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Mensaje |
mafalda
Nivel 4
Edad: 33
Registrado: 15 Dic 2011
Mensajes: 114
Carrera: Informática
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El enunciado es el siguiente:
| Cita:
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Hallar los versores para los cuales la derivada direccional de la funcion dada en (0,0) es maxima, minima, nula y sus valores
La funcion partida es:
![[tex] \frac{x^3+y^4 }{x^2+y^2} si(x,y) \neq (0,0)[/tex]](images/latex/74a76a52deb109b28ea76cd26a4368cd3b63790c_0.png "[tex] \frac{x^3+y^4 }{x^2+y^2} si(x,y) \neq (0,0)[/tex]")
![[tex]0 si (x,y)=(0,0)[/tex]](images/latex/68dcaec35856ea1c6ef194e402e38e817c8d278f_0.png "[tex]0 si (x,y)=(0,0)[/tex]")
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Bueno como tengo una funcion partida, aplico la definicion de derivada direccional con el limite
entonces:
![[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(ha,hb)-f(x_o,y_o)}{h}[/tex]](images/latex/63a787bbc83182b74204966dcc3c95e41890af23_0.png "[tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(ha,hb)-f(x_o,y_o)}{h}[/tex]")
Desarrollando esto llego a que
![[tex]\lim_{h \to 0} =a^3[/tex]](images/latex/b0acd18268650554a03495211f298744f40fa64b_0.png "[tex]\lim_{h \to 0} =a^3[/tex]")
Yo se que:
![[tex]u_{max}=||\nabla f || [/tex]](images/latex/ff50c34bc27a54947627f0135027ea4c6128fdbc_0.png "[tex]u_{max}=||\nabla f || [/tex]")
![[tex]u_{min}=-|| \nabla f || [/tex]](images/latex/3d62bc7c9cab635b62cc00512dba48fc1f2d4c82_0.png "[tex]u_{min}=-|| \nabla f || [/tex]")
![[tex]u_{nula}=\nabla f. \widehat{u}=0[/tex]](images/latex/d7edc8267af86e306d2224fedb4287141b4e02ea_0.png "[tex]u_{nula}=\nabla f. \widehat{u}=0[/tex]")
Pero no se como seguir el ejercicio utilizando estos datos, alguna ayuda???
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sabian_reloaded
Nivel 9
Edad: 34
Registrado: 18 Jun 2009
Mensajes: 2925
Ubicación: El bosque platense
Carrera: No especificada
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Eso que "sabés" es para cuando la función es diferenciable. Si querés usar esos resultados deberías, primero, probar que es diferenciable (cosa que, a ojo, creo que sí va a ser, pero no te lo aseguro).
De plantear el cociente incremental tenés
![[tex] \frac {h^3a^3 + h^4b^4}{(h^2a^2 + h^2b^2)h} [/tex]](images/latex/d534681b008d77045f5f55c312105757392e1cf9_0.png "[tex] \frac {h^3a^3 + h^4b^4}{(h^2a^2 + h^2b^2)h} [/tex]")
Que es equivalente a ![[tex] \frac{a^3 + hb^4}{a^2 + b^2} [/tex]](images/latex/b057613c6d14625da81a9f99f0c713fa380ba023_0.png "[tex] \frac{a^3 + hb^4}{a^2 + b^2} [/tex]") , si h tiende a 0...
![[tex] \frac{a^3}{a^2 + b^2} [/tex]](images/latex/cce66d0bb4f61d9e58352cc717f93f592d9ead72_0.png "[tex] \frac{a^3}{a^2 + b^2} [/tex]") que es la función que tenés que maximizar / minimizar / anular (puesto que va a ser el valor de la derivada direccional).
Lo que podés hacer, para no trabajar con dos funciones (una sería esa, otra la que impone la condición de que ![[tex]\sqrt {a^2+b^2} = 1[/tex]](images/latex/c36b419218e397e5f9a5a21793d86845367f21e3_0.png "[tex]\sqrt {a^2+b^2} = 1[/tex]") es hacer un pasaje a coordenadas polares
![[tex] \frac {cos^3 (\theta)}{\cos^2(\theta) + sen^2 (\theta)} [/tex]](images/latex/1782e16f4e305048f6dd0aa2d41107c8956c4aaa_0.png "[tex] \frac {cos^3 (\theta)}{\cos^2(\theta) + sen^2 (\theta)} [/tex]") y minimizar esa sola función de una variable.
Quedó medio pija, no sé si por algún error de planteo o de cuentas, ando apurado. Pero creo que la idea es esa.
Saludos!
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Huey 7
Nivel 6
Registrado: 03 Mar 2010
Mensajes: 267
Carrera: Electrónica
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| mafalda escribió:
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Desarrollando esto llego a que
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(a, b) tiene que ser un versor, así que ![[tex]-1 \leq a \leq 1[/tex]](images/latex/87da6025166c9dd03e45de28d2e9257def0c31c4_0.png "[tex]-1 \leq a \leq 1[/tex]") , y ![[tex]b = \pm \sqrt{1 - a^2}[/tex]](images/latex/11fb999edb1c215d59508ab3483618a24a5ed5ee_0.png "[tex]b = \pm \sqrt{1 - a^2}[/tex]") . La función ![[tex]a^3[/tex]](images/latex/3b321af4d13bac6988020a142680c4cd20069b59_0.png "[tex]a^3[/tex]") es nula para a = 0, y como es estrictamente creciente en todos los reales, en el intervalo [-1, 1] es mímima para a = -1, y máxima para a = 1. La derivada direccional es entonces nula para los versores (0, 1) y (0, -1), tiene el valor mínimo -1 para el versor (-1, 0), y el valor máximo 1 para el versor (1, 0). Ojímetro al palo  .
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