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| Pasa que ahí no hiciste ninguna de las dos cosas, ni parametrizaste ni hiciste cambio de variables. Fijate que el cuerpo que querés describir es un paraboloide macizo, y cuando vos pones "en coordenadas cilíndricas" , lo que te quedo es la función que te da los puntos de un cilindro, no de un paraboloide.
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juanminho_16
Nivel 5
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Carrera: Civil
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| entonces?? en coordenadas cilindricas me quedaria (16-ro^2, rocostita, rosentita)????
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juanminho_16
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| de esa forma no seria una superficie???
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Franco Spada
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Carrera: Electrónica
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Yo lo plantearía así:
la ecuación del paraboloide sería:
![[tex] 16 - x = y²+z²[/tex]](images/latex/ef161d66ac059209d9e56f55653bfeb945c206ed_0.png "[tex] 16 - x = y²+z²[/tex]") (si no la estoy pifiando)
en cilíndricas vos expresas las variables con estas relaciones:
![[tex] \sqrt{y²+z²} = r [/tex]](images/latex/40b3775e22940e0e76049f5db6e5933959c15d78_0.png "[tex] \sqrt{y²+z²} = r [/tex]")
![[tex] y = r sen(\theta) [/tex]](images/latex/d88b0f1f21e6a84aa1ca829a53b8ef72f1b10fb6_0.png "[tex] y = r sen(\theta) [/tex]")
![[tex] z = r cos(\theta) [/tex]](images/latex/64aa1a7c4637d4414ee8b97ede55b116b1e0be4a_0.png "[tex] z = r cos(\theta) [/tex]")
![[tex] x = x [/tex]](images/latex/70900810bb260df64583eda999cedf9dabee8f99_0.png "[tex] x = x [/tex]")
En este caso, como demuestra la ecuación del paraboloide, el radio no es constante a lo largo del cuerpo sino que depende de x, por lo tanto:
![[tex] r = 16-x [/tex]](images/latex/ffe5f0181e97c9b22a784e83056cc26786d4cf7a_0.png "[tex] r = 16-x [/tex]")
Una forma de expresar el cuerpo sería:
![[tex] f(x,\rho,\theta) = (x,\rho sen(\theta),\rho cos(\theta)) [/tex]](images/latex/270d54c5ac7e40d3203c28cfdf8d9c2b7d58e6e6_0.png "[tex] f(x,\rho,\theta) = (x,\rho sen(\theta),\rho cos(\theta)) [/tex]")
con ![[tex] 7 \leq x \leq 16 , 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \rho \leq (16-x) [/tex]](images/latex/1b096714e5cd670673b840b54490397871c94e39_0.png "[tex] 7 \leq x \leq 16 , 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \rho \leq (16-x) [/tex]")
Con esa expresión de arriba te quedan los limites de las integrales, pero también podrías escribirlo así:
![[tex] f(x,\rho,\theta) = (x,\rho(16-x)sen(\theta),\rho(16-x) cos(\theta)) [/tex]](images/latex/0aac49f5f2d9aaf64b521fec943aa683c5ead19c_0.png "[tex] f(x,\rho,\theta) = (x,\rho(16-x)sen(\theta),\rho(16-x) cos(\theta)) [/tex]")
con ![[tex] 7 \leq x \leq 16 , 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \rho \leq 1 [/tex]](images/latex/9ace9ccbda7122a408fb7bf5947e089e59325318_0.png "[tex] 7 \leq x \leq 16 , 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \rho \leq 1 [/tex]")
Fijate que ahí el radio para cada circunferencia te lo da x y ![[tex]\rho[/tex]](images/latex/c301c1d4f4791a621a06a6abf5582a926251b8d4_0.png "[tex]\rho[/tex]") lo único que hace es barrer por todo el radio.
Espero no haberme equivocado en nada y que se haya entendido, cualquier cosa pregunta.
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Franco Spada
Nivel 5
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Registrado: 04 Oct 2010
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Carrera: Electrónica
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| Agrego que por ahí no se entiende, el error no es solo en el limite de integración, sino en la parametrización a cilíndricas, con las condiciones que le pones a las variables en la parametrización, te queda una función que te da los puntos de un cilindro no del paraboloide.
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 182
Carrera: Civil
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| No termino de entender, vos describis el cuerpo igual que yo, entiendo lo que pones que el radio depende de x pero creo que sí reemplazo el limite de integración por el que puso el profesor funciona ya que la proyección sobre el plano xz es una parábola con vértice en 16 por lo cual x varía entre 7 y 16-ro2 que es la ecuación del paraboloide. Sí lo haces con una esfera centrada en origen por lo general pasa lo mismo z varía entre +- la ecuación de la esfera despejando z
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koreano
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Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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| Franco Spada escribió:
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El jacobiano va cuando vos haces un cambio de variables después de haber planteado la integral con sus limites y todo.
En el examén yo siempre parametrizaba antes de plantear la integral, nunca puse ningún jacobiano y no tuve problemas con eso.
Pongo un ejemplo por si no queda claro:
Si a vos te dan una superficie representada con una ecuación, por ejemplo
vos podes expresar al conjunto de puntos que conforman esa superficie de varias maneras.
Una forma cartesiana podría ser:
con
Una con coordenadas polares:
con y
En ninguno de esos dos casos tendrías que agregar jacobiano si planteas la integral con esas parametrizaciones.
Listo, ya aprendí a usar el tex del foro XD
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El problema con esto son las palabras. Cuando vos parametrizaste, en AMBOS casos estás usando el sistema de coordenadas cartesiano. Incluso en el segundo, es una parametrizacion en la que la primer coordenada significa el valor de x, la segunda y, y la ultima z. Así que hablando _bien_, ambas son parametrizaciones cartesianas y como estás interesado en calcular las cosas (flujos, areas, etc) en cartesianas, no tenés que poner ningun jacobiano.
Por otro lado, podés parametrizar la misma superficie usando coordenadas esféricas, [/tex]](images/latex/70339c5960d373ecfdafc63b43a6bf4281e8d57b_0.png "[tex](\rho, \theta, \phi)[/tex]") , y la parametrizacion puede ser bastante mas simple:
![[tex]f(a,b) = (3, a, b)[/tex]](images/latex/4417027af238242b6af433f899ef3d7f8c244b12_0.png "[tex]f(a,b) = (3, a, b)[/tex]") , con ![[tex]a \in [0, 2 \pi][/tex]](images/latex/b4e30941927f95307cf517639822a2877dcb8842_0.png "[tex]a \in [0, 2 \pi][/tex]") , ![[tex]b \in [0, \pi][/tex]](images/latex/4d0ac77b10169be4ecfb7f3be0ad724aaa8fbc01_0.png "[tex]b \in [0, \pi][/tex]")
Sin embargo, en este caso estás en coordenadas esféricas y NUNCA te van a pedir un área,etc en esas coordenadas. Lo que vos tenés que hacer es meter el Jacobiano para que el cálculo de área sea equivalente al que sería si usás coordenadas cartesianas. El Jacobiano actúa como un factor de escala entre los distintos cambios de coordenadas.
Recordar:
- Los resultados que calculamos son siempre expresados para coordenadas cartesianas: circulaciones, áreas, flujos, etc.
- Parametrizar en cartesianas, es decir, escribir una funcion de 1 o 2 variables a (x,y,z) no es hacer un cambio de coordenadas y por ende no lleva Jacobiano.
- Parametrizar en otro sistema de coordenadas puede ser útil si en las coordenadas cartesianas las cuentas son feas. Sin embargo, para llevar el resultado a cartesianas hay que multiplicar por la magnitud del jacobiano de cambio de coordenadas.
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juanminho_16
Nivel 5
Edad: 34
Registrado: 20 Oct 2009
Mensajes: 182
Carrera: Civil
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Bien, haber si te entiendo, si yo escribo (x,y,z) y por ahi me conviene escribirlo como x=x , y=rocostita , z=rosentita , eso es una parametrizacion no un cambio de variables. es asi? por lo tanto no lleva Jacobiano? si yo cambio de variables tengo que definir unas nuevas en funcion de las anteriores? por ejemplo (x,y)=(U(x,y),V(x,y)) en este caso llevaria Jacobiano??
Por lo tanto en el caso de usar coordenadas polares cilindricas o esfericas tendria que incluir el Jacobiano si alguna de las variables depende de alguna de las anteriores
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Franco Spada
Nivel 5
Edad: 32
Registrado: 04 Oct 2010
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Ubicación: 34º36'S58º22'O Carrera: null
Carrera: Electrónica
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| juanminho_16 escribió:
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No termino de entender, vos describis el cuerpo igual que yo, entiendo lo que pones que el radio depende de x pero creo que sí reemplazo el limite de integración por el que puso el profesor funciona ya que la proyección sobre el plano xz es una parábola con vértice en 16 por lo cual x varía entre 7 y 16-ro2 que es la ecuación del paraboloide. Sí lo haces con una esfera centrada en origen por lo general pasa lo mismo z varía entre +- la ecuación de la esfera despejando z
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Bueno, si, a mi me es más sencillo pensarlo con el radio en función de x y no al revés. También podes decir que x varia entre 7 y 16 - radio² siempre que pongas que el radio va de 0 a 3.
Igualmente deberías escribirlo en las condiciones de la parametrización cuando escribiste en coordenadas cilíndricas.
Otra cosa, no tiene sentido agregar el jacobiano si en ningún momento escribiste la integral en la forma cartesiana, el jacobiano es la relación entre
![[tex]dx dy dz[/tex]](images/latex/44e380a75f03052d7ad6ed1d1bd3b40b7d726b04_0.png "[tex]dx dy dz[/tex]") y ![[tex]dx d\rho d\theta[/tex]](images/latex/9f259ca09e2c0c4a7f6a01f0af94c710bdfc383e_0.png "[tex]dx d\rho d\theta[/tex]")
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juanminho_16
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Registrado: 20 Oct 2009
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Carrera: Civil
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| OK, fijate que escribi las condiciones antes de integrar lo unico que le pifie en el limite de x que como bien me dijiste antes mi integral hacia el calculo del volumen del cilindro de radio 3 entre 7 y 16 de x. Creo haber entendido si yo escibo la superficie en coordenadas cilindricas y calculo el vector normal tambien en las mismas coordenadas, no hace falta que ponga el Jacobiano en la integral xq ya empiezo integrando en dx dro dtita. Pero puedo plantear la integral en funcion de x,y,z y reemplazar adentro de la integral cada variable como corresponde y ahi si agrego el Jacobiano.
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Franco Spada
Nivel 5
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Ubicación: 34º36'S58º22'O Carrera: null
Carrera: Electrónica
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| koreano escribió:
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| Franco Spada escribió:
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El jacobiano va cuando vos haces un cambio de variables después de haber planteado la integral con sus limites y todo.
En el examén yo siempre parametrizaba antes de plantear la integral, nunca puse ningún jacobiano y no tuve problemas con eso.
Pongo un ejemplo por si no queda claro:
Si a vos te dan una superficie representada con una ecuación, por ejemplo
vos podes expresar al conjunto de puntos que conforman esa superficie de varias maneras.
Una forma cartesiana podría ser:
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Una con coordenadas polares:
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En ninguno de esos dos casos tendrías que agregar jacobiano si planteas la integral con esas parametrizaciones.
Listo, ya aprendí a usar el tex del foro XD
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El problema con esto son las palabras. Cuando vos parametrizaste, en AMBOS casos estás usando el sistema de coordenadas cartesiano. Incluso en el segundo, es una parametrizacion en la que la primer coordenada significa el valor de x, la segunda y, y la ultima z. Así que hablando _bien_, ambas son parametrizaciones cartesianas y como estás interesado en calcular las cosas (flujos, areas, etc) en cartesianas, no tenés que poner ningun jacobiano.
Por otro lado, podés parametrizar la misma superficie usando coordenadas esféricas, , y la parametrizacion puede ser bastante mas simple:
, con ,
Sin embargo, en este caso estás en coordenadas esféricas y NUNCA te van a pedir un área,etc en esas coordenadas. Lo que vos tenés que hacer es meter el Jacobiano para que el cálculo de área sea equivalente al que sería si usás coordenadas cartesianas. El Jacobiano actúa como un factor de escala entre los distintos cambios de coordenadas.
Recordar:
- Los resultados que calculamos son siempre expresados para coordenadas cartesianas: circulaciones, áreas, flujos, etc.
- Parametrizar en cartesianas, es decir, escribir una funcion de 1 o 2 variables a (x,y,z) no es hacer un cambio de coordenadas y por ende no lleva Jacobiano.
- Parametrizar en otro sistema de coordenadas puede ser útil si en las coordenadas cartesianas las cuentas son feas. Sin embargo, para llevar el resultado a cartesianas hay que multiplicar por la magnitud del jacobiano de cambio de coordenadas.
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Yo lo entendía como que los parámetros dejan de ser cartesianos por ende la parametrización deja de ser cartesiana, ya que lo que hace más fácil el calculo de la integral es que el dominio deja de ser cartesiano.
| juanminho_16 escribió:
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OK, fijate que escribi las condiciones antes de integrar lo unico que le pifie en el limite de x que como bien me dijiste antes mi integral hacia el calculo del volumen del cilindro de radio 3 entre 7 y 16 de x. Creo haber entendido si yo escibo la superficie en coordenadas cilindricas y calculo el vector normal tambien en las mismas coordenadas, no hace falta que ponga el Jacobiano en la integral xq ya empiezo integrando en dx dro dtita. Pero puedo plantear la integral en funcion de x,y,z y reemplazar adentro de la integral cada variable como corresponde y ahi si agrego el Jacobiano.
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Así es como lo tengo entendido yo...
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koreano
Nivel 9
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| Franco Spada escribió:
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| koreano escribió:
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| Franco Spada escribió:
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El jacobiano va cuando vos haces un cambio de variables después de haber planteado la integral con sus limites y todo.
En el examén yo siempre parametrizaba antes de plantear la integral, nunca puse ningún jacobiano y no tuve problemas con eso.
Pongo un ejemplo por si no queda claro:
Si a vos te dan una superficie representada con una ecuación, por ejemplo
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El problema con esto son las palabras. Cuando vos parametrizaste, en AMBOS casos estás usando el sistema de coordenadas cartesiano. Incluso en el segundo, es una parametrizacion en la que la primer coordenada significa el valor de x, la segunda y, y la ultima z. Así que hablando _bien_, ambas son parametrizaciones cartesianas y como estás interesado en calcular las cosas (flujos, areas, etc) en cartesianas, no tenés que poner ningun jacobiano.
Por otro lado, podés parametrizar la misma superficie usando coordenadas esféricas, , y la parametrizacion puede ser bastante mas simple:
, con ,
Sin embargo, en este caso estás en coordenadas esféricas y NUNCA te van a pedir un área,etc en esas coordenadas. Lo que vos tenés que hacer es meter el Jacobiano para que el cálculo de área sea equivalente al que sería si usás coordenadas cartesianas. El Jacobiano actúa como un factor de escala entre los distintos cambios de coordenadas.
Recordar:
- Los resultados que calculamos son siempre expresados para coordenadas cartesianas: circulaciones, áreas, flujos, etc.
- Parametrizar en cartesianas, es decir, escribir una funcion de 1 o 2 variables a (x,y,z) no es hacer un cambio de coordenadas y por ende no lleva Jacobiano.
- Parametrizar en otro sistema de coordenadas puede ser útil si en las coordenadas cartesianas las cuentas son feas. Sin embargo, para llevar el resultado a cartesianas hay que multiplicar por la magnitud del jacobiano de cambio de coordenadas.
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Yo lo entendía como que los parámetros dejan de ser cartesianos por ende la parametrización deja de ser cartesiana, ya que lo que hace más fácil el calculo de la integral es que el dominio deja de ser cartesiano.
Así es como lo tengo entendido yo...
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Parámetros cartesianos..? wtf? Solo porque algo se llama x,y,z no quiere decir que sea cartesiano. Ni que se llame rho tita pepe quiere decir que sea esférico.
Pensalo como quieras, pero para saber cuando es necesario el jacobiano tenés que mirar el sistema de coordenadas sobre el que la parametrización está definida, sin importar el "dominio" como le decís vos.
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