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Mensaje |
Federico12455
Nivel 3
Edad: 32
Registrado: 24 Feb 2011
Mensajes: 28
Carrera: Informática
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Problema 1
El método de Taylor de Orden n para resolver el PVI ![[tex] y' = f(t,y) [/tex]](images/latex/a454ba2680621044a1fecbcbecfdf3235fa8387a_0.png "[tex] y' = f(t,y) [/tex]") ![[tex] a \le t \le b [/tex]](images/latex/8de90f1057260a8eebefb6def767b666eed8aa63_0.png "[tex] a \le t \le b [/tex]") ![[tex] y(a) = \alpha [/tex]](images/latex/55b559f80b53599fc0076e8a828911799f5315dd_0.png "[tex] y(a) = \alpha [/tex]") es (interpretación a cargo del alumno):
![[tex] u_0 = \alpha [/tex]](images/latex/b3fa0c3fb3ddf2a69c44e1caf0f63c4fc4dc2355_0.png "[tex] u_0 = \alpha [/tex]")
![[tex] u_{i+1} = u_i + hT^{(n)}(t_i, u_i) \ \ \ \ \ \ i = 0,...,N-1[/tex]](images/latex/4b6583a1c96d37c81411d27fadf2524a6390695b_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + hT^{(n)}(t_i, u_i) \ \ \ \ \ \ i = 0,...,N-1[/tex]")
con
![[tex] T^{(n)}(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i)+...+\frac{h^{n-1}}{n!}f^{(n-1)}(t_1, u_1) [/tex]](images/latex/427054a52facbc4203cf38ca11d5b2bfe5d3eb5e_0.png "[tex] T^{(n)}(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i)+...+\frac{h^{n-1}}{n!}f^{(n-1)}(t_1, u_1) [/tex]")
y un término residual de la forma
![[tex] \frac{h^{n+1}}{n+1!}f^{(n)}( \xi_1, y( \xi_1 ) ). [/tex]](images/latex/83a1e6c68a599e89f003644b8e0732a7081be951_0.png "[tex] \frac{h^{n+1}}{n+1!}f^{(n)}( \xi_1, y( \xi_1 ) ). [/tex]")
Para el caso ![[tex] y'=y-t^2 + 1 \ \ \ \ 0 \le t \le 1 \ \ \ \ y(0)=0.5 [/tex]](images/latex/2e37815bd66477f96fe41c00f1943fef1aa8a52d_0.png "[tex] y'=y-t^2 + 1 \ \ \ \ 0 \le t \le 1 \ \ \ \ y(0)=0.5 [/tex]")
se pide:
a) Plantear el método numérico para n = 2.
b) Plantear el método numérico para n = 4.
c) Utilizando h = 0.2 calcular la solución numérica con ambos métodos (n = 2 y n = 4).
d) Sabiendo que la solución analítica del PVI planteado es ![[tex] y(t)=(t+1)^2 - \frac{1}{2}e^t [/tex]](images/latex/4c2db08b359541d4eeecf5d5b9ce88c4a4001a2c_0.png "[tex] y(t)=(t+1)^2 - \frac{1}{2}e^t [/tex]") verificar experimentalmente el cociente del error de truncamiento entre ambos métodos calculados en el punto c). correspondiente al valor de y(1).
Problema 2
Dado el siguiente problema diferencial:
![[tex] \frac{d}{dx} \Big( kh\frac{dh}{dx} \Big) =0 \ \ \ \ \ \ h(x=0)=10 \ \ h(x=99)=1 [/tex]](images/latex/b52852cfe6946ed09e4625dbda07397a388f0a78_0.png "[tex] \frac{d}{dx} \Big( kh\frac{dh}{dx} \Big) =0 \ \ \ \ \ \ h(x=0)=10 \ \ h(x=99)=1 [/tex]")
con ![[tex] k = 0.00001. [/tex]](images/latex/dca060dcc554d5b9fc0e93fcf63aa7729fa391e4_0.png "[tex] k = 0.00001. [/tex]")
a) Discretizar el problema anterior utilizando un esquema en diferencias finitas de orden 2.
b) Para el caso ![[tex] \Delta x=33 [/tex]](images/latex/40900b7bd0ac147c3bee1b711d9297feca5a67c7_0.png "[tex] \Delta x=33 [/tex]") , encontrar la solución utilizando métodos numéricos adecuados en cada etapa de cálculo.
c) Explicar los problemas numéricos presentes en este problema, de acuerdo a la discretización elegida.
Ayuda: evalúe la conveniencia de un cambio de variables de a).
///////////////////////////////////
Acá hicieron una aclaración en el pizarrón para que podamos despejar la ecuacion diferencial esa, escribieron:
![[tex] \frac{d [h^2(x)]}{dx} = 2h \frac{dh}{dx} \\ \\\frac{d^2 h^2}{d x^2} = \frac{d^2 u}{d x^2}[/tex]](images/latex/ad5c0060da0c316f1f0e800a7596ae277885e321_0.png "[tex] \frac{d [h^2(x)]}{dx} = 2h \frac{dh}{dx} \\ \\\frac{d^2 h^2}{d x^2} = \frac{d^2 u}{d x^2}[/tex]")
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Pregunta 1
¿Cual es el método de Taylor de Orden 1 en el Problema 1? ¿ Es implícito o explícito ? ¿ Cómo se debe proceder para garantizar la estabilidad ?
Pregunta 2
¿Cómo procedería para determinar numéricamente ![[tex] y(t=1.0) [/tex]](images/latex/2f4f618fcbcb9dbad758758b647a1d182ea38a48_0.png "[tex] y(t=1.0) [/tex]") con una mayor precisión que la obtenida al resolver el Problema 1?
Resolución
Problema 1
a) Para n=2 tenemos:
![[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/024fad99acfdfe71c345a94993a67fe68db64f96_0.png "[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) [/tex]")
Reemplazando en la formula de arriba queda:
![[tex] u_{i+1} = u_i + h( f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) ) [/tex]](images/latex/e72541ff62ce9162e88c113779af12ac64269bd0_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + h( f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) ) [/tex]")
Sabiendo que la ecuacion diferencial es ![[tex] y' = y - t^2 + 1 [/tex]](images/latex/13a0f1f0ccd0d903d803fc6e1e1a3d1cae5de31f_0.png "[tex] y' = y - t^2 + 1 [/tex]") y que busco ![[tex] f'(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/a0f54ab545626812d43abf5c32b383056cc65d85_0.png "[tex] f'(t_i, u_i) [/tex]") .
![[tex] y'' = f'(t,y) [/tex]](images/latex/6670fdc21f9a41258ae6b302a874fc7cc7932568_0.png "[tex] y'' = f'(t,y) [/tex]")
Derivo
![[tex] y'' = y' - 2t [/tex]](images/latex/7806163de817fa12a00b3d498e96710f84b80707_0.png "[tex] y'' = y' - 2t [/tex]") Reemplazo con la ecuación original
![[tex] y'' = y - t^2 + 1 - 2t = f'(t,y) [/tex]](images/latex/0b24218155569ee30135e141faea4bcfbea76ade_0.png "[tex] y'' = y - t^2 + 1 - 2t = f'(t,y) [/tex]")
Reemplazo en el método:
![[tex] u_{i+1} = u_i + h( u_i - t^2 + 1 + \frac{h}{2}( u_i - t^2 + 1 - 2t ) ) [/tex]](images/latex/e5ca105b7a837923c6596044462eb97ab2d9a814_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + h( u_i - t^2 + 1 + \frac{h}{2}( u_i - t^2 + 1 - 2t ) ) [/tex]")
b)
Para n=4 tenemos:
![[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) + \frac{h^2}{3!}f''(t_i, u_i) + \frac{h^3}{4!}f'''(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/3483775065034fa4aeeab8a214df1edc46fe9160_0.png "[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) + \frac{h^2}{3!}f''(t_i, u_i) + \frac{h^3}{4!}f'''(t_i, u_i) [/tex]")
Reemplazando en la formula de arriba queda:
![[tex] u_{i+1} = u_i + h( f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) + \frac{h^2}{3!}f''(t_i, u_i) + \frac{h^3}{4!}f'''(t_i, u_i) ) [/tex]](images/latex/668938f39a6f2511f77be2c09c217585078856e0_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + h( f(t_i, u_i) + \frac{h}{2}f'(t_i, u_i) + \frac{h^2}{3!}f''(t_i, u_i) + \frac{h^3}{4!}f'''(t_i, u_i) ) [/tex]")
Busco las derivadas de ![[tex] f(u_i, t_i) [/tex]](images/latex/33475cd61c20470914a43672e41075fd0a5b90b4_0.png "[tex] f(u_i, t_i) [/tex]") de la misma forma mostrada antes:
Derivo
Reemplazo con la ecuación original
Derivo
![[tex] y''' = y' - 2t - 2 [/tex]](images/latex/4337c4fe011cd61d196d1be8873f5ed2c56349cc_0.png "[tex] y''' = y' - 2t - 2 [/tex]") Reemplazo con la ecuación original
![[tex] y''' = y - t^2 + 1 -2t - 2 = y - t^2 -2t - 1= f''(t,y) [/tex]](images/latex/d4888bbeea20bf5093703fa9cc1553c30247c6cf_0.png "[tex] y''' = y - t^2 + 1 -2t - 2 = y - t^2 -2t - 1= f''(t,y) [/tex]") Derivo
![[tex] y^{IV} = y' - 2t - 2 [/tex]](images/latex/3ae5014426fe74830f30c86462b9b313d524cff1_0.png "[tex] y^{IV} = y' - 2t - 2 [/tex]") Reemplazo con la ecuación original
![[tex] y^{IV} = y - t^2 + 1 -2t - 2 = y - t^2 -2t - 1= f'''(t,y) [/tex]](images/latex/1f813fb435a9ba4f2421961937a04e41a84d2862_0.png "[tex] y^{IV} = y - t^2 + 1 -2t - 2 = y - t^2 -2t - 1= f'''(t,y) [/tex]")
Reemplazo en el método:
![[tex] u_{i+1} = u_i + h( u_i - t^2 + 1 + \frac{h}{2}( u_i - t^2 + 1 - 2t ) + \frac{h^2}{3!}( u_i - t^2 - 2t - 1 ) + \frac{h^3}{4!}( u_i - t^2 - 2t - 1 ) ) [/tex]](images/latex/de40ca9748824ceac98c93bf4f722536bb9356af_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + h( u_i - t^2 + 1 + \frac{h}{2}( u_i - t^2 + 1 - 2t ) + \frac{h^2}{3!}( u_i - t^2 - 2t - 1 ) + \frac{h^3}{4!}( u_i - t^2 - 2t - 1 ) ) [/tex]")
c) y d)
Acá es nomas reemplazar en el método acordándose de la condición inicial ![[tex] y(0) = 0.5 [/tex]](images/latex/eba5dd21d62cc3c770e5982755eaeff94fef7ecb_0.png "[tex] y(0) = 0.5 [/tex]") .
![[tex]n = 2 \\\begin{tabular}{ l | l | l } t & u & Error \\ \hline 0 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.83 & 0.0007013790801 \\ 0.4 & 1.2158 & 0.0001712348821 \\ 0.6 & 1.652076 & 0.003135400195 \\ 0.8 & 2.13233272 & 0.005103184246 \\ 1 & 2.648645918 & 0.00778683223 \\\end{tabular}[/tex]](images/latex/6ba62d3838c0f17bbf87454362ec570b55b9f9d7_0.png "[tex]n = 2 \\\begin{tabular}{ l | l | l } t & u & Error \\ \hline 0 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.83 & 0.0007013790801 \\ 0.4 & 1.2158 & 0.0001712348821 \\ 0.6 & 1.652076 & 0.003135400195 \\ 0.8 & 2.13233272 & 0.005103184246 \\ 1 & 2.648645918 & 0.00778683223 \\\end{tabular}[/tex]")
Calculando el error según el término residual llegamos a:
![[tex] \frac{h^3}{3!} = 0.001333 [/tex]](images/latex/b161c432b6814a7e1e7cd3edc637bf886b5eff15_0.png "[tex] \frac{h^3}{3!} = 0.001333 [/tex]")
Comparando con el error obtenido experimentalmente es comparable.
![[tex]n = 4 \\\begin{tabular}{ l | l | l } t & u & Error \\ \hline 0 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.8293 & 0.000001379080085 \\ 0.4 & 1.21409102 & 0.00000336882064 \\ 0.6 & 1.648946772 & 0.00000617219525 \\ 0.8 & 2.127239587 & 0.00001005124623 \\ 1 & 2.640874432 & 0.00001534622952 \\\end{tabular}[/tex]](images/latex/0d3547e323c7d38ecc0506ba240689eff5e3d17f_0.png "[tex]n = 4 \\\begin{tabular}{ l | l | l } t & u & Error \\ \hline 0 & 0.5 & 0 \\ 0.2 & 0.8293 & 0.000001379080085 \\ 0.4 & 1.21409102 & 0.00000336882064 \\ 0.6 & 1.648946772 & 0.00000617219525 \\ 0.8 & 2.127239587 & 0.00001005124623 \\ 1 & 2.640874432 & 0.00001534622952 \\\end{tabular}[/tex]")
Calculando el error según el término residual llegamos a:
![[tex] \frac{h^5}{5!} = 2.667x10^{-6} [/tex]](images/latex/1a36d05d135401f023188cf59139280fd9fafa05_0.png "[tex] \frac{h^5}{5!} = 2.667x10^{-6} [/tex]")
Comparando con el error obtenido experimentalmente ( ![[tex] 1.535x10^{-5} [/tex]](images/latex/b4e92f36f2ce0339017d79405593bf24be9f82ef_0.png "[tex] 1.535x10^{-5} [/tex]") ) también es comparable.
Problema 2
![[tex] \frac{d}{dx} \Big( kh\frac{dh}{dx} \Big) =0 [/tex]](images/latex/0d6701263d7e5a2c7d6aec06a71c0ba6a5bdb8d4_0.png "[tex] \frac{d}{dx} \Big( kh\frac{dh}{dx} \Big) =0 [/tex]")
![[tex] k \frac{d}{dx} \Big( h\frac{dh}{dx} \Big) =0 [/tex]](images/latex/c623aafc377ef73e096d04cf4010bfcd986e5b21_0.png "[tex] k \frac{d}{dx} \Big( h\frac{dh}{dx} \Big) =0 [/tex]")
Reemplazo con ![[tex] \frac{d [h^2(x)]}{dx} = 2h \frac{dh}{dx} [/tex]](images/latex/e1cc4c97d80aba97fbcd6a52902d63cf330ff88c_0.png "[tex] \frac{d [h^2(x)]}{dx} = 2h \frac{dh}{dx} [/tex]")
![[tex] \frac{k}{2} \frac{d}{dx} \Big( \frac{dh^2}{dx} \Big) =0 [/tex]](images/latex/ceadbdaf57b44109c4b7d2921fd58345a7f7b5a7_0.png "[tex] \frac{k}{2} \frac{d}{dx} \Big( \frac{dh^2}{dx} \Big) =0 [/tex]")
![[tex] \frac{k}{2} \frac{d^2 h^2}{dx^2} =0 [/tex]](images/latex/1743ff27063977a83e70df9a532ef0a9eae486b1_0.png "[tex] \frac{k}{2} \frac{d^2 h^2}{dx^2} =0 [/tex]")
Multiplico ambos miembros por ![[tex] \frac{2}{k} [/tex]](images/latex/05b5b076112d77ab54baf3330994391a68c4c297_0.png "[tex] \frac{2}{k} [/tex]")
![[tex] \frac{d^2 h^2}{dx^2} =0 [/tex]](images/latex/8d6caf78585e1190d57d2cc52ae0996299c3e228_0.png "[tex] \frac{d^2 h^2}{dx^2} =0 [/tex]")
Hago el cambio de variables ![[tex] h^2 = u [/tex]](images/latex/c1ab3486d2a6d8f5394127a785d139b1a0635447_0.png "[tex] h^2 = u [/tex]") para que me quede un sistema lineal.
![[tex] \frac{d^2 u}{dx^2} =0 [/tex]](images/latex/d84c3f0b6541bade1878d87af2d3fee5f02527eb_0.png "[tex] \frac{d^2 u}{dx^2} =0 [/tex]")
Y lo paso a una notacion con la que estamos más acostumbrados:
![[tex] u'' =0 [/tex]](images/latex/d4359c94025cbbe395603f52a016b12058e3ff37_0.png "[tex] u'' =0 [/tex]")
a)
Discretizo:
![[tex] \frac{ u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1} }{h^2} = 0[/tex]](images/latex/a22576e390df14f52bcf00a567395c717095a00d_0.png "[tex] \frac{ u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1} }{h^2} = 0[/tex]")
![[tex]u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1} = 0[/tex]](images/latex/11ae5a7c62ab88acf81355a04bb1dbb486234740_0.png "[tex]u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1} = 0[/tex]")
b)
Voy a definir:
![[tex] u(0) = u_0 [/tex]](images/latex/d53a2df2b4836d5ce4260ae080a654d4aade849b_0.png "[tex] u(0) = u_0 [/tex]") Dato
![[tex] u(33) = u_1 [/tex]](images/latex/743a3f145097c8975edbac0fe45f6130d2ee5c42_0.png "[tex] u(33) = u_1 [/tex]")
![[tex] u(66) = u_2 [/tex]](images/latex/60cfd5e15287db53a2bebe1a53814ba9f15b24f4_0.png "[tex] u(66) = u_2 [/tex]")
![[tex] u(99) = u_3 [/tex]](images/latex/89723d1c6b4a6e0bcd9058de8be086bf7652ab5c_0.png "[tex] u(99) = u_3 [/tex]") Dato
Acordarse que por el cambio de variables hay que transformar los datos según:
![[tex] h^2(x) = u(x) [/tex]](images/latex/a193f90a0d98a9398a9e4dbcf2b68d5d4cbfbb88_0.png "[tex] h^2(x) = u(x) [/tex]")
![[tex] h^2(0) = 10^2 = 100 = u(0) [/tex]](images/latex/c2192e602510e5ff22be56942c362a89cca47be8_0.png "[tex] h^2(0) = 10^2 = 100 = u(0) [/tex]")
y
![[tex] h^2(99) = 1^2 = 1 = u(99) [/tex]](images/latex/831e1ffbaa503e663092f7d462e0bb0c8eb19acb_0.png "[tex] h^2(99) = 1^2 = 1 = u(99) [/tex]")
Reemplazo ![[tex] i [/tex]](images/latex/c4bf9eab90ff681b5cf10a76f22f68551c3631d7_0.png "[tex] i [/tex]") en la ecuación discretizada:
![[tex] i = 1 \ \ \ u_2 - 2u_1 + u_0 = 0 [/tex]](images/latex/69c9dbc9a0b27538bbf21503d4fd4a4142981595_0.png "[tex] i = 1 \ \ \ u_2 - 2u_1 + u_0 = 0 [/tex]")
![[tex] i = 2 \ \ \ u_3 - 2u_2 + u_1 = 0 [/tex]](images/latex/118345c112ebf6bdfcecfabdfa975427f6cf0731_0.png "[tex] i = 2 \ \ \ u_3 - 2u_2 + u_1 = 0 [/tex]")
Despejo en función de los datos:
![[tex] - 2u_1 + u_2= -u_0 [/tex]](images/latex/f33dbce6429c3c657935515af304dd1955a5c510_0.png "[tex] - 2u_1 + u_2= -u_0 [/tex]")
![[tex] u_1 - 2u_2 = -u_3 [/tex]](images/latex/84d692f28589346c2af30741b231c94eb8dd8e8c_0.png "[tex] u_1 - 2u_2 = -u_3 [/tex]")
Planteo una matriz para obtener las incógnitas.
![[tex]\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c} -u_0 \\ -u_3 \end{array}\right]\\ \\ \\\left[ \begin{array}{cc|c} -2 & 1 & -100 \\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right][/tex]](images/latex/5c6022600b44ce3cf0998309e232c7fffd06cbe7_0.png "[tex]\left[ \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c} -u_0 \\ -u_3 \end{array}\right]\\ \\ \\\left[ \begin{array}{cc|c} -2 & 1 & -100 \\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right][/tex]")
Lo resuelvo y queda:
![[tex]\left( \begin{array}{c}u_1 \\u_2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}67 \\34\end {array}\right)[/tex]](images/latex/89f2599dd31c4c91e7355e68a168e9677d70bd3c_0.png "[tex]\left( \begin{array}{c}u_1 \\u_2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}67 \\34\end {array}\right)[/tex]")
Y acordándonos del cambio de variables:
![[tex] u(33) = 67 = h^2(33)[/tex]](images/latex/c833f24d6e92c8b70c09632ed80c255523d4a34b_0.png "[tex] u(33) = 67 = h^2(33)[/tex]")
![[tex] h(33) = \sqrt{67}[/tex]](images/latex/a07f1ecb918132a7c8a1687f0e8f4b79413f1863_0.png "[tex] h(33) = \sqrt{67}[/tex]")
y
![[tex] u(66) = 34 = h^2(66)[/tex]](images/latex/ab64aa0de804d9e73f4c55cba68f6b9909823ab6_0.png "[tex] u(66) = 34 = h^2(66)[/tex]")
![[tex] h(66) = \sqrt{34}[/tex]](images/latex/1d4522575d9feaf5595ed3183cc88d50604e9fce_0.png "[tex] h(66) = \sqrt{34}[/tex]")
c)
Acá le hable un poco de las ventajas de upwinding con su primer derivada no centrada que ayudaba a reducir las oscilaciones iniciales en problemas de capa limite y demás, pero en este caso no hay ninguna derivada primera, así que no supe bien en concreto que decir con respecto al problema.
Pregunta 1
¿Cual es el método de Taylor de Orden 1 en el Problema 1? ¿ Es implícito o explícito ? ¿ Cómo se debe proceder para garantizar la estabilidad ?
El enunciado del primer ejercicio dice "El método de Taylor de orden n ..." pero en el término residual aparece ![[tex] h^{n+1} [/tex]](images/latex/3a97d40d66fcc3dd8ffbe0938156b97ba4d2f4f0_0.png "[tex] h^{n+1} [/tex]") , asi que segun el enunciado el orden 1 corresponderia a ![[tex] h^2 [/tex]](images/latex/623a21991c6429730a5443c4ff65e7dc5ae95b96_0.png "[tex] h^2 [/tex]") asi que lo ignore y supuse n = 0 para que el término residual me quede ![[tex] \bigcirc (h) [/tex]](images/latex/bb46ce341d768b969c0e3c23285a573c1273f66e_0.png "[tex] \bigcirc (h) [/tex]")
Con n=0 tenemos:
![[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/256040d2601197f488cc3d2402ba57c595ac0ad5_0.png "[tex] T(t_i, u_i) = f(t_i, u_i) [/tex]")
![[tex] u_{i+1} = u_i + hf(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/8ac075bf65c8c91854448a486e608e18e20f1a4d_0.png "[tex] u_{i+1} = u_i + hf(t_i, u_i) [/tex]")
Es Euler explicito.
Para el analisis de estabilidad es lo de siempre.
Para hacerlo con una ![[tex] f(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/a2698c2c0a0e9326b54819620a5284b041424611_0.png "[tex] f(t_i, u_i) [/tex]") generica uso Taylor:
![[tex] f(t_i, u_i + \varepsilon_i) = f(t_i, u_i) + f'(t_i, u_i)\varepsilon_i + \frac{f''(t_i, u_i)\varepsilon^2_i}{2} + \bigcirc (\varepsilon^3_i) [/tex]](images/latex/12e18caf48c26d4fedea3e3b58f03b1ba9942f73_0.png "[tex] f(t_i, u_i + \varepsilon_i) = f(t_i, u_i) + f'(t_i, u_i)\varepsilon_i + \frac{f''(t_i, u_i)\varepsilon^2_i}{2} + \bigcirc (\varepsilon^3_i) [/tex]")
Se puede despreciar ![[tex] \varepsilon^2_i [/tex]](images/latex/b6f63269be5294651d3b95967f494bdec711e097_0.png "[tex] \varepsilon^2_i [/tex]") ya que consideramos que ![[tex] \varepsilon_i [/tex]](images/latex/1ef3c2f6af237d07ca63c6d9cb3d2307ba6ea878_0.png "[tex] \varepsilon_i [/tex]") es chico.
Reemplazo en la formula original.
![[tex] u_{i+1} +\varepsilon_{i+1} = u_i + \varepsilon_i + h( f(t_i, u_i) + f'(t_i, u_i)\varepsilon_i ) [/tex]](images/latex/f7488b3c3109b1abd61e06197023c88eb60ce3cd_0.png "[tex] u_{i+1} +\varepsilon_{i+1} = u_i + \varepsilon_i + h( f(t_i, u_i) + f'(t_i, u_i)\varepsilon_i ) [/tex]")
Resto la formula original:
![[tex] \varepsilon_{i+1} = \varepsilon_i + hf'(t_i, u_i)\varepsilon_i [/tex]](images/latex/39229542ee14f119790a11fd4aedd1a0bdea62ee_0.png "[tex] \varepsilon_{i+1} = \varepsilon_i + hf'(t_i, u_i)\varepsilon_i [/tex]")
![[tex] \varepsilon_{i+1} = \varepsilon_i( 1 + hf'(t_i, u_i) ) [/tex]](images/latex/1e04f81464d64e690fdd9af854a3a4319225c15b_0.png "[tex] \varepsilon_{i+1} = \varepsilon_i( 1 + hf'(t_i, u_i) ) [/tex]")
![[tex] \frac{ \varepsilon_{i+1} }{\varepsilon_i} = 1 + hf'(t_i, u_i) [/tex]](images/latex/5cf31992b56c1969d053353e34d4bd336a6aaeab_0.png "[tex] \frac{ \varepsilon_{i+1} }{\varepsilon_i} = 1 + hf'(t_i, u_i) [/tex]")
Para que sea estable pedimos que:
![[tex] \Big| \frac{ \varepsilon_{i+1} }{\varepsilon_i} \Big| = \Big| 1 + hf'(t_i, u_i) \Big| \le 1 [/tex]](images/latex/52c0be8211da0545f5b33c58f99c58a08bfa9da7_0.png "[tex] \Big| \frac{ \varepsilon_{i+1} }{\varepsilon_i} \Big| = \Big| 1 + hf'(t_i, u_i) \Big| \le 1 [/tex]")
Pregunta 2
¿Cómo procedería para determinar numéricamente con una mayor precisión que la obtenida al resolver el Problema 1?
Esta pregunta me pareció muy general y ya no tenia ganas de ir a preguntarle a los flacos que buscaban que respondiera.
Directamente le puse que si querés más precisión podes usar otro método, usar ese mismo con una ![[tex] n [/tex]](images/latex/ba32499a92979830d7506acd015fdd74e520f8d2_0.png "[tex] n [/tex]") mayor o (que creo que es a lo que se referían) usar el mismo método con distintos pasos de calculo y después aplicar Richardson.
Bueno, si encuentran algún error avisen y después lo subo a la wiki.
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Última edición por Federico12455 el Mar Jul 31, 2012 11:26 pm, editado 3 veces
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Leandroumaru
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Registrado: 25 May 2009
Mensajes: 51
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Carrera: Mecánica
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¿Alguien sabe cuándo dan las notas? ¿Y las fechas de oral de Tarela, en caso de aprobar?
¡Gracias por la resolución del coloquio!
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