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Mensaje |
fech
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 95
Ubicación: Martinez
Carrera: Industrial
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Hola, tengo este ejercicio de TCL:
"Cada llamada realizada desde un call center tiene probabilidad de 0.75 de resultar exitosa.
Usar el Teorema Central del L´ımite para calcular aproximadamente la probabilidad de que deban
realizarse m´as de 130 llamadas para conseguir 100 comunicaciones exitosas."
No es muy difícil, pero la probabilidad que piden me suena medio rara. Sí pude calcular la probabilidad de obtener 100 éxitos con 130 llamadas (me dio P=0,123) , pero nose, es lo mismo?
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Tenés un proceso de Bernoulli con probabilidad ![[tex]p = 0.75[/tex]](images/latex/316f77ddea6b8f7f460e0fc7ebaa3ebcf0f9995b_0.png "[tex]p = 0.75[/tex]") . El número de éxitos es fijo (![[tex]r = 100[/tex]](images/latex/458a4af207802692ff55dd4c648adec24ba0e6e1_0.png "[tex]r = 100[/tex]") ), te preguntan la probabilidad de tener que hacer mas de 130 experimentos para conseguirlo. Si la cantidad de experimentos es ![[tex]X[/tex]](images/latex/b47736949a2a26fa60c778fc69b1a281d43b3a75_0.png "[tex]X[/tex]") , entonces ![[tex]X \sim \text{Pascal}(100; 0.75)[/tex]](images/latex/2eb6b94a7223f7b770cbf193ca76f7c616dfe9c8_0.png "[tex]X \sim \text{Pascal}(100; 0.75)[/tex]") . Lo que te piden es:
![[tex]P(X > 130) = \sum_{k=131}^{\infty} {k-1 \choose k-100} (0.25)^{100} (0.75)^{k-100}[/tex]](images/latex/0cec925eb37bcfb080c02375c9dab2fdaa507327_0.png "[tex]P(X > 130) = \sum_{k=131}^{\infty} {k-1 \choose k-100} (0.25)^{100} (0.75)^{k-100}[/tex]")
Como no es viable calcular esa suma, relacionás la Pascal con la Binomial. Si ![[tex]X \sim \text{Pascal}(r; p)[/tex]](images/latex/adbe0ff316241001b775354261c4b91c0b467422_0.png "[tex]X \sim \text{Pascal}(r; p)[/tex]") entonces:
![[tex]P(X \leq n) = P(Y \geq r)[/tex]](images/latex/26f20f5cec89a87ce3018886018f683f115ebce0_0.png "[tex]P(X \leq n) = P(Y \geq r)[/tex]")
Donde ![[tex]Y \sim \text{Bin}(n; p)[/tex]](images/latex/72ad29d35057e99de309eb83042df3ca133ea0f7_0.png "[tex]Y \sim \text{Bin}(n; p)[/tex]") . Aplicado a este problema sería:
![[tex]P(X > 130) = 1 - P(X \leq 130) = 1 - P(Y \geq 100) = P(Y < 100)[/tex]](images/latex/4331532f9fd5f8aa398271328311ff78826a573f_0.png "[tex]P(X > 130) = 1 - P(X \leq 130) = 1 - P(Y \geq 100) = P(Y < 100)[/tex]")
Donde ![[tex]Y \sim \text{Bin}(130; 0.75)[/tex]](images/latex/bc0213b19ee3ee7e01d8881559ab7b4ea0de0a9f_0.png "[tex]Y \sim \text{Bin}(130; 0.75)[/tex]") . Ahora podés aproximar la Binomial con la normal, porque calcular ![[tex]P(Y < 100)[/tex]](images/latex/693fa5cc3688c9733ed8ce996c1157854ef289ce_0.png "[tex]P(Y < 100)[/tex]") es equivalente a calcular la probabilidad de que la suma de 130 ensayos de Bernoulli (cada uno "![[tex]B_i[/tex]](images/latex/660fa8fa34cafed6d6030b8d85347c4eb0e61f96_0.png "[tex]B_i[/tex]") ", con probabilidad 0.75 de ser 1) sea menor a 100. Para usar el TCL tenemos que conocer la cantidad ![[tex]n=130[/tex]](images/latex/b411f48e0d8be13bab605941ee13d0949c751d13_0.png "[tex]n=130[/tex]") de variables iid sumadas, la media (![[tex]\mu = p = 0.75[/tex]](images/latex/ed8b7f0b95260dd7a8d223ae46705f1d09fdf41a_0.png "[tex]\mu = p = 0.75[/tex]") ) y el desvío (![[tex]\sigma = \sqrt{p(1-p)} \approx 0.43[/tex]](images/latex/3f653bcfd813ac334b6d4658ae801931627b9726_0.png "[tex]\sigma = \sqrt{p(1-p)} \approx 0.43[/tex]") ) de cada una de estas Bernoulli. Calculando y aplicando TCL queda:
![[tex]P(Y < 100) = [/tex]](images/latex/40231f7bb6878cf73cbd59dabb996b424904baa0_0.png "[tex]P(Y < 100) = [/tex]") ![[tex]P\left( \sum_{i}^{130} B_i < 100 \right) \approx \Phi \left( \frac{100 - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}\right) = \Phi \left( \frac{100 - 130 \cdot 0.75}{0.43 \cdot \sqrt{130}}\right) \approx 0.51[/tex]](images/latex/39f6ac5de1d339eeeeb8efe2af561c7b9c8cc8e8_0.png "[tex]P\left( \sum_{i}^{130} B_i < 100 \right) \approx \Phi \left( \frac{100 - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}\right) = \Phi \left( \frac{100 - 130 \cdot 0.75}{0.43 \cdot \sqrt{130}}\right) \approx 0.51[/tex]")
Si le pifié en algo avisen, no revisé bien
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fech
Nivel 4
Edad: 34
Registrado: 03 Jun 2009
Mensajes: 95
Ubicación: Martinez
Carrera: Industrial
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Gracias, quedo muy claro.
La relación:
de donde la sacaste? En clase no la usamos nunca y veo que sin eso el ejercicio no sale.
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koreano
Nivel 9
Registrado: 15 Jul 2010
Mensajes: 1796
Carrera: No especificada
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
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Carrera: Química
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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Ojo la primer expresión, están al revés los exponentes
![[tex]P(X > 130) = \sum_{k=131}^{\infty} {k-1 \choose k-100} (0.75)^{100} (0.25)^{k-100}[/tex]](images/latex/88871d400b86c53284bd95787079341c06f0585f_0.png "[tex]P(X > 130) = \sum_{k=131}^{\infty} {k-1 \choose k-100} (0.75)^{100} (0.25)^{k-100}[/tex]")
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Sigo
Moderador de carrera
Registrado: 14 Mar 2009
Mensajes: 980
Carrera: Química
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| El remate del ejercicio, quedaría Fz(0,51) => tabla => 0,69
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