| Autor |
Mensaje |
nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
|
|
Buenas! ¿Cómo están? Estuve intentando hacer este ejercicio y me agarraron varias dudas las cuales me llevaron a aprender varias cosas más, aunque igualmente no estoy seguro del tema. Más que nada es referido a la pregunta. El ejercicio es este:
La resolución que hago para la pregunta viene por el mismo lado que la de Prelat, aunque el no justifica nada más que el rango de A es 2. ¿Estaría bien decir lo que sigue?
Pudiendo expresar [gofoh]e,e como [g]e,e * [f]e,e * [h]e,e , la existencia de los isomorfismos dependerá del rango de A (que es 2), puesto que por ser isomorfismos [g]e,e y [h]e,e tienen rango 3. Y dependerá de ese valor porque el rango de una matriz queda igual al multiplicar por una matriz invertible.
Igualmente no estoy seguro de por qué [f]e,e tiene rango 2, simplemente lo doy como supuesto. Encontré que sea cual sea la base, la matriz tiene siempre el mismo rango, supongo que de acá, por más cambios de coordenadas que haga siempre va a ser 2.
Y me fui un poco de tema, pero casualmente la matriz resultante del producto [g]e,e * [f]e,e * [h]e,e tiene rango 2, y por esto puedo afirmar la existencia de dichos isomorfismos. ¿Está dentro de todo bien lo que pienso? ¿Habría que considerar algún factor más? Si no hace falta, ¿por qué el rango me determina la existencia?
Perdonen por tantas preguntas! Y gracias de antemano!
|
|
|
|
|
|
   |
    |
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
Todo bien che. Estaría mejor si no me hubieran despertado a los gritos a las 10 de la madrugada pero bueh... Todo no se puede.
| nachito44 escribió:
|
|
Pudiendo expresar [gofoh]e,e como [g]e,e * [f]e,e * [h]e,e , la existencia de los isomorfismos dependerá del rango de A (que es 2), puesto que por ser isomorfismos [g]e,e y [h]e,e tienen rango 3. Y dependerá de ese valor porque el rango de una matriz queda igual al multiplicar por una matriz invertible.
|
Está bien, creo, pero me parece que está como muy "hablado" el tema. ¿Me entendes?.
| nachito44 escribió:
|
|
Igualmente no estoy seguro de por qué [f]e,e tiene rango 2, simplemente lo doy como supuesto. Encontré que sea cual sea la base, la matriz tiene siempre el mismo rango, supongo que de acá, por más cambios de coordenadas que haga siempre va a ser 2.
|
Ahí mencionaste algo importante. El rango de la matriz no depende de la base en la que se la escriba. Por tanto, tenes que la matriz del enunciado tiene rango 2 (la 1er fila más la segunda da la 3ra) y de ahí ya concluis que cualquier matriz que represente a f va a tener ese mismo rango.
Mira ese producto, por ejemplo, como un cambio de base (las matrices cambio de base son siempre inversibles).
| nachito44 escribió:
|
|
Y me fui un poco de tema, pero casualmente la matriz resultante del producto [g]e,e * [f]e,e * [h]e,e tiene rango 2, y por esto puedo afirmar la existencia de dichos isomorfismos. ¿Está dentro de todo bien lo que pienso? ¿Habría que considerar algún factor más? Si no hace falta, ¿por qué el rango me determina la existencia?
|
Sí, está bien lo que pensas. Y la última pregunta te la contestaste vos sólo antes. Cuando vos tenes el producto de 3 matrices y 2 son inversibles y 1 no (como en este caso), el rango de la matriz resultante es igual al rango de la matriz "no inversible".
Vos antes dijiste "... porque el rango de una matriz queda igual al multiplicar por una matriz invertible ...". Es la respuesta a esta última pregunta que hiciste. ¿Se entendió?. Se puede demostrar que ![[tex]\text{rg}(ABC) \le \min \left\{\text{rg}(A), \text{rg}(B), \text{rg}(C)\right\}[/tex]](images/latex/a8c82525d742b0524f1a3c783b0ef0af49f2a600_0.png "[tex]\text{rg}(ABC) \le \min \left\{\text{rg}(A), \text{rg}(B), \text{rg}(C)\right\}[/tex]") . De acá se desprende lo anterior.
Para calcular las matrices, ME PARECE, que se puede jugar un rato con el espacio Nulo de f y sus columnas. Igual no sé, es medio a ojo que lo digo.
|
|
|
|
|
|
  |
|
|
nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
|
|
| Jackson666 escribió:
|
|
Todo bien che. Estaría mejor si no me hubieran despertado a los gritos a las 10 de la madrugada pero bueh... Todo no se puede.
|
Que fiaca, más que por la hora por el modo.
| Jackson666 escribió:
|
|
Está bien, creo, pero me parece que está como muy "hablado" el tema. ¿Me entendes?.
|
Entiendo perfecto, es que tampoco se me ocurrio otra manera; justamente estaba tratando de armar mi idea del tema mientras la expresaba.
| Jackson666 escribió:
|
Ahí mencionaste algo importante. El rango de la matriz no depende de la base en la que se la escriba. Por tanto, tenes que la matriz del enunciado tiene rango 2 (la 1er fila más la segunda da la 3ra) y de ahí ya concluis que cualquier matriz que represente a f va a tener ese mismo rango.
Mira ese producto, por ejemplo, como un cambio de base (las matrices cambio de base son siempre inversibles).
|
¿Con "Ese producto" te referis al que menciono yo, o a uno para deducir el rango de la matriz en cualquier base? Porque mencionas que son siempre inversibles entonces me entró la duda con A, que creí no era inversible, y en consecuencia [f]e,e tampoco.
| Jackson666 escribió:
|
Sí, está bien lo que pensas. Y la última pregunta te la contestaste vos sólo antes. Cuando vos tenes el producto de 3 matrices y 2 son inversibles y 1 no (como en este caso), el rango de la matriz resultante es igual al rango de la matriz "no inversible".
Vos antes dijiste "... porque el rango de una matriz queda igual al multiplicar por una matriz invertible ...". Es la respuesta a esta última pregunta que hiciste. ¿Se entendió?. Se puede demostrar que . De acá se desprende lo anterior.
Para calcular las matrices, ME PARECE, que se puede jugar un rato con el espacio Nulo de f y sus columnas. Igual no sé, es medio a ojo que lo digo.
|
Esta parte la entiendo más, pero me da a pensar porque la condición del rango, además de necesaria, es suficiente para responder la pregunta.
Y al cálculo de las matrices no me dediqué todavía, a simple vista me pareció bastante "común". Gracias por todo!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
Jackson666
Nivel 9
Edad: 37
Registrado: 01 Feb 2009
Mensajes: 1980
Ubicación: Martínez
Carrera: Electricista
|
|
| nachito44 escribió:
|
| Jackson666 escribió:
|
Ahí mencionaste algo importante. El rango de la matriz no depende de la base en la que se la escriba. Por tanto, tenes que la matriz del enunciado tiene rango 2 (la 1er fila más la segunda da la 3ra) y de ahí ya concluis que cualquier matriz que represente a f va a tener ese mismo rango.
Mira ese producto, por ejemplo, como un cambio de base (las matrices cambio de base son siempre inversibles).
|
¿Con "Ese producto" te referis al que menciono yo, o a uno para deducir el rango de la matriz en cualquier base? Porque mencionas que son siempre inversibles entonces me entró la duda con A, que creí no era inversible, y en consecuencia [f]e,e tampoco.
|
Con "ese producto" me refiero a ![[tex]g \cdot f\cdot h[/tex]](images/latex/bc4553f196ab2926c3e845f70c495f4358ab229f_0.png "[tex]g \cdot f\cdot h[/tex]") (todo en base canónica). Con la hipótesis de que son isomorfismos, entonces las matrices (respecto de cualquier par de bases) son inversibles y de ahí el comentario de que tal vez podías verlo como un cambio de base.
Saludos!
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
nachito44
Nivel 6
Edad: 34
Registrado: 11 Jul 2008
Mensajes: 268
Carrera: Civil
|
|
| |
|
|
florgon
Nivel 6
Edad: 39
Registrado: 07 Jun 2010
Mensajes: 259
Carrera: No especificada
|
|
Revivo, me surgio una duda con el siguiente ejercicio 3 de coloquio. (Es del 3/7/2008 tema 2, esta en la pagina resuelto por prelat)
EJERCICIO 3: Sea Q la forma cuadrática en R3 determinada por la matriz
4 -2 4
A=-2 4 4
4 4 -2
Dar una idea gráfica de Q(x)=1 y determinar, si existen, Max y min de norma de X^2 y os puntos donde se alcanzan estos valores.
(Perdon por la forma de escribir pero no se como usar latex ni nada de eso)
Bueno, les comento lo que hice. Dado que A es simétrica, es ortogonalmente diagonalizable. Entonces busque los autovalores (avas) de A y los autoespacios correspondientes. Lo que obtuve fue:
λ=6 doble asociado a S6(A)=gen{(2 0 1) (0 2 1)} (luego normalice y busque dos vectores ortogonales usando Gram Smith)
λ=-6 simple asociado a S-6(A)=gen{(1 1 -2)} (luego normalice)
Una vez que llegue a esto forme P con los aves de A en las columnas y D=diag(6 6 -6) la matriz diagonal correspondiente, y aplique el cambio de variable x=Py, por lo que ahora Q(x)=ytDy entonces me queda:
Q(x)=6y1^2+6y2^2-6y3^2
por la condicion me piden Q(X)=1, lo cual es 6y1^2+6y2^2-6y3^2=1
y de ahi deduzco que es un hiperboloide de 1 hoja.
Bueno, ahora dije, aplicando Rayleigh puedo decir λmin=-6 y λmax=6 y de ahi saco que hay un maximo de norma 1/(6)^1/2 y que se de en +/- los autovalores asociados al 6 y que minimos no hay porque es absurdo detenr una norma al cuadrado que sea negativa.
Ahora bien, en la resolucion de prelat dice lo contrario, que hay minimos en (a b 0) de la norma que yo propuse. Eso suena logico por la figura en cuestion, lo que no entiendo es porque pasa esto. Alguno me da una mano? gracias!
|
|
|
|
_________________
53 % Ingeniera
|
|
   |
 |
|
|
|
|
Ver tema siguiente
Ver tema anterior
Podés publicar nuevos temas en este foro
No podés responder a temas en este foro
No podés editar tus mensajes en este foro
No podés borrar tus mensajes en este foro
No podés votar en encuestas en este foro
No Podéspostear archivos en este foro
No Podés bajar archivos de este foro
|
Todas las horas son ART, ARST (GMT - 3, GMT - 2 Horas)
Protected by CBACK CrackerTracker365 Attacks blocked.
|
